Какво е естествено число? История, обхват, свойства. Естествени числа Как се наричат компонентите на умножението?
Най-простото число е естествено число. Те се използват в Ежедневиетоза броене обекти, т.е. да се изчисли техният брой и ред.
Какво е естествено число: естествени числаназовавайте числата, с които сте свикнали броене на артикули или за посочване на серийния номер на всеки артикул от всички хомогенниелементи.
Цели числа- това са числа, започващи от единица. Те се образуват естествено при броене.Например 1,2,3,4,5... -първи естествени числа.
Най-малкото естествено число- един. Няма най-голямо естествено число. При броене на броя Нула не се използва, така че нулата е естествено число.
Редица от естествени числае последователността от всички естествени числа. Писане на естествени числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
В естествената серия всяко число е по-голямо от предишното едно по едно.
Колко числа има в естествения ред? Естественият ред е безкраен, най-голямото естествено число не съществува.
Десетичен, тъй като 10 единици от всяка цифра образуват 1 единица от най-високата цифра. Позиционно така как значението на една цифра зависи от нейното място в числото, т.е. от категорията, където е написано.
Класове естествени числа.
Всяко естествено число може да се запише с 10 арабски цифри:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
За да се разчетат естествените числа, те се разделят, започвайки отдясно, на групи от по 3 цифри. 3 първо числата вдясно са класът на единиците, следващите 3 са класът на хилядите, след това класовете на милионите, милиардите ии т.н. Всяка от цифрите на класа се нарича свояосвобождаване от отговорност.
Сравнение на естествени числа.
От 2 естествени числа по-малкото е числото, което се извиква по-рано при броенето. Например, номер 7 по-малко 11 (написано така:7 < 11 ). Когато едно число е по-голямо от второто, се записва така:386 > 99 .
Таблица с цифри и класове числа.
единица 1 клас |
1-ва цифра на единицата 2-ра цифра десетици 3-то място стотни |
2-ри клас хил |
1-ва цифра на хилядната единица 2-ра цифра десетки хиляди 3-та категория стотици хиляди |
3 клас милиони |
1-ва цифра на единица милиони 2-ра категория десетки милиони 3-та категория стотици милиони |
Милиарди от 4 клас |
1-ва цифра на единица милиарди 2-ра категория десетки милиарди 3-та категория стотици милиарди |
Числата от 5 клас и нагоре се считат за големи числа. Единици от 5-ти клас са трилиони, 6-ти клас - квадрилиони, 7 клас - квинтилиони, 8 клас - секстилиони, 9 клас -ептилиони. Основни свойства на естествените числа.
Операции с естествени числа. 4. Деленето на естествени числа е действие, обратно на умножението. Ако b ∙ c = a, Че Формули за деление: а: 1 = а a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (А∙ b) : c = (a:c) ∙ b (А∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числови изрази и числени равенства. Нотация, при която числата са свързани със знаци за действие, е числено изражение. Например 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записите, в които 2 числови израза са комбинирани със знак за равенство, са числови равенства. Равенството има лява и дясна страна. Редът за извършване на аритметични операции. Събирането и изваждането на числата са операции от първа степен, докато умножението и делението са операции от втора степен. Когато числовият израз се състои от действия само от една степен, те се извършват последователноот ляво на дясно. Когато изразите се състоят от действия само от първа и втора степен, тогава действията се извършват първи втора степен, а след това - действия от първа степен. Когато в даден израз има скоби, първо се изпълняват действията в скобите. Например 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Навигация на страницата:
Определение. Цели числа- това са числата, които се използват за броене: 1, 2, 3, ..., n, ...
Множеството от естествени числа обикновено се означава със символа н(от лат. натуралис- естествен).
Естествените числа в десетичната бройна система се записват с десет цифри:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Множеството от естествени числа е поръчан комплект, т.е. за всякакви естествени числа m и n е вярно едно от следните отношения:
- или m = n (m е равно на n),
- или m > n (m по-голямо от n),
- или m< n (m меньше n ).
- Най-малко естественочисло - едно (1)
- Няма най-голямо естествено число.
- Нула (0) не е естествено число.
От съседните естествени числа се нарича числото, което е вляво от n предишен номер n, и се извиква числото, което е вдясно следващ след n.
