Перевірити, чи чотиризначне число паліндромом. Паліндроми та "перевертні" серед простих чисел цікавих та олімпіадних
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||
Наталія КАРПУШИНА
ЗАДОМ-НАПЕРЕД
Числовий паліндром - це натуральне число, яке читається зліва направо і праворуч наліво однаково. Інакше висловлюючись, відрізняється симетрією записи (розміщення цифр), причому число символів може бути як парним, і непарним. Паліндроми зустрічаються в деяких множинах чисел, удостоєних власних назв: серед чисел Фібоначчі - 8, 55 (6-й та 10-й члени однойменної послідовності); фігурних чисел - 676, 1001 (квадратне та п'ятикутне відповідно); чисел Сміта (складове число, сума цифр якого дорівнює сумі цифр його простих дільників) - 45454, 983389. Зазначеною властивістю має також всякий репдиджит (натуральне число, в записі якого всі цифри однакові), наприклад 2222222 і, зокрема, реп'юніт (натуральне число) , записане за допомогою одних лише одиниць).
Палиндром можна одержати як наслідок операцій над іншими числами. Так, у книзі «Є ідея!» відомого популяризатора науки Мартіна Гарднера у зв'язку з цим завданням згадується «гіпотеза про паліндромів». Візьмемо будь-яке натуральне число і складемо його зі зверненим числом, тобто записаним тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Проробимо ту ж дію з сумою, що вийшла, і будемо повторювати її до тих пір, поки не утворюється паліндром. Іноді досить зробити лише один крок (наприклад, 312 + 213 = 525), але, як правило, потрібно не менше двох. Скажімо, число 96 породжує паліндром 4884 лише на четвертому кроці. Справді:
165 + 561 = 726,
726 + 627 = 1353,
1353 + 3531 = 4884.
А суть гіпотези у тому, що, взявши будь-яке число, після кінцевого числа дій ми обов'язково отримаємо паліндром.
Можна розглядати не тільки додавання, але й інші операції, включаючи зведення у ступінь та вилучення коренів. Ось кілька прикладів того, як за їх допомоги з одних паліндромів виходять інші:
ГРИ ЦИФР
Досі ми розглядали здебільшого складові числа. Тепер звернемося до числа простих. У їх безлічі є чимало цікавих екземплярів і навіть цілі сімейства паліндромів. Тільки серед перших ста мільйонів натуральних чисел налічується 781 простий паліндром, причому двадцять припадають на першу тисячу, з них чотири числа однозначні - 2, 3, 5, 7 і всього одне двозначне - 11. З такими числами пов'язано чимало цікавих фактівта красивих закономірностей.
По-перше, існує єдиний простий паліндром з парним числом цифр - 11. Іншими словами, довільний паліндром з парним числом цифр, більшим за два, число складове, що неважко довести на основі ознаки ділимості на 11.
По-друге, першою та останньою цифрами будь-якого простого паліндрому можуть бути лише 1, 3, 7 або 9. Це випливає з відомих ознак подільності на 2 та на 5. Цікаво, що всі прості двоцифрові числа, записані за допомогою перелічених цифр (за винятком 19), можна розбити на пари чисел-«перевертарів» (взаємно звернених чисел) виду і , де цифри a і b різні. Кожна з них, незалежно від того, скільки стоїть на першому місці, читається однаково зліва направо і праворуч наліво:
13 і 31, 17 та 71,
37 та 73, 79 та 97.
Заглянувши до таблиці простих чисел, ми виявимо аналогічні пари, в записі яких є й інші цифри, зокрема, серед тризначних чисел подібних пар набереться чотирнадцять.
Крім того, серед простих тризначних паліндромів зустрічаються пари чисел, у яких середня цифра відрізняється всього на 1:
181 та 191, 373 та 383,
787 та 797, 919 та 929.
Аналогічна картина спостерігається і у більших простих чисел, наприклад:
94849 та 94949,
1177711 та 1178711.
