Проверете дали четирицифрено число е палиндром. Палиндроми и „обръщания“ сред забавните и олимпиадните прости числа
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||
Наталия КАРПУШИНА
НАОПАКИ
Числовият палиндром е естествено число, което се чете еднакво отляво надясно и отдясно наляво. С други думи, той се отличава със симетрия на нотацията (подреждането на числата), а броят на знаците може да бъде четен или нечетен. Палиндромите се срещат в някои набори от числа, които имат свои имена: сред числата на Фибоначи - 8, 55 (6-ти и 10-ти членове на едноименната редица); фигурни числа - 676, 1001 (съответно квадратни и петоъгълни); Числа на Смит (съставно число, чиято сума от цифрите е равна на сумата от цифрите на неговите прости делители) - 45454, 983389. Посоченото свойство притежава и всяка повторна цифра (естествено число, в което всички цифри са еднакви), например 2222222 и по-специално repunit (естествено число, написано само с единици).
Палиндром може да се получи в резултат на операции с други числа. И така, в книгата "Имам идея!" Във връзка с този проблем известният популяризатор на науката Мартин Гарднър споменава „хипотезата за палиндрома“. Нека вземем произволно естествено число и го добавим към обратното число, тоест записано със същите цифри, но в обратен ред. Нека направим същото действие с получената сума и го повторим, докато се образува палиндром. Понякога е достатъчна само една стъпка (например 312 + 213 = 525), но обикновено са необходими поне две. Да кажем, че числото 96 генерира палиндрома 4884 само в четвъртата стъпка. Наистина:
165 + 561 = 726,
726 + 627 = 1353,
1353 + 3531 = 4884.
И същността на хипотезата е, че като вземем произволно число, след краен брой действия определено ще получим палиндром.
Можете да обмислите не само добавяне, но и други операции, включително степенуване и извличане на корени. Ето някои примери за това как могат да се използват за създаване на други от някои палиндроми:
ИГРИ С ЧИСЛАТА
Досега разглеждахме главно съставни числа. Сега нека се обърнем към простите числа. В тяхното безкрайно разнообразие има много любопитни екземпляри и дори цели фамилии палиндроми. Само сред първите сто милиона естествени числа има 781 прости палиндрома, като двадесет попадат в първата хиляда, от които четири са едноцифрени числа - 2, 3, 5, 7 и само едно двуцифрено - 11. Има много, свързани с такива числа интересни фактии красиви модели.
Първо, има уникален прост палиндром с четен брой цифри - 11. С други думи, всеки палиндром с четен брой цифри, по-големи от две, е съставно число, което е лесно да се докаже въз основа на теста за делимост на 11 .
Второ, първата и последната цифра на всеки прост палиндром може да бъде само 1, 3, 7 или 9. Това следва от известните знаци за делимост на 2 и 5. Любопитно е, че всички прости двуцифрени числа, написани с помощта на изброените цифри (с изключение на 19), могат да бъдат разделени на двойки „обърнати“ числа (взаимно обърнати числа) от формата и , където числата a и b са различни. Всеки от тях, независимо кое число е първо, се чете еднакво отляво надясно и отдясно наляво:
13 и 31, 17 и 71,
37 и 73, 79 и 97.
Гледайки масата прости числа, ще намерим подобни двойки, в записа на които има и други числа, по-специално сред трицифрените числа ще има четиринадесет подобни двойки.
В допълнение, сред простите трицифрени палиндроми има двойки числа, чиято средна цифра се различава само с 1:
181 и 191, 373 и 383,
787 и 797, 919 и 929.
Подобна картина се наблюдава при по-големи прости числа, например:
94849 и 94949,
1177711 и 1178711.
Палиндромните прости числа могат да бъдат "уточнени" чрез различни симетрични формули, които отразяват особеностите на тяхната нотация. Това ясно се вижда в примера с петцифрени числа:
Между другото, простите многоцифрени числа от формата очевидно се срещат само сред Repunite. Известни са пет такива числа. Трябва да се отбележи, че във всяко от тях броят на цифрите се изразява като просто число: 2, 19, 23, 317, 1031. Но сред простите числа, в които всички цифри с изключение на централната, има палиндром с много впечатляваща дължина е открит - има 1749 цифри:
Като цяло сред простите палиндромни числа има невероятни примери. Ето само един пример - числовият гигант
И е интересен, защото съдържа 11 811 цифри, които могат да бъдат разделени на три палидромни групи, като във всяка група броят на цифрите е изразен като просто число (5903 или 5).
ЗНАЧИТЕЛНИ ДВОЙКИ
Любопитни палиндромни модели могат да се видят и в групи от прости числа, които съдържат определени цифри. Да кажем, само числата 1 и 3, и във всяко число. Така двуцифрените прости числа образуват подредени двойки 13 - 31 и 31 - 13, от шест трицифрени прости числа пет числа са прости, сред които има два палиндрома: 131 и 313, а още две числа образуват двойки от “обръщания” 311 - 113 и 113 - 311 Във всички тези случаи направените двойки са визуално представени под формата на числови квадратчета (фиг. 1).
Свойствата им наподобяват магически и латински квадрати. Например в среден квадрат сумата от числата във всеки ред и всяка колона е 444, по диагоналите - 262 и 626. Събирайки числата от всички клетки, получаваме 888. И което е типично, всяка сума е палиндром. Дори само да изпишем няколко числа от една таблица без интервал, получаваме нови палиндроми: 3113, 131313131 и т.н. Кое е най-голямото число, което може да се състави по този начин? Ще бъде ли палиндром?
Ако добавим 131 или 313 към всяка от двойките 311 - 113 и 113 - 311, се образуват четири палиндромични триплета. Нека запишем един от тях в колона:
Както виждаме, както самите числа, така и желаната комбинация от тях се усещат, когато се четат в различни посоки. Освен това подреждането на числата е симетрично, а сумата им във всеки ред, всяка колона и по един от диагоналите се изразява с просто число - 5.
Трябва да се каже, че разглежданите числа са интересни сами по себе си. Например, палиндромът 131 е циклично просто число: всяко последователно пренареждане на първата цифра до последното място произвежда простите числа 311 и 113. Сещате ли се за други прости палиндроми, които имат същото свойство?