Операции с естествени числа
Затворените операции върху естествени числа (операции, произтичащи от естествени числа) включват следните аритметични операции:
- Допълнение
- Умножение
- степенуване a b , където a е основата, а b е степента. Ако основата и степента са естествени числа, тогава резултатът ще бъде естествено число.
Освен това се обмислят още две операции. От формална гледна точка те не са операции върху естествени числа, тъй като техният резултат не винаги ще бъде естествено число.
- Изваждане(В този случай Minuend трябва да е по-голямо от Subtrahend)
- дивизия
Класове и звания
Мястото е позицията (позицията) на цифра в числов запис.
Най-ниският ранг е този отдясно. Най-значимата цифра е тази отляво.
Пример:
5 - единици, 0 - десетки, 7 - стотици,
2 - хиляди, 4 - десетки хиляди, 8 - стотици хиляди,
3 - милион, 5 - десетки милиони, 1 - сто милиона
За по-лесно четене естествените числа са разделени на групи от по три цифри, като се започне отдясно.
Клас- група от три цифри, на които се разделя числото, започвайки отдясно. Последният клас може да се състои от три, две или една цифра.
- Първият клас е класът на единиците;
- Вторият клас е класът на хилядите;
- Третата класа е класата на милионите;
- Четвъртият клас е класът на милиардите;
- Пети клас - клас трилиони;
- Шести клас - клас квадрилиони (квадрилиони);
- Седмият клас е класът на квинтилионите (квинтилиони);
- Осми клас - секстилион клас;
- Девети клас - септилион клас;
Пример:
34 - милиард 456 милиона 196 хиляди 45
Сравнение на естествени числа
Сравняване на естествени числа с различен брой цифри
Сред естествените числа по-голямо е това с повече цифриСравняване на естествени числа с равен брой цифри
Сравнете числата малко по малко, като започнете с най-значимата цифра. По-голям е този, който има повече единици в най-високия ранг със същото име
Пример:
3466 > 346 - тъй като числото 3466 се състои от 4 цифри, а числото 346 се състои от 3 цифри.
34666 < 245784 - тъй като числото 34666 се състои от 5 цифри, а числото 245784 се състои от 6 цифри.
Пример:
346 667 670 52 6 986
346 667 670 56 9 429
Второто естествено число с равен брой цифри е по-голямо, тъй като 6 > 2.
В математиката има няколко различни набора от числа: реални, комплексни, цели, рационални, ирационални, ... В нашата ЕжедневиетоНай-често използваме естествени числа, тъй като ги срещаме при броене и при търсене, обозначавайки броя на обектите.
Във връзка с
Кои числа се наричат естествени?
От десет цифри можете да напишете абсолютно всяка съществуваща сума от класове и рангове. За природни ценности се считат тези които се използват:
- При броене на всякакви предмети (първи, втори, трети, ... пети, ... десети).
- При посочване на броя на елементите (един, два, три...)
N стойностите винаги са цели и положителни. Няма най-голямо N, тъй като наборът от цели числа е неограничен.
внимание!Естествените числа се получават при броене на предмети или при посочване на тяхното количество.
Абсолютно всяко число може да бъде разложено и представено под формата на цифри, например: 8.346.809=8 милиона+346 хиляди+809 единици.
Комплект N
Множеството N е в множеството реални, цели и положителни. На диаграмата на множествата те биха били разположени едно в друго, тъй като множеството от естествени е част от тях.
Множеството от естествени числа се обозначава с буквата N. Това множество има начало, но няма край.
Има и разширено множество N, където е включена нула.
Най-малкото естествено число
В повечето математически училища най-малката стойност на N се счита за единица, тъй като липсата на обекти се счита за празнота.
Но в чуждите математически школи, например във френската, се смята за естествено. Наличието на нула в серията прави доказателството по-лесно някои теореми.
Серия от стойности N, която включва нула, се нарича разширена и се обозначава със символа N0 (нулев индекс).
Редица от естествени числа
N серия е поредица от всички N комплекта цифри. Тази поредица няма край.
Особеността на естествената серия е, че следващото число ще се различава с единица от предишното, тоест ще се увеличава. Но значенията не може да бъде отрицателен.
