Рационални числа, определение, примери. Рационални числа, дефиниция, примери Как да докажем, че едно число е граница
В тази статия ще започнем да изследваме рационални числа. Тук ще дадем дефиниции на рационални числа, ще дадем необходимите обяснения и ще дадем примери за рационални числа. След това ще се съсредоточим върху това как да определим дали дадено число е рационално или не.
Навигация в страницата.
Определение и примери за рационални числа
В този раздел ще дадем няколко дефиниции на рационални числа. Въпреки разликите във формулировката, всички тези определения имат едно и също значение: рационалните числа обединяват цели числа и дроби, точно както целите числа обединяват естествените числа, техните противоположности и числото нула. С други думи, рационалните числа обобщават цели и дробни числа.
Да започнем с дефиниции на рационални числа, което се възприема най-естествено.
От дадената дефиниция следва, че рационално число е:
- Всяко естествено число n. Всъщност можете да представите всяко естествено число като обикновена дроб, например 3=3/1.
- Всяко цяло число, по-специално числото нула. Всъщност всяко цяло число може да бъде записано като положителна дроб, отрицателна дроб или нула. Например 26=26/1, .
- Всяка обикновена дроб (положителна или отрицателна). Това се потвърждава пряко от дадената дефиниция на рационалните числа.
- Всяко смесено число. Всъщност винаги можете да представите смесено число като неправилна дроб. Например и.
- Всяка крайна десетична дроб или безкрайна периодична дроб. Това се дължи на факта, че посочените десетични дроби се превръщат в обикновени дроби. Например, и 0,(3)=1/3.
Също така е ясно, че всяка безкрайна непериодична десетична дроб НЕ е рационално число, тъй като не може да бъде представена като обикновена дроб.
Сега можем лесно да дадем примери за рационални числа. Числата 4, 903, 100,321 са рационални числа, защото са естествени числа. Целите числа 58, −72, 0, −833,333,333 също са примери за рационални числа. Обикновените дроби 4/9, 99/3 също са примери за рационални числа. Рационалните числа също са числа.
От горните примери става ясно, че има както положителни, така и отрицателни рационални числа, а рационалното число нула не е нито положително, нито отрицателно.
Горната дефиниция на рационалните числа може да се формулира в по-сбита форма.
Определение.
Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като дроб z/n, където z е цяло число, а n е естествено число.
Нека докажем, че тази дефиниция на рационални числа е еквивалентна на предишната дефиниция. Знаем, че можем да разглеждаме чертата на дробта като знак за деление, тогава от свойствата за деление на цели числа и правилата за деление на цели числа следва валидността на следните равенства и. Така че това е доказателството.
Нека дадем примери за рационални числа въз основа на това определение. Числата −5, 0, 3 и са рационални числа, тъй като могат да бъдат записани като дроби с цял числител и естествен знаменател от вида и съответно.
Дефиницията на рационални числа може да се даде в следната формулировка.
Определение.
Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.
Това определение също е еквивалентно на първото определение, тъй като всяка обикновена дроб съответства на крайна или периодична десетична дроб и обратно, и всяко цяло число може да бъде свързано с десетична дроб с нули след десетичната запетая.
Например числата 5, 0, −13 са примери за рационални числа, защото могат да бъдат записани като следните десетични дроби 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 и −7, (18).
Нека завършим теорията на тази точка със следните твърдения:
- цели числа и дроби (положителни и отрицателни) съставляват множеството от рационални числа;
- всяко рационално число може да бъде представено като дроб с цял числител и естествен знаменател и всяка такава дроб представлява определено рационално число;
- всяко рационално число може да бъде представено като крайна или безкрайна периодична десетична дроб и всяка такава дроб представлява рационално число.
Това число рационално ли е?
В предишния параграф разбрахме, че всяко естествено число, всяко цяло число, всяка обикновена дроб, всяко смесено число, всяка крайна десетична дроб, както и всяка периодична десетична дроб е рационално число. Това знание ни позволява да „разпознаем“ рационални числа от набор от записани числа.