Но двойки „обърнати“ числа 13 – 31 и 113 – 311 при повдигане на квадрат също дават двойки „обърнати“ числа: 169 – 961 и 12769 – 96721. Любопитно е, че дори сборовете на техните цифри се оказаха свързани по хитър начин:
(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
Нека добавим, че сред естествените числа има и други двойки „обръщения“ с подобно свойство: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 и т.н. Какво обяснява наблюдаваната закономерност? За да отговорите на този въпрос, трябва да разберете какво е особеното в записа на тези числа, какви числа и в какви количества могат да присъстват в него.
ЧИСЛЕН КОНСТРУКТОР
От прости палиндромни числа, подреждайки ги по определен начин, да речем ред по ред, можете да създадете симетрични фигури, отличаващи се с оригинален модел на повтарящи се числа.
Ето, например, красива комбинация от прости палиндроми, написани с 1 и 3 (с изключение на първия, фиг. 2). Особеността на този числов триъгълник е, че един и същ фрагмент се повтаря три пъти, без да се нарушава симетрията на шаблона.
Лесно се вижда, че общият брой редове и колони е просто число (17). В допълнение, прости числа и суми от цифри: фрагменти, маркирани в червено (17); всеки ред с изключение на първия (5, 11, 17, 19, 23); третата, петата, седмата и деветата колона (7, 11) и „стълбата“ от единици, образуващи страните на триъгълника (11). Накрая, ако се движим успоредно на посочените „страни“ и съберем поотделно числата от третия и петия ред (фиг. 3), получаваме още две прости числа (17, 5).
Продължавайки конструкцията, можете да конструирате по-сложни фигури въз основа на този триъгълник. По този начин не е трудно да се получи друг триъгълник с подобни свойства, като се движите от края, т.е. започвате от последното число, зачертавате на всяка стъпка две еднакви симетрично разположени числа и пренареждате или заменяте други - 3 по 1 и обратно . В този случай самите числа трябва да бъдат избрани по такъв начин, че полученото число да се окаже просто. Комбинирайки двете фигури, получаваме ромб с характерен модел на числа, криещ много прости числа (фиг. 4). По-конкретно, сборът от числата, подчертани в червено, е 37.
Друг пример е триъгълник, получен от оригиналния след добавяне на шест прости палиндрома към него (фиг. 5). Фигурата веднага привлича вниманието с елегантната си рамка от единици. Той е ограден от два прости репълнита с еднаква дължина: 23 единици съставляват „основата“ и същия брой съставляват „страните“ на триъгълника.
Още няколко цифри
Можете също така да направите многоъгълни фигури от числа, които имат определени свойства. Да предположим, че трябва да конструирате фигура от прости палиндроми, написани с помощта на 1 и 3, всяка от които има екстремни цифри, които са единици, а сумата от всички цифри и общият брой единици в реда са прости числа (изключението е единично -цифрен палиндром). Освен това простото число трябва да изразява общия брой редове, както и цифри 1 или 3, намерени в записа.
На фиг. Фигура 6 показва едно от решенията на проблема - „къща“, изградена от 11 различни палиндрома.
Разбира се, не е необходимо да се ограничавате до две цифри и да изисквате наличието на всички посочени цифри в записа на всяко използвано число. По-скоро, напротив: в края на краищата, техните необичайни комбинации придават оригиналност на модела на фигурата. За да потвърдим това, ние даваме няколко примера за красиви палиндромни зависимости (фиг. 7 - 9).
Сега, въоръжени с таблица с прости числа, вие сами можете да конструирате фигури като тези, които предложихме.
И накрая още един любопитство - триъгълник, буквално надупчен надлъжно и напречно с палиндроми (фиг. 10). Той има 11 реда прости числа, а колоните са образувани от повторни цифри. И най-важното: палиндромът 193111111323111111391, ограничаващ фигурата отстрани, е просто число!
Текстът на работата е публикуван без изображения и формули.
Пълна версияработата е достъпна в раздела „Работни файлове“ в PDF формат
Въведение
Уместността на тази тема се крие във факта, че използването на нестандартни техники при формирането на изчислителни умения помага да се спести време в клас и да се положи успешно изпитът както в 9-ти, така и в 11-ти клас по математика.
Палиндромните и репълните числа образуват едно от най-интересните подмножества на набора от естествени числа. Те имат необичайна история и невероятни свойства.
Беше проведено проучване сред 7, 8, 9, 11 клас и се оказа, че много деца са чували за тези числа, но само малцина знаят подробна информация. Много от анкетираните студенти биха искали да знаят повече за тези числа.
В момента, с прехода към нови стандарти, целите на основното и средното (пълно) образование се променят. Една от основните задачи пред нас, учителите, в контекста на модернизацията на образованието е да предоставим на учениците осъзнати, трайни знания, развиващи самостоятелното им мислене. С развитието на новите технологии нараства търсенето на хора с иновативно мислене и способност да поставят и решават нови проблеми. Ето защо в практиката на съвременните училища ученическите изследователски дейности като образователна технология, насочена към запознаване на учениците с активни форми на придобиване на знания, стават все по-широко разпространени. Изследователските дейности са:
мощен инструмент, който ви позволява да плените новото поколение по най-продуктивния път на развитие и усъвършенстване;
един от методите за повишаване на интереса и съответно качеството на учебния процес.
Мишена:запознайте се с палиндромни и репълни числа и идентифицирайте ефективността на използването им за обучение на съвременни ученици. Почти всички математически концепции, по един или друг начин, разчитат на понятието число и крайният резултат от всяка математическа теория, като правило, се изразява на езика на числата. Много от тях, особено цели числапо определени характеристики и свойства те се групират в отделни структури (колекции) и имат свои имена.
Задачи:
Разкрийте историята на акаунта;
Обмислете някои методи за умствени изчисления и покажете предимствата на тяхното използване, като използвате конкретни примери;
Литература по темата;
Обмислете свойствата и репълните;
Инсталирайте между и repunits;
Разберете каква роля играят числата в промените, които ни интересуват.
Хипотеза:Ако се използват нестандартни техники, тогава скоростта на изчисленията и количеството намаляват.
Простите числа са част от числата, от които са съставени всички естествени числа.
Като изследвате прости числа, получете невероятни комплекти с техните необикновени.
Вещ- много прости.
Обект на изследване- палиндроми и репълни.
изследване:
изследване
Всички математически концепции по един или друг начин се основават на концепция и краят на всяка математическа концепция по правило се изразява в числа.
Работа по изучаване на числата: палиндроми и установяване на връзки между тях.