внимание!За по-лесно преброяване има класове и категории:
- Единици (1, 2, 3),
- Десетки (10, 20, 30),
- Стотици (100, 200, 300),
- Хиляди (1000, 2000, 3000),
- Десетки хиляди (30 000),
- Стотици хиляди (800 000),
- Милиони (4000000) и т.н.
Всички Н
Всички N са в множеството от реални, цели числа, неотрицателни стойности. Техни са интегрална част.
Тези стойности отиват до безкрайност, те могат да принадлежат към класовете милиони, милиарди, квинтилиони и т.н.
Например:
- Пет ябълки, три котенца,
- Десет рубли, тридесет молива,
- Сто килограма, триста книги,
- Милион звезди, три милиона души и т.н.
Последователност в N
В различни математически школи можете да намерите два интервала, към които принадлежи редицата N:
от нула до плюс безкрайност, включително краищата, и от едно до плюс безкрайност, включително краищата, тоест всичко цели положителни отговори.
N набора от цифри могат да бъдат четни или нечетни. Нека разгледаме концепцията за странност.
Нечетни (всяко нечетно число завършва с числата 1, 3, 5, 7, 9.) с две имат остатък. Например 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
Какво означава дори N?
Всички четни суми от класове завършват с числа: 0, 2, 4, 6, 8. Когато четното N се раздели на 2, няма да има остатък, тоест резултатът е целият отговор. Например 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
важно!Числова серия от N не може да се състои само от четни или нечетни стойности, тъй като те трябва да се редуват: четното винаги е последвано от нечетно, последвано от четно отново и т.н.
Имоти N
Както всички други множества, N има свои собствени специални свойства. Нека разгледаме свойствата на серията N (неразширена).
- Стойността, която е най-малка и не следва никоя друга, е единица.
- N представлява последователност, тоест една естествена стойност следва друг(с изключение на един - той е първият).
- Когато извършваме изчислителни операции върху N суми от цифри и класове (събиране, умножение), тогава отговорът винаги се оказва естественозначение.
- Пермутацията и комбинацията могат да се използват в изчисленията.
- Всяка следваща стойност не може да бъде по-малка от предишната. Също така в серията N ще важи следният закон: ако числото A е по-малко от B, тогава в числовата серия винаги ще има C, за което е валидно равенството: A+C=B.
- Ако вземем два естествени израза, например A и B, тогава един от изразите ще бъде верен за тях: A = B, A е по-голямо от B, A е по-малко от B.
- Ако A е по-малко от B и B е по-малко от C, тогава следва, че че А е по-малко от С.
- Ако A е по-малко от B, тогава следва, че: ако добавим същия израз (C) към тях, тогава A + C е по-малко от B + C. Също така е вярно, че ако тези стойности се умножат по C, тогава AC е по-малко от AB.
- Ако B е по-голямо от A, но по-малко от C, тогава: B-A по-малко S-A.
внимание!Всички горни неравенства са валидни и в обратна посока.
Как се наричат компонентите на умножението?
В много прости и дори сложни проблеми намирането на отговор зависи от уменията на учениците.
За да умножавате бързо и правилно и да можете да решавате обратни задачи, трябва да знаете компонентите на умножението.
15. 10=150. В този израз има 15 и 10 са множители, а 150 е продукт.
Умножението има свойства, които са необходими при решаване на задачи, уравнения и неравенства:
- Пренареждането на факторите няма да промени крайния продукт.
- За да намерите неизвестен фактор, трябва да разделите продукта на известен фактор (вярно за всички фактори).
Например: 15 . X=150. Нека разделим продукта на известен фактор. 150:15=10. Да направим проверка. 15 . 10=150. По този принцип дори решават сложни линейни уравнения(за да ги опростя).
важно!Един продукт може да се състои от повече от два фактора. Например: 840=2 . 5. 7. 3. 4
Какво представляват естествените числа в математиката?
Места и класове на естествените числа
Заключение
Нека да обобщим. N се използва при броене или посочване на броя на елементите. Поредицата от естествени набори от числа е безкрайна, но включва само цели числа и положителни суми от цифри и класове. Умножението също е необходимо, за да да брои предмети, както и за решаване на задачи, уравнения и различни неравенства.