Но какво, ако числото е дадено под формата на някои , или като и т.н., как да отговоря на въпроса дали това число е рационално? В много случаи е много трудно да се отговори. Нека посочим някои посоки на мислене.
Ако числото е дадено като числов израз, който съдържа само рационални числа и знаци аритметични операции(+, −, · и:), тогава стойността на този израз е рационално число. Това следва от това как се дефинират операциите с рационални числа. Например, след като извършим всички операции в израза, получаваме рационалното число 18.
Понякога, след опростяване на изразите и усложняване, става възможно да се определи дали дадено число е рационално.
Да отидем по-нататък. Числото 2 е рационално число, тъй като всяко естествено число е рационално. Какво ще кажете за номера? Рационално ли е? Оказва се, че не, това не е рационално число, а ирационално число (доказателството на този факт от противно е дадено в учебника по алгебра за 8 клас, посочен по-долу в списъка с литература). Доказано е също, че квадратният корен от естествено число е рационално число само в случаите, когато под корена има число, което е идеалният квадрат на някакво естествено число. Например и са рационални числа, тъй като 81 = 9 2 и 1 024 = 32 2, а числата и не са рационални, тъй като числата 7 и 199 не са перфектни квадрати естествени числа.
Числото рационално ли е или не? В този случай е лесно да се забележи, че следователно това число е рационално. Числото рационално ли е? Доказано е, че k-ти корен от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на някакво цяло число. Следователно това не е рационално число, тъй като няма цяло число, чиято пета степен да е 121.
Методът от противното позволява да се докаже, че логаритмите на някои числа не са рационални числа по някаква причина. Например, нека докажем, че - не е рационално число.
Да приемем обратното, т.е. да кажем, че това е рационално число и може да се запише като обикновена дроб m/n. Тогава даваме следните равенства: . Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата страна има нечетно число 5 n, а от дясната страна е четното число 2 m. Следователно нашето предположение е неправилно, следователно не е рационално число.
В заключение, заслужава да се отбележи, че когато се определя рационалността или ирационалността на числата, трябва да се въздържате от внезапни заключения.
Например, не трябва веднага да твърдите, че произведението на ирационалните числа π и e е ирационално число; това е „привидно очевидно“, но не е доказано. Това повдига въпроса: „Защо един продукт би бил рационално число?“ И защо не, защото можете да дадете пример за ирационални числа, чието произведение дава рационално число: .
Също така не е известно дали числата и много други числа са рационални или не. Например, има ирационални числа, чиято ирационална степен е рационално число. За илюстрация представяме степен от формата , основата на тази степен и показателят не са рационални числа, а , а 3 е рационално число.
Библиография.
- Математика. 6 клас: учебен. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Тук ще разгледаме дефиницията на крайната граница на последователност. Случаят на последователност, сходна към безкрайност, е разгледан на страницата „Дефиниция на безкрайно голяма последователност“.
Определение
(xn), ако за всяко положително число ε > 0
има естествено число N ε, зависещо от ε, така че за всички естествени числа n > N ε неравенството
| x n - a|< ε
.
Границата на последователността се обозначава, както следва:
.
Или при .
Нека трансформираме неравенството:
;
;
.
Отворен интервал (a - ε, a + ε) се нарича ε - околност на точка а.
Извиква се последователност, която има граница конвергентна последователност. Също така се казва, че последователността се сближавакъм а. Извиква се последователност, която няма ограничение разнопосочни.
От дефиницията следва, че ако една последователност има граница a, без значение каква ε-околност на точка a изберем, извън нея може да има само краен брой елементи на последователността или изобщо да няма (празното множество) . И всяка ε-околност съдържа безкраен брой елементи. Всъщност, след като сме дали определено число ε, по този начин имаме числото . Така че всички елементи на редицата с числа , по дефиниция, се намират в ε - околността на точка a . Първите елементи могат да бъдат разположени навсякъде. Тоест извън ε-околността не може да има повече от елементи - тоест краен брой.