Теоретичен
1 Палиндроми
палиндромите датират две хилядолетия назад. Името е определено - квадропалин. Палиндром - фрактали, кристали и материя. Способността е дълбоко в човека, на ниво. ДНК молекулите са палиндромни елементи. Самият той е пример или по-скоро конкретен пример за вертикална симетрия.
толкова невероятно, които са еднакви отляво надясно наляво. Четох книгата на Константинович „Пинокио“, тогава забелязах това: И розата падна върху Азор. Малвина я помоли да пише на невежия Пинокио.
Те се наричат реципрочни палиндроми,което в превод означава „бягане, връщане“. Палиндром - от най-древните литературни опити. Европейски палиндроми към гръцки поет (300 г. пр.н.е.).
Гръцки палиндром, върху шрифта на византийската София в Константинопол: anomhmata mh oyin (мийте същото като тялото). Тук вече има конспиративен характер - написаният надпис трябва да е заклинание от зли сили, а не те към светия шрифт.
Ето палиндромните: Аржентина привлича. Той умря и мир на праха му. Катеря се. Ще бъда при дъба. Миша. Това е силата на типа. Яжте по-малко немити храни! домашни пантофи? "Пусни ме вътре!" - Супата на Максим. - „Пусни ме да вляза, супе!“ Не плача - плача. И музата е щастлива без ум и разум. , запазете лука. Ти, мило, върви: близо до пътя има мина, зад градината, а зад нея е градът; отидете, ако се измиете. Той е в ада. Леле, виждам някой жив. привлича черния човек. , и мир на праха му. Качвам се в банята. Аз ще. Млякото на Миша. Това са видовете капиталисти. Яж по-малко! Да го изровя? "Пусни ме вътре!" - купа супа. - Пусни го, той лети! Не плача, сигурен съм. И се радвам без ум и разум. Готвене, лук. Ти, мила, върви бързо: близо до мината, зад пътя, а зад него е градът; отидете, ако се измиете. Той е в ада от дълго време. Леле, живо.
Имам въпрос. Чудя се дали има палиндроми? И възможно ли е същата тази идея за реципрочно четене да се пренесе в математиката? (гръцки) -, еднаквост в местоположението. Един обект се нарича симетричен, ако по някакъв начин постига същия резултат от самото начало. Много живи същества, листо, пеперуда, са обединени от това, което са. Ако те са мислено по начертаната линия, тогава техните половинки. И ако го поставите покрай нарисуваното, тогава отразената в него половина ще го допълни. Затова се нарича огледален. , по която огледалото е оста на симетрия. Всеки от нас се вижда няколко пъти в огледалото. Обикновено не сме изненадани, не задаваме въпроси, не правим нищо. И само философите не спират да се удивляват.
Какво се променя, когато се отрази в огледалото? Експериментираме с огледала. поставете го от страната на буквата А, тогава в огледалото има същата буква. Но ако огледалото, отражението вече не изглежда като А, то е А с дъното си. Но ако огледалото е под B, отражението също е. Но ако го поставим отстрани, получаваме B отпред.
Буквата A е вертикална, а буквата B е хоризонтална. , разбрахме, че огледалото си сменя местата, лявото - . Оказва се, че сред тях има палиндроми. нямаше числа - палиндроми. Опитах се да измисля числа за тези палиндроми.
В двуцифрените палиндроми единиците съвпадат с десетките.
В числата - палиндроми, стотните съвпадат с числото.
При четирицифрените числа числото на единиците съвпада с единиците, а числото с числото на десетиците и т.н.
формулите причиниха повече. Под формули - палиндроми, израз, състоящ се от или разлика от числа, който не е резултат от четене отдясно наляво.
съберете числата - , тогава сумата не е.
Например: 22 + 66 = 66 + 22.
Най-общо може да се напише така:
1. Намерете всички двуцифрени двойки, така че резултатът им да не се променя в резултат на сбора отдясно, например 42 + 35 = 53 + 24.
равенство:
Нека представим числата под формата на цифрови термини:
(10 1 + y 1) + (10x 2 + y 2) = (10 2 + x 2) + (10y 1 + x 1)
10x 1 + при 1 + 10x 2 + y 2 = 10y 2 + x 2 +10y 1 + x 1. с x преместваме равенствата наляво, а с y - надясно:
10x 1 - x 1 + 10x 2 - x 2 = 10y 1 - y 1 + 10y 2 - y 2.
разпространение:
9 x 1 + 9 x 2 = 9 y 1 + 9 y 2
9(x 1 + x 2) = 9(y 1 + y 2)
x 1 + x 2 = y 1 + y 2.
Тоест, за да се реши задачата, сборът на цифрите трябва да е равен на техните втори цифри.
можете да добавите следните суми:
76 + 34 = 43 + 67
25 + 63 = 36 + 52 и т.н.
Задача 2. всички двойки двуцифрени числа, резултатът от тяхното изваждане не е резултат от четене отдясно.
Представяне на нашето като сбор от членове и извършване на трансформации за решаване на нашето. Такива числа имат еднакви цифри.
(10 1 + y 1) - (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) - (10 1 + x 1)
10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 - 10y 1 - x 1
10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2
11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2
11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)
x 1 + y 1 = x 2 + y 2
можете да направите разликите:
41 - 32 = 23 - 14
46 - 28 = 82 - 64
52 -16 = 61 - 25 и т.н.
При умножение имаме: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... - когато произведението на първите числа N 1 и N 2 е равно на второто им (x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2) .
И накрая, за разделяне следните примери:
В този случай произведението на цифра N 1 и втората цифра N 2 е равно на произведението на останалите им цифри, т.е. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .
Трябва да докажа за продукта. Ето какво имам.
N 1 = = 10x 1 + y 1N3 = = 10y 2 + x 2
N 2 = = 10x 2 + y 2 N4 = = 10y 1 + x 1
N 1 ∙ N 2 = ∙ = (10x 1 + y 1) ∙ (10 2 + y 2)
N 3 ∙ N 4 = ∙ = (10у 2 + x 2) ∙ (10у 1 + x 1)
100 1 ∙x 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + y 1 ∙y 2 = 100y 1 ∙y 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + x 1 ∙x 2
99x 1 ∙x 2 = 99y 1 ∙y 2; х 1 ∙x 2 = г 1 ∙у 2 , което трябва да се докаже.