Историята на естествените числа започва в първобитни времена.От древни времена хората са броили предмети. Например в търговията ви трябваше сметка на стоки или в строителството сметка на материали. Да, дори в ежедневието също трябваше да броя неща, храна, добитък. Първоначално числата се използват само за броене в живота, на практика, но по-късно, с развитието на математиката, те стават част от науката.
Цели числа- това са числата, които използваме, когато броим предмети.
Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
Нулата не е естествено число.
Всички естествени числа, или да го наречем набор от естествени числа, се означават със символа N.
Таблица на естествените числа.
Естествена серия.
Естествени числа, записани подред във възходящ ред естествени серииили поредица от естествени числа.
Свойства на естествената серия:
- Най-малкото естествено число е едно.
- В естествена серия следващото число е по-голямо от предишното едно по едно. (1, 2, 3, ...) Три точки или елипси се поставят, ако е невъзможно да се завърши редицата от числа.
- Естественият ред няма най-голям брой, той е безкраен.
Пример #1:
Напишете първите 5 естествени числа.
Решение:
Естествените числа започват от единица.
1, 2, 3, 4, 5
Пример #2:
Нулата естествено число ли е?
Отговор: не.
Пример #3:
Кое е първото число в естествената редица?
Отговор: Естественият ред започва от единица.
Пример #4:
Кое е последното число в естествената редица? Кое е най-голямото естествено число?
Отговор: Естественият ред започва с единица. Всяко следващо число е едно по едно по-голямо от предишното, така че последното число не съществува. себе си голямо числоНе.
Пример #5:
Един от естествената серия има ли предишен номер?
Отговор: не, защото единица е първото число в естествената редица.
Пример #6:
Назовете следващото число от естествената редица: а)5, б)67, в)9998.
Отговор: а)6, б)68, в)9999.
Пример #7:
Колко числа има в естествената редица между числата: а) 1 и 5, б) 14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа са между числата 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четири числа са между числата 14 и 19.
Пример #8:
Кажете предишното число след 11.
Отговор: 10.
Пример #9:
Какви числа се използват при броене на предмети?
Отговор: естествени числа.
Естествените числа са едни от най-старите математически понятия.
В далечното минало хората не са познавали числата и когато е трябвало да преброят предмети (животни, риби и др.), са го правили по различен начин от нас сега.
Броят на обектите беше сравнен с части от тялото, например с пръсти на ръката, и те казаха: „Имам толкова ядки, колкото има пръсти на ръката ми“.
С течение на времето хората разбраха, че имат пет ореха, пет кози и пет зайци обща собственост- броят им е пет.
Помня!
Цели числа- това са числа, започващи от 1, получени чрез броене на предмети.
1, 2, 3, 4, 5…
Най-малкото естествено число — 1 .
Най-голямото естествено числоне съществува.
При броене числото нула не се използва. Следователно нулата не се счита за естествено число.
Хората се научиха да пишат числа много по-късно, отколкото да броят. Първо започнаха да изобразяват едно с една пръчка, след това с две пръчки - числото 2, с три - числото 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Тогава се появиха специални знаци за обозначаване на числата - предшествениците на съвременните числа. Цифрите, които използваме за записване на числа, произхождат от Индия преди приблизително 1500 години. Арабите ги пренасят в Европа, затова се наричат арабски цифри.
Има общо десет числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощта на тези числа можете да напишете всяко естествено число.
Помня!
Естествена серияе последователността от всички естествени числа:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В естествения ред всяко число е по-голямо от предходното с 1.
Естественият ред е безкраен, в него няма най-голямо естествено число.
Системата за броене, която използваме, се нарича десетичен позиционен.
Десетичен, защото 10 единици от всяка цифра образуват 1 единица от най-значимата цифра. Позиционен, защото значението на една цифра зависи от нейното място в записа на числото, тоест от цифрата, в която е записана.
важно!
Класовете след милиарда са именувани според латинските наименования на числата. Всяка следваща единица съдържа хиляда предишни.
- 1000 милиарда = 1 000 000 000 000 = 1 трилион ("три" е латински за "три")
- 1000 трилиона = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрилион ("квадра" на латински означава "четири")
- 1000 квадрилиона = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтилион ("кинта" е латински за "пет")
Въпреки това, физиците са открили число, което надвишава броя на всички атоми (най-малките частици материя) в цялата Вселена.
Този номер получи специално име - googol. Googol е число със 100 нули.