Също така отбелязваме, че разликата не трябва монотонно да клони към нула, тоест да намалява през цялото време. Тя може да клони към нула немонотонно: може или да нараства, или да намалява, като има локални максимуми. Въпреки това, тези максимуми, когато n нараства, трябва да клонят към нула (евентуално също не монотонно).
Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, определението за граница може да бъде написано по следния начин:
(1)
.
Определяне, че a не е граница
Сега разгледайте обратното твърдение, че числото a не е границата на редицата.
Номер а не е границата на последователността, ако има такова, че за всяко естествено число n съществува такова естествено m > n, Какво
.
Нека напишем това твърдение с помощта на логически символи.
(2)
.
Твърдение, че числото a не е границата на редицата, означава, че
можете да изберете такава ε - околност на точка a, извън която ще има безкраен брой елементи от последователността.
Нека разгледаме един пример. Нека е дадена редица с общ елемент
(3)
Всяка околност на точка съдържа безкраен брой елементи. Тази точка обаче не е границата на последователността, тъй като всяка околност на точката също съдържа безкраен брой елементи. Да вземем ε – околност на точка с ε = 1
. Това ще бъде интервалът (-1, +1)
. Всички елементи с изключение на първия с четно n принадлежат на този интервал. Но всички елементи с нечетно n са извън този интервал, тъй като те удовлетворяват неравенството x n > 2
. Тъй като броят на нечетните елементи е безкраен, ще има безкраен брой елементи извън избрания квартал. Следователно точката не е границата на последователността.
Сега ще покажем това, като стриктно се придържаме към твърдение (2). Точката не е граница на редицата (3), тъй като съществува такава, че за всяко естествено n има нечетно, за което неравенството е в сила
.
Може също да се покаже, че всяка точка a не може да бъде граница на тази последователност. Винаги можем да изберем ε - околност на точка a, която не съдържа нито точка 0, нито точка 2. И тогава извън избраната околност ще има безкраен брой елементи от редицата.
Еквивалентно определение
Можем да дадем еквивалентна дефиниция на границата на последователност, ако разширим понятието ε - съседство. Ще получим еквивалентна дефиниция, ако вместо ε-околност съдържа произволна околност на точката a.
Определяне на околността на точка
Околностите на точка асе извиква всеки отворен интервал, съдържащ тази точка. Математически околността се определя по следния начин: , където ε 1
и ε 2
- произволни положителни числа.
Тогава дефиницията на границата ще бъде както следва.
Еквивалентна дефиниция на границата на последователността
Числото a се нарича граница на редицата, ако за произволна негова околност съществува естествено число N такова, че всички елементи на редицата с числа принадлежат на тази околност.
Това определение може да се представи и в разширена форма.
Числото a се нарича граница на редицата, ако за произволни положителни числа и съществува естествено число N в зависимост от и такова, че неравенствата са валидни за всички естествени числа
.
Доказателство за еквивалентност на дефинициите
Нека докажем, че двете дефиниции на границата на редица, представени по-горе, са еквивалентни.
Нека числото a е границата на редицата според първата дефиниция. Това означава, че има функция, така че за всяко положително число ε са изпълнени следните неравенства:
(4)
при .
Нека покажем, че числото a е границата на редицата по второто определение. Тоест трябва да покажем, че има такава функция, че за всякакви положителни числа ε 1
и ε 2
са изпълнени следните неравенства:
(5)
при .
Нека имаме две положителни числа: ε 1
и ε 2
. И нека ε е най-малкото от тях: . Тогава ; ; . Нека използваме това в (5):
.
Но неравенствата са изпълнени за . Тогава неравенствата (5) са изпълнени и за .
Тоест намерихме функция, за която неравенствата (5) са изпълнени за всякакви положителни числа ε 1
и ε 2
.
Първата част е доказана.
Сега нека числото a е границата на редицата според втората дефиниция. Това означава, че има функция, такава че за всякакви положителни числа ε 1
и ε 2
са изпълнени следните неравенства:
(5)
при .