Използвайки число, което е палиндром, можете да решите делимостта, която често се използва в олимпиадите по математика. Ето някои от тях:
Задача: Докажете, че изваждате число от трицифрено число, като използвате същите числа, но в ред разликата се дели на 9.
Тези. тази работа е 9.
Между другото едно поколение е имало късмет, никой не получава поне една година, а още по-малко две - 1991 и 2002 - предишната е през 1881, а следващата през 2112. В тази работа се докоснахме до математическия феномен - по-специално до неговите палиндроми.
В моята разглеждах числа - формули - палиндроми както за разликата, така и за частното на двуцифрените и успях да ги докажа. познаването на законите и красотата е трудно, а ние сме в началото.
Използването на палиндромни числа и палиндромни формули за решаване на делимостта на числата, те често се срещат в математиката. Ето един от тях:
. Докажете, че от трицифрено число числото, записано с цифри, но наобратно, разликата ще се дели на 9.
. ,тези. тази работа е 9.
Цифровите палиндроми са числа, които се четат по един и същ начин отляво и отдясно. С други думи, чрез симетрия (подреждането на числата), броят на знаците трябва да бъде както четен, така и.
Например: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 и др.
Палиндромът може да се използва като резултат над други числа. Да използваме познатия.
Алгоритъм за получаване:
Вземете двуцифрено число
него (преместете числата наляво)
Обърнете номера
Повтаряйте подобни, докато успеете
В резултат на това, което направих, стигнах до извода, че когато се компилира, можете да го получите от всяко двуцифрено число.
Можете да обмислите не добавяне, но и операции върху палиндроми. (2)
Нека дадем два примера за това как използването на един от тях води до:
а) 212² - 121² = - 14641 = 30303;
б) = 2·11² ·101² = = 1111· = 2468642.
Сега към простите числа. Има много семейства от тях. Само сред сто милиона естествени числа има 781 прости и те се падат на първото, от които четири са числа - 2; 3; 5; 7 и само едно - 11. Има много интересни неща, свързани с тях:
Има само един палиндром с четно число - 11.
и последната цифра на прост палиндром ще бъде само 1; 3; 7 или 9. Това е от известната делимост на 2 и 5. Всички прости числа, записани от изброените цифри (19), могат да бъдат двойки.
Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.
В простите трицифрени числа има двойки, в които числото се различава с 1.
Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.
Подобно нещо се наблюдава при големи числа.
: 94849 и 94949; и 1178711.
Всички недвусмислени са палиндроми.
26 е число, а не палиндром, квадратен палиндром
Например: 26² = 676
Но числата са "обърнати" 13 - 31 и 113 - 311 с двойките "" на квадрат: 169 - 961 и 12769 - 96721. Интересното е, че дори числата им са свързани по хитър начин:
(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
От прости - палиндроми, подреждайки ги ред по ред, можете да създадете симетрични фигури с оригинален модел на числа.
1- Примери за палиндроми
2 репунита
Естествени числа, които се състоят от единици. В числовата система те се означават по-кратки Рн: Р 1 = 1, Р 2 = 11, Р 3 = 111 и т.н. и формата за тях:
Общ изглед на репълните в различна форма:
: единадесет; 111; 1111; 11111; 1111111 и др.
Намерени са интересни повторения:
Repunits са случай на палиндромни числа;
Репълните се отнасят до палиндроми, които са собствен продукт.
Известни прости репълни: Р 2 , Р 19 , Р 23 , Р 317 и Р, и най-важното, индексите за тях също са числа. Най-репълните номер - 1. голям - все още не е намерен.
Разбиване на някои репунити на прости:
11111 = 41∙ 271
3∙7∙11∙13∙37
11111111 = 11∙73∙101∙137
3∙37∙333667 и т.н. са възможни числа.
В резултат на умножаването на репълнитите получихме палиндроми:
11111∙111 = 1233321
11111∙11111 = и т.н.
Като умножим репълнитите, можем да заключим, че всеки път числото е палиндром. (3).
Номер 7 - защото неговият запис в основа 2 е: 111, а в основа 6: 11 (т.е. 7 10 = 11 6 = 111 2).
С други думи, 7 е повторно попълване по отношение на основа b > 1.
Нека дефинираме цяло число със свойството силно. Възможно е да има 8 силни по-малко от 50: (1,7,13,15,21,31,40,43). , сумата от всички по-малко е 15864.
2- Повторете пример
В областите на науката не са намерени репълнити.
Част
две интересни задачи от “Квант” № 5 за 1997г.
Кои числа трябва да се заменят, така че сборът на членовете да стане refil?
Решение: +12345679+12345679=111111111 -
Отговор: 111111111
Кои репълни са продуктът на 123455554321?
Умножавайки две репълни, ние
11111111 11111 =
Отговор: 11111111 ·
Може да се проследи: числата в записа са първо възходящи и низходящи, като числото е дължината на по-малкото, а броят на повторенията на числото в средата е равен на дължината на повторенията, за единица. След като умножихме репълнитите, заключаваме, че всеки път числото е палиндром. (3)
Експериментално е също така, че при умножаване на повторенията според правилото броят на единиците трябва да бъде по-малък от 10. Тогава максималният продукт е: 1(19) * 1(9 пъти)= 1 234 567 899 999 999 999 987 654 321. Палиндромът не работи.
занимателни и олимпиадни
Изчислителен.
Отговор: 12 345 654 321
: 12 345 554 321
брой числа - делими на 2:
б) трицифрен
в) четирицифрен
Дели се на 2 четен брой. ,
а) сред числата - палиндроми - 22, 44, 66 и 88. Тоест 4 числа.
б) числата са палиндроми, като последното е едно и също и трябва да е четно. Има 4 четни числа (2, 4, 6 и 8). В средата може да има всяко от 10 от 0 до 9. Следователно сборът на трицифрените числа е .
в) за четирицифрено търсене, една и съща и последната цифри трябва да са четни и ако вторите цифри са еднакви, цифрите трябва да са които и да е от тях. Това означава, че има и 40 четирицифрени палиндрома.
г) за числата - първото и последното са еднакви и четни, освен това 2 и 4 могат да бъдат и 10. Цифрата може да бъде и всяка от 10. , общите числа са палиндроми -.
Така че всички сме убедени, че е важно не само за себе си. подходът към околната среда помага по-добре от него. И всеки има нужда от математически стил - лингвист, химик, физик, художник, поет и т.н.