Нека покажем, че числото a е границата на редицата по първото определение. За да направите това, трябва да поставите. Тогава, когато са валидни следните неравенства:
.
Това съответства на първото определение с .
Еквивалентността на дефинициите е доказана.
Примери
Тук ще разгледаме няколко примера, в които трябва да докажем, че дадено число a е границата на редица. В този случай трябва да зададете произволно положително число ε и да дефинирате функция N от ε така, че неравенството да е изпълнено за всички.
Пример 1
Докажи това .
(1)
.
В нашия случай;
.
.
Нека използваме свойствата на неравенствата. Тогава ако и , тогава
.
.
Тогава
при .
Това означава, че числото е границата на дадената последователност:
.
Пример 2
Използвайки дефиницията на границата на редица, докажете това
.
Нека запишем дефиницията на границата на последователност:
(1)
.
В нашия случай, ;
.
Въведете положителни числа и:
.
Нека използваме свойствата на неравенствата. Тогава ако и , тогава
.
Тоест, за всяко положително, можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
Тогава
при .
.
Пример 3
.
Въвеждаме обозначението , .
Нека трансформираме разликата:
.
За естествени n = 1, 2, 3, ...
ние имаме:
.
Нека запишем дефиницията на границата на последователност:
(1)
.
Въведете положителни числа и:
.
Тогава ако и , тогава
.
Тоест, за всяко положително, можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
При което
при .
Това означава, че числото е границата на последователността:
.
Пример 4
Използвайки дефиницията на границата на редица, докажете това
.
Нека запишем дефиницията на границата на последователност:
(1)
.
В нашия случай, ;
.
Въведете положителни числа и:
.
Тогава ако и , тогава
.
Тоест, за всяко положително, можем да вземем всяко естествено число, по-голямо или равно на:
.
Тогава
при .
Това означава, че числото е границата на последователността:
.
Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.
Инструкции
Търсенето обаче може да бъде доста дълго, ако, да речем, трябва да проверите номер като 136827658235479371. Следователно си струва да обърнете внимание на правила, които могат значително да намалят времето за изчисление.
Ако числото е съставно, т.е. е продукт на прости множители, тогава сред тези множители трябва да има поне един, който е по-малък от корен квадратен от даденото число. В края на краищата произведението от две, всяко от които е по-голямо от корен квадратен от някакво X, със сигурност ще бъде по-голямо от X и тези две числа не могат по никакъв начин да бъдат негови делители.
Следователно, дори и при просто търсене, можете да се ограничите до проверка само на онези цели числа, които не надвишават квадратния корен на дадено число, закръглено нагоре. Например, когато проверявате числото 157, пробвате само възможни фактори от 2 до 13.
Ако нямате компютър под ръка и трябва да проверите номера за простота ръчно, тогава тук също идват на помощ прости и очевидни правила. Това, което ще ви помогне най-много, е да знаете това, което вече знаете прости числа. В крайна сметка няма смисъл да проверявате делимостта на съставните числа поотделно, ако можете да проверите делимостта на тях основни фактори.
Четен бройпо дефиниция не може да бъде просто, тъй като се дели на 2. Следователно, ако последната цифра на числото е четна, то очевидно е съставно.
Числата, които се делят на 5, винаги завършват на 5 или нула. Гледането на последната цифра от номера ще помогне да ги отстраните.
Ако едно число се дели на 3, тогава сборът от неговите цифри също задължително се дели на 3. Например сборът от цифрите на числото 136827658235479371 е 1 + 3 + 6 + 8 + 2 + 7 + 6 + 5 + 8 + 2 + 3 + 5 + 4 + 7 + 9 + 3 + 7 + 1 = 87. Това число се дели на 3 без остатък: 87 = 29*3. Следователно нашето число също се дели на 3 и е съставно.