След като изучавах тази тема, изследвах свойствата на палиндромите и установих връзка между тях и ролята на простите числа в свойствата на данните.
Резултати (прилики и разлики) в таблицата.
Таблица 3 - свойства на палиндрома и.
Палиндроми |
Refiles |
|
ляво надясно и ляво са еднакви |
||
записи (цифри) |
Не винаги |
|
знаците, използвани за числа, могат да бъдат четни или |
||
Може да се получи като операции на други: допълнение строителство в екстракция умножение |
||
Възможни многоъгълни форми |
||
представители на класа на числата |
Проучвайки това, проучих свойствата и репълните, установени между тях, открих кои от тях са лесни за промяна на свойствата на числата.
изследвания (прилики и) са таблични.
Таблица 4 - „Знаете ли за тези числа?“
Refiles |
|||||||||||
студенти |
Искате повече за числата? |
||||||||||
Резултатите показват, че всички ученици знаят повече за палиндромите и.
Също така проведено „Използвате ли тези номера в?“ Данните бяха въведени.
Таблица 5 - „Вие ли сте тези числа в живота?“
студенти |
имаш ли тези числа в живота? |
||||
според проучването: Колкото повече са учениците, толкова по-често използват палиндроми и репунити в живота.
Заключение
Светът е толкова завладяващ, че докато вършим работа, се изследва, че ако всеки от нас му обърне внимание, ще намери много интересни неща за себе си.
Запознаване с естествени числа: и репунити. Всички те имат свои собствени свойства на числата.
Това означава, че хипотезата е, че простото h е частта, от която са съставени всички числа.
Чрез изучаване на прости числа, получете числови набори с техните свойства.
В голямото си внимание към проекти, конкретни социални придобивки. Често тези проекти са дългосрочни, системно ориентирани: - извънкласни дейности.
проектен метод, съчетаващ индивидуална работа със сътрудничество, малка и екипна работа. Реализиране на проекти в практиката за смяна на учителя. От носител на знания той се превръща в познавателен, изследователски. Психологическата среда в класната стая също се променя, тъй като учителят пренасочва работата си и учениците към разнообразни самостоятелни дейности, изследователска и творческа дейност. Предоставянето и поддържането на дейности се основава на сътрудничество и включва:
при определяне на намерението за проектиране;
етапи на консултиране: търсене на информация, проектиране, насърчаване на практическа директна работа с;
внимание към индивидуалните методи както на въображаемо мислене, така и на интерпретация, започване на мислене чрез дейността и нейния продукт;
инициативна и творческа проектна дейност;
в осигуряването на представяне и разглеждане на дейностите по проекта.
В резултат на активния метод на проекти в и извън час, учениците развиват умения за учене и обобщени методи. Студентите твърдо асимилират това, което получават от решаването на проблеми. Студентите изпитват обмислен ангажимент с литературен текст и опит в работата с обем от различни източници. придобиване на умения за сътрудничество и общуване: работа в, планиране на работа и в група, изучаване на ситуации и приемане.
Проектната работа в класната и извънкласната дейност допринася за формиране на духовност и култура, самостоятелност, успешна социализация и активна адаптация към труда.
Начин на дейност във връзка с промени в образованието. Компютрите се превърнаха в неразделна част от образованието. В работата си го използвам като необходимо условие за съвременен урок. техника за ясно представяне на резултатите от дейностите, избор на система, илюстриране на проблемите по темата.
Когато работите върху проект с помощта на ИКТ инструменти, се формира човек, който може не само да следва модел, но и да получава това, което е необходимо от възможно най-много източници, да го анализира и да го направи. Методът на училищния проект, тъй като демонстрира висока мотивация за учене, претоварване и повишава потенциала на учениците.
Операции на
Действие |
Полученото число |
||
Палиндром |
|||
Палиндром |
|||
12345678987654321 |
|||
Палиндром Repunit |
|||
Repunit |
|||
Палиндром |
Чрез извършване на операции върху палиндроми резултатът може да бъде както палиндром, така и репълнит.
Приложение 2
Продуктът на репълнитите дава палиндром.
1 множител |
2 множител |
работа |
1234567887654321 |
||
12345678887654321 |
||
12333333333333321 |
След като умножихме много повторения, заключаваме, че всеки път получаваме палиндромно число.
Приложение 3
Приложение 4
Снимка на преживяването
Списък на използваните източници на информация
Депман И.Я. Зад страниците на учебник по математика // помагало за ученици от 5-6 клас на средното училище. - М.: Образование, 1989.
Йейтс С. Повторно попълване и десетични точки // Издателство Мир. - 1992 г.
Кордемски Б.А. Чудният свят на числата // книга за ученици. - М.: Образование, 1995.
Kordemsky B.A. За един час със семейството на refill // Quantum. -1997. - № 5. - стр. 28-29.
Перелман Я.И. Занимателна математика // Издателство Tezis. - 1994 г
http://arbuz.uz/t_numbers.html.
Лоповок Л.М. Хиляда проблемни задачи по математика: Кн. за студенти. - М.: Образование, 1995. - 239 с.
Карпушина Н.М. Репълни и палиндроми // Математика в училище. - 2009, № 6. - С.55 - 58.
Строгов И.С. Топлината на студените числа. Есета. - Л.: Детска литература, 1974.
Перелман Я.И. Математика на живо. - М.: "Наука", 1978 г.
Източник на работа: Решение 4954. Единен държавен изпит 2016 Математика, I.V. Ященко. 36 опции. Отговор.
Задача 19.Да наречем естествено число палиндром, ако в неговия десетичен запис всички цифри са подредени симетрично (първата и последната цифра са еднакви, втората и предпоследната и т.н.). Например числата 121 и 953359 са палиндроми, но числата 10 и 953953 не са палиндроми.
а) Дайте пример за палиндромно число, което се дели на 45.
б) Колко петцифрени палиндромични числа има, които се делят на 45?
в) Намерете десетото по големина палиндромно число, което се дели на 45.
Решение.
а) Най-простият вариант би бил палиндромното число 5445, което се дели на 45.
Отговор: 5445.
б) Нека разложим числото 45 на прости множители, получаваме
тоест числото трябва да се дели и на 5, и на 9. Признак, че дадено число се дели на 5 е наличието на числото 5 в края на числото (не вземаме под внимание числото 0, т.к. не става). Получаваме палиндромно число във формата 5aba5, където a, b са цифрите на числото. Признак, че едно число се дели на 9 е сборът от цифрите
трябва да се дели на 9. От това условие имаме:
За b=0: ;
За b=1: ;
За b=2: ;
За b=3: ;
За b=5: ;
За b=6: ;
За b=7: ;
Описание на презентацията по отделни слайдове:
1 слайд
Описание на слайда:
Какво е палиндром? Работата беше извършена от учителя по математика Галина Владимировна Приходко
2 слайд
Описание на слайда:
Задача Шофьор погледна брояча на колата си и видя симетрично число (палиндром) 15951 км (прочетете същото отляво надясно или обратно). Той смяташе, че най-вероятно друго симетрично число няма да се появи скоро. След 2 часа обаче той откри ново симетрично число. С каква постоянна скорост се е движил шофьорът през тези два часа? Решение: Следващото симетрично число е 16061. Разликата е 16061 - 15951 = 110 км. Ако разделите 110 км на 2 часа, ще получите скорост от 55 км/ч. Отговор: 55 км/ч
3 слайд
Описание на слайда:
Задача за единен държавен изпит а) Дайте пример за палиндромно число, което се дели на 15. б) Колко са петцифрените палиндромни числа, които се делят на 15? в) Намерете 37-ото по големина палиндромно число, което се дели на 15. Отговори: а) 5115; б) 33; в) 59295
4 слайд
Описание на слайда:
Какво означава палиндром? Думата палиндром идва от гръцката дума palindromos, което означава „отново бягане“. Палиндромите могат да бъдат не само числа, но и думи, изречения и дори текстове.
5 слайд
Описание на слайда:
В математиката числата - палиндроми се четат еднакво както отляво надясно, така и отдясно наляво. Примери са всички едноцифрени числа, двуцифрени числа от формата αα, като 11 и 99, трицифрени числа от формата αβα, като 535 и т.н. Освен това всички двуцифрени числа създават палиндроми ( най-голямото числостъпки - 24 - изискват числата 89 и 98) Но дали числото 196 дава палиндром, все още не е известно. Числени палиндроми 676 (най-малкото число на палиндром, което е квадрат на не-палиндром, е 26). 121 (най-малкото число на палиндрома, което е квадрат на палиндрома, е 11).
6 слайд
Описание на слайда:
Суперпалиндром Някои палиндромни фрази и фрази са ни известни от древни времена. Тогава често им се придаваше магическо значение. Магическите палиндроми също включват магически квадрати, например SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (в превод „Сеячът на Арепо трудно може да задържи колелата си“).
7 слайд
Описание на слайда:
В момента палиндромът е лишен от всичко магически силии е проста игра на думи, която ви позволява да използвате малко мозъка си. Повечето палиндроми са сравнително последователен набор от думи, но има и интересни цялостни и разбираеми фрази, например „Но невидимият Архангел легна на храма и беше чуден“. Ако говорим за палиндромни думи, най-дългата дума в света се счита за „SAIPPUAKIVIKAUPPIAS“, което в превод от фински означава „продавач на сапун“.
8 слайд
Описание на слайда:
Задача: разберете колко често се срещат симетрични числа сред простите числа. За числа, по-малки от 1000, това е лесно да се разбере от таблицата на простите числа. Сред простите двуцифрени числа има само едно симетрично число - 11. Тогава открихме: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.
Слайд 9
Описание на слайда:
Доказателство Сред четирицифрените числа няма симетрични прости числа. Нека го докажем. Четирицифреното симетрично число има формата abba. Въз основа на критерия за делимост на 11, разликата между сбора на числата на нечетни места и сбора на числата на нечетни места: (a+b)-(b+a)=0. Това означава, че всички четирицифрени симетрични числа се делят на 11, т.е. съставни. По подобен начин може да се докаже, че няма да има прости числа сред всички 2n-цифрени симетрични числа.
10 слайд
Описание на слайда:
До 100 има 25 прости числа, сред които едно е симетрично, което е 4%. До 1000 прости числа става 168. Симетрични числа - 16. Това е приблизително 9,5%. До 10000 броят на симетричните числа не се променя. До 1 000 000 - 78 498 прости числа. Сега има 109 симетрични числа. Това е приблизително 0,13%. Ясно е, че процентът на симетричните числа намалява, но няма да е невъзможно да се каже, че сред много големи числа простите числа са симетрични.
11 слайд
Описание на слайда:
Имам идея, че числовите палиндроми могат да бъдат резултат от операции върху други знаци. Мартин Гарднър, авторът на книгата "Има идея!", Като доста известен популяризатор на науката, излага определена хипотеза. Ако вземете естествено число (което и да е) и добавите към него обратното му (състоящо се от същите числа, но в обратен ред), след това повторете действието, но с получената сума, тогава на една от стъпките ще получите палиндром . В някои случаи е достатъчно да извършите събирането веднъж: 213 + 312 = 525. Но обикновено са необходими поне две операции. Така например, ако вземем числото 96, тогава чрез извършване на последователно добавяне може да се получи палиндром само на четвъртото ниво: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Същността на хипотезата е, че ако вземете произволно число, след определен брой действия определено ще получите палиндром. Примери могат да бъдат намерени не само в допълнение, но и в степенуване, извличане на корени и други операции.
12 слайд
Описание на слайда:
Пример1 Нека вземем числото 619 Нека го прочетем 1 стъпка отдясно наляво 916 Нека съберем две числа 1535 „обърнете го“ 5351 2-ра стъпка Нека добавим 6886 Числото 6886 е палиндром. Освен това се получава само в 2 стъпки. Четейки го отдясно наляво или отляво надясно, получаваме същото число.
Слайд 13
Описание на слайда:
Пример2 Нека вземем числото 95 1 стъпка. Стъпка 1 „Нека го обърнем“ 59 Добавете го 154 Стъпка 2. „Нека го обърнем“ 451 2-ра стъпка Нека добавим 605 3-та стъпка „Нека го обърнем“ 506 3-та стъпка Нека добавим 1111 Числото 1111 е палиндром.
14 слайд
Описание на слайда:
Пинокио Вероятно всички помните книгата за приключенията на Пинокио. Спомняте ли си колко строга Малвина го научи да пише? Тя му каза да запише следната фраза: И РОЗАТА ПАДНА НА ЛАПАТА НА АЗОР - това е друг палиндром.