Тестът за делимост на 11 също е много прост. Необходимо е да се извади сумата на всичките му четни цифри от сумата на всички нечетни цифри на числото. Четността и нечетността се определят чрез броене от края, тоест от единици. Ако получената разлика се дели на 11, то цялото дадено число също се дели на нея. Например, нека е дадено числото 2576562845756365782383, което е 8 + 2 + 7 + 6 + 6 + 7 + 4 + 2 + 5 + 7 + 2 = 56. Сумата от нечетните му цифри е 3 +. 3 + 8 + 5 + 3 + 5 + 5 + 8 + 6 + 6 + 5 = 57. Разликата между тях е 1. Това число не се дели на 11 и следователно 11 не е делител на даденото число.
По подобен начин можете да проверите делимостта на числото на 7 и 13. Разделете числото на тройки цифри, като започнете от края (това се прави в типографска нотация за по-лесно четене). Числото 2576562845756365782383 става 2 576 562 845 756 365 782 383. Съберете числата на нечетните места и извадете сбора на числата на четните места. В този случай ще получите (383 + 365 + 845 + 576) - (782 + 756 + 562 + 2) = 67. Това число не се дели нито на 7, нито на 13, което означава, че те не са делители на даденото число .
Забележка
Тестовете за делимост на други прости числа са много по-сложни и в повечето случаи е по-лесно да се опитате да разделите дадено число на желания делител ръчно.
източници:
- Елементарна математика - признаци на делимост
Най-известните начини за намиране на списък с прости числа до определена стойност са ситото на Ератостен, ситото на Сундарам и ситото на Аткин. За да проверите дали дадено число е просто, има тестове за простота
Ще имаш нужда
- Калкулатор, лист хартия и молив (писалка)
Инструкции
Метод 1. Сито на Ератостен.
Според този метод, за да намерите всички прости числа, които не са по-големи от определена стойност X, трябва да запишете всички цели числа от едно до X подред. Нека вземем числото 2 като първо число. Нека задраскаме от списъка всички числа, които се делят на 2. След това вземете следващото число след , незачертано, и зачеркнете от списъка всички числа, които се делят на числото, което сме взели. И тогава всеки път ще вземем следващото число, което не е задраскано, и ще задраскаме от списъка всички числа, които се делят на числото, което сме взели. И така докато избраното от нас число стане по-голямо от X/2. Всички останали в списъка не са зачеркнати с просто
Метод 2. Сундарамово сито.
От редицата естествени числа от 1 до N са изключени всички числа от вида
x + y + 2xy,
където индексите x (не по-големи от y) преминават през всички естествени стойности, за които x+y+2xy не е по-голямо от N, а именно стойностите x=1, 2,...,((2N+1 )1/2-1)/ 2 и x=y, x+1,...,(N-x)/(2x+1)y. След това всяко от останалите числа се умножава по 2 и 1. Получената последователност е всички нечетни прости числа в поредицата от едно до 2N+1.
Метод 3. Сито на Аткин.
Ситото на Аткин е сложен модерен алгоритъм за намиране на всички прости числа до дадена стойност X. Основната същност на алгоритъма е да представи прости числа като цели числа с нечетен брой представяния в дадени квадратични форми. Отделен етап от алгоритъма елиминира числата, които са кратни на квадратите на простите числа в диапазона от 5 до X.
Тестове за простота.
Тестовете за основност са алгоритми за определяне дали определено число X е просто.
Един от най-простите, но и времеемки тестове е изброяването на делителите. Състои се от вземане на всички цели числа от 2 до корен квадратен от X и изчисляване на остатъка, когато X се раздели на всяко от тези числа. Ако остатъкът от деленето на числото X на определено число (по-голямо от 1 и по-малко от X) е равен на нула, тогава числото X е съставно. Ако се окаже, че числото X не може да се редуцира без остатък с нито едно от числата, освен едно и себе си, тогава числото X е просто.
В допълнение към този метод има и голям бройдруги тестове за проверка на първичността на число. Повечето от тези тестове са вероятностни и се използват в криптографията. Единственият тест, който гарантира отговор (тестът AKS) е много труден за изчисляване, което затруднява използването му на практика.