15 слайд
Описание на слайда:
Палиндроми в литературата ГЛИГАНЪТ НАТИСНА ПАТЛАДЖАНА ТИ САШО СИ ПЪЛЕН НА ЧЕЛОТО БУМ АРЖЕНТИНА СТАВА НЕГРА НО ТИ СИ ТЪНЪК КАТО НОТКИ НА ТОН АДА ЛОВЦИ И РАЗГЛЕД
16 слайд
Описание на слайда:
Думи-палиндроми ШАЛАШ, НАГАН, КАЗАК, КОК, ТОПОТ, РОТОР, КАБАК, ПУЛП, ДЯДО, РАДАР
Слайд 17
Описание на слайда:
Палиндромични фрази КОЛЕЛОТО СПРЯ, АЗ НЕ СЪМ СТАРИ БРАТ СЕНЯ ЯМ ЗМИЯ И КУЧЕТО БОСА АРЖЕНТИНА МОЛИ НЕГРЕ ДА ТЪРСИ ТАКСИ ОЦЕНЯВА НЕГРЕ АРЖЕНТИНЕЦЪТ ЛЬОША НАМЕРИ БУБЕЛКА НА РАФЦА
18 слайд
Описание на слайда:
Палиндроми на чужди езици „Мадам, аз съм Адам“ - запознаване на мъж с дама (госпожо, аз съм Адам). На това дамата може скромно да отговори с „превключвател“: „Ева“ (Ева). Не само изречения или набори от букви са симетрични. Състезавай се бързо, безопасна кола (Състезавай се бързо, безопасна кола) Виждаш ли Бог? (Виждат ли гъските Бог?) Никога нечетно или четно (Никога нечетно или четно) Не кимай (Не кимай) Догма: Аз съм Бог (Догма: Аз съм Бог) Мадам, в Едем аз съм Адам (Мадам, в рая) Аз съм Адам) Ах, Сатана вижда Наташа (Ах, Сатана вижда Наташа) Бог видя, че съм куче (Бог видя, че съм куче) Предпочитам Пи (предпочитам π) Твърде горещо за крещене (Твърде горещо за крещене )
Слайд 19
Описание на слайда:
Палиндроми-стихотворения Рядко държа фас с ръка... Тук седя сериозно, мълчаливо творя неистово, Веднъж ще се засмея, Късмет ще имам, Веднъж ще се засмея - Да, радвам се ! Можете да го прочетете от началото или от края.
20 слайд
Описание на слайда:
В музиката палиндромните музикални произведения се изпълняват „както обикновено“, според правилата. След като парчето е завършено, нотите се обръщат. След това парчето се изпълнява отново, но мелодията няма да се промени. Може да има произволен брой повторения, но не се знае кое е дъното и кое е върха. Тези музикални произведения могат да се свирят от двама души, като четат нотите от двете страни едновременно. Примери за такива палиндромни произведения включват Пътят на света, написан от Мошелес, и Мелодия за двама, композирана от Моцарт.
Яковлев Данил
Почти всички математически концепции, по един или друг начин, разчитат на понятието число и крайният резултат от всяка математическа теория, като правило, се изразява на езика на числата. Много от тях, особено естествените числа, според определени характеристики и свойства са групирани в отделни структури (колекции) и имат свои имена. Следователно целта на изследването е да се запознаем с палиндромните числа
Изтегли:
Преглед:
РУСКА ФЕДЕРАЦИЯ
Общинско бюджетно учебно заведение
"Средно училище №7"
град Нижневартовск
Изследователска работа
на училищната научно-практическа конференция на младите изследователи
Палиндроми в математиката
2016 г
ВЪВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВНА ЧАСТ................................................ ................................................. ......... 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9
ЛИТЕРАТУРА 11
Хипотеза
Простите числа са част от числата, които съставят всички естествени числа.
Чрез изследване на набора от прости числа може да се получат невероятни числови набори с техните изключителни свойства.
Цел на изследването
Почти всички математически концепции, по един или друг начин, разчитат на понятието число и крайният резултат от всяка математическа теория, като правило, се изразява на езика на числата. Много от тях, особено естествените числа, според определени характеристики и свойства са групирани в отделни структури (колекции) и имат свои имена. По този начин,цел на изследванетое въведение в палиндромните числа.
Цели на изследването
1. Проучете литературата по темата на изследването.
2. Разгледайте свойствата на палиндромите.
3. Разберете каква роля играят простите числа при промяната на свойствата на числата, които ни интересуват.
Предмет на изследване– набор от прости числа.
Обект на изследване– числата са палиндроми..
Изследователски методи:
- теоретичен
- изследване
- анализ
ВЪВЕДЕНИЕ
Един ден, докато играх на боулинг, забелязах необичайни числа: 44, 77, 99, 101 и се чудех какви са тези числа? Търсейки в интернет, разбрах, че тези числа са палиндроми.
Палиндром (от гръцки πάλιν - „назад, отново“ и гръцки δρóμος - „бягам“), понякога също палиндромон, от гр. palindromos тичане назад).
Говорейки за това какво е палиндром, трябва да се каже, че "чейнджърите" са известни от древни времена. Често им се даваше магическо свещен смисъл. Появиха се палиндроми, примери за които могат да бъдат намерени в повечето различни езици, вероятно през Средновековието.
Палиндром може да се получи в резултат на операции с други числа. И така, в книгата "Имам идея!" Във връзка с този проблем известният популяризатор на науката Мартин Гарднър споменава „хипотезата за палиндрома“.Ако вземете естествено число (което и да е) и добавите към него обратното му (състоящо се от същите числа, но в обратен ред), след това повторете действието, но с получената сума, тогава на една от стъпките ще получите палиндром . В някои случаи е достатъчно да извършите събирането веднъж: 213 + 312 = 525. Но обикновено са необходими поне две операции. Така например, ако вземем числото 96, тогава чрез извършване на последователно добавяне може да се получи палиндром само на четвърто ниво: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Същността на хипотезата е, че ако вземете произволно число, след определен брой действия определено ще получите палиндром.
ГЛАВНА ЧАСТ
Числата са палиндроми
Намирането на числа - палиндроми в математиката не беше трудно. Опитах се да напиша число за тези числа - палиндроми.
В двуцифрените числа - палиндроми, броят на единиците съвпада с броя на десетиците.
– при трицифрените числа – палиндроми, броят на стотиците винаги съвпада с броя на единиците.
При четирицифрените числа - палиндромите, броят на единиците хиляди съвпада с броя на единиците, а броят на стотиците - с броя на десетиците и т.н.
Формулите са палиндроми
Палиндромните формули предизвикаха интереса ми. Под формули - палиндроми имам предвид израз (състоящ се от сбора или разликата на числата), чийто резултат не се променя в резултат на четене на израза отдясно наляво.
Ако добавите числа, които са палиндроми, сумата не се променя. Събирането на двуцифрени числа е доста просто, реших да запиша сумата за трицифрени числа.
Например: 121+343=464
IN общ изгледможе да се напише така:
+ = +
(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)
100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x
111x + 111y = 111y + 111x
111(x + y) = 111(y + x)
x + y = y + x
Пренареждането на членовете не променя сумата(комутативно свойство на събирането).
Може да се докаже по абсолютно същия начин за 4, 5 и n-цифрени числа.
Нека разгледаме всички двойки от такива двуцифрени числа, така че резултатът от тяхното изваждане да не се променя в резултат на четене на разликата отдясно наляво.
Всяко двуцифрено число може да бъде представено като сбор от цифри:
10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2
- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)
- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)
(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)
10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1
10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2
11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2
11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)
x 1 + y 1 = x 2 + y 2
Такива числа имат равни суми от цифри.
Сега можете да правите следните разлики:
41 – 32 = 23 – 14
46 – 28 = 82 – 64
52 –16 = 61 – 25 и т.н.
Именни палиндроми
Палиндромите се намират в някои набори от числа, които имат свои собствени имена: число на Фибоначи, число на Смит, Repdigit, Repunit.
Числата на Фибоначиназовават елементите на числова редица. При нея всяко следващо число от редица се получава чрез сумиране на двете предходни числа.
Пример: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
номер на Смит - съставно число, чиято сума от цифрите е равна на сумата от цифрите на неговите прости делители.
Пример: 202=2+0+2=4
Repdigit - естествено число, в което всички цифри са еднакви.
Repunit - естествено число, записано само с единици
Числен конструктор
От прости палиндромни числа, подреждайки ги по определен начин, да речем ред по ред, можете да създадете симетрични фигури, отличаващи се с оригинален модел на повтарящи се числа.
Ето, например, красива комбинация от прости палиндроми, изписани с 1 и 3 (фиг. 1). Особеността на този числов триъгълник е, че един и същ фрагмент се повтаря три пъти, без да се нарушава симетрията на шаблона.
Ориз. 1
Лесно се вижда, че общият брой редове и колони е просто число (17). В допълнение, прости числа и суми от цифри: фрагменти, маркирани в червено (17); всеки ред с изключение на първия (5, 11, 17, 19, 23); третата, петата, седмата и деветата колона (7, 11) и „стълбата“ от единици, образуващи страните на триъгълника (11). Накрая, ако се движим успоредно на посочените „страни“ и съберем поотделно числата от третия и петия ред (фиг. 2), получаваме още две прости числа (17, 5).
Ориз. 2
Продължавайки конструкцията, можете да конструирате по-сложни фигури въз основа на този триъгълник. Така че не е трудно да се получи друг триъгълник с подобни свойства, като се движите от края, т.е. започвате от последното число, зачертавате на всяка стъпка две еднакви симетрично разположени числа и пренареждате или заменяте други - 3 по 1 и обратно. . В този случай самите числа трябва да бъдат избрани по такъв начин, че полученото число да се окаже просто. Комбинирайки двете фигури, получаваме ромб с характерен модел на числа, криещ много прости числа (фиг. 3). По-конкретно, сборът от числата, подчертани в червено, е 37.
Ориз. 3
Можете също така да направите многоъгълни фигури от числа, които имат определени свойства. Да предположим, че трябва да конструирате фигура от прости палиндроми, написани с помощта на 1 и 3, всяка от които има екстремни цифри, които са единици, а сумата от всички цифри и общият брой единици в реда са прости числа (изключението е единично -цифрен палиндром). Освен това простото число трябва да изразява общия брой редове, както и цифри 1 или 3, намерени в записа.
На фиг. Фигура 4 показва едно от решенията на проблема - „къща“, изградена от 11 различни палиндрома.
Ориз. 4
Разбира се, не е необходимо да се ограничавате до две цифри и да изисквате наличието на всички посочени цифри в записа на всяко използвано число. По-скоро, напротив: в края на краищата, техните необичайни комбинации придават оригиналност на модела на фигурата. За да потвърдим това, ние даваме няколко примера за красиви палиндромни зависимости (фиг. 5−7).
Ориз. 5
Ориз. 6
Ориз. 7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работата си разглеждах числа - палиндроми, формули - палиндроми за сбора на трицифрените числа и разликата на двуцифрените числа и успях да ги докажа. Запознах се с невероятни естествени числа: палиндроми и репълнити. Всички те дължат свойствата си на простите числа.
Интуитивно съставих формули за сбор и разлика на n-цифрени числа, произведение и частно на двуцифрени числа.
В случай на умножение имаме:
63 ∙ 48 = 84 ∙ 36
82 ∙ 14 = 41 ∙ 28
26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 и т.н.
Произведението на първите цифри е равно на произведението на вторите им цифри x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2
За разделяне получаваме следните примери:
62: 31 = 26: 13
96:32 = 69:23 и т.н.
Все още не съм успял да докажа тези твърдения, но мисля, че ще мога да го направя в бъдеще.
В литературата успях да намеря формули - палиндроми за умножение на многоцифрени числа
20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302
726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312
Постигнах целта на работата си. Разгледах числа - палиндроми и ги записах в общ вид. Даде примери и доказа формули – палиндроми за събиране и изваждане на двуцифрени числа. Идентифицирах редица въпроси, върху които все още трябва да работя и да изследвам формули - палиндроми. Това означава, че потвърдих хипотезата, че простите числа са част от числата, съставляващи всички естествени числа. Чрез изследване на набора от прости числа може да се получат невероятни числови набори с техните изключителни свойства.
Преглед:
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте:
- Рене Декарт: кратка биография и принос към науката
- Какво е знание? Видове знания. Знанието е живот! Без необходимите знания е невъзможно да оцелееш навсякъде.
- Книги за магия: отваряне на завесата на тайните
- Тълкуване на сънища: защо мечтаете за кученце, да видите кученце насън, какво означава кученце насън?