Прості числа-паліндроми можуть "задаватися" різними симетричними формулами, які відображають особливості їх запису. Це добре видно з прикладу п'ятизначних чисел:
До речі, прості багатозначні числа виду зустрічаються, мабуть, лише серед реп'юнітів. Таких чисел відомо п'ять. Примітно, що у кожного з них кількість цифр виражається простим числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А ось серед простих чисел, у яких усі цифри, окрім центральної одиниці, було виявлено ліндром дуже великої довжини — у ньому 1749 цифр :
Загалом серед простих чисел-паліндромів зустрічаються дивовижні екземпляри. Ось лише один приклад - числовий гігант
А цікавий він тим, що містить 11811 цифр, які можна розбити на три палідромічні групи, причому в кожній групі кількість цифр виражається простим числом (5903 або 5).
ПРИМІТНІ ПАРИ
Цікаві паліндромічні закономірності проглядаються і в групах простих чисел, в записі яких присутні певні цифри. Скажімо, лише цифри 1 і 3, причому у кожному числі. Так, двозначні прості числа становлять упорядковані пари 13 - 31 і 31 - 13, з шести тризначних прості відразу п'ять чисел, серед яких є два паліндроми: 131 і 313, а ще два числа утворюють пари «перевертарів» 311 - 113 і 113 - 3 .У всіх цих випадках складені пари наочно подаються у вигляді числових квадратів (рис. 1).
Своїми властивостями вони нагадують магічний та латинський квадрати. Наприклад, у середнього квадрата сума чисел, що стоять у кожному рядку і в кожному стовпці, дорівнює 444, на діагоналях — 262 і 626. Склавши числа з усіх клітин, отримаємо 888. І що характерно кожна сума — паліндром. Навіть просто виписуючи без пробілу кілька чисел з однієї таблиці, отримаємо нові паліндроми: 3113, 131313131 і т. д. Яке найбільше можна скласти таким способом? Чи буде воно паліндромом?
Якщо до кожної пари 311 - 113 і 113 - 311 додати 131 або 313, утворюються чотири паліндромічні трійки. Запишемо одну з них у стовпчик:
Як бачимо, і самі числа, і потрібна їх комбінація дають себе знати при прочитанні в різних напрямках. Крім того, розташування цифр симетрично, а їх сума в кожному рядку, кожному стовпці та на одній із діагоналей виражається простим числом – 5.
Треба сказати, розглянуті числа цікаві й самі собою. Наприклад, паліндром 131 — просте циклічне число: при будь-яких послідовних перестановках першої цифри на останнє місце він породжує прості числа 311 і 113. Чи можете ви вказати інші прості паліндроми, які мають таку ж властивість?
А ось пари чисел-«перевертарів» 13 — 31 і 113 — 311 при зведенні в квадрат дають також пари «перевертарів»: 169 — 961 і 12769 — 96721. Цікаво, що навіть суми їх цифр були пов'язані хитрим чином:
(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
Додамо, що серед натуральних чисел є й інші пари «перевертарів» із подібною властивістю: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 — 31111 та ін. Чим пояснюється помічена закономірність? Щоб відповісти на це питання, потрібно зрозуміти, що особливого в записі вказаних чисел, які цифри та в якій кількості можуть бути присутніми.
ЧИСЛОВИЙ КОНСТРУКТОР
З простих чисел-паліндромів, розташовуючи їх певним чином, скажімо рядково, можна скласти симетричні фігури, що відрізняються оригінальним малюнком з цифр, що повторюються.
Ось, наприклад, гарна комбінація з простих паліндромів, записаних за допомогою 1 та 3 (крім першого, рис. 2). Особливість цього числового трикутника в тому, що той самий фрагмент повторюється тричі, не порушуючи симетрію малюнка.
Легко бачити, що загальна кількість рядків і шпальт — число просте (17). До того ж прості числа та суми цифр: виділених червоним фрагментам (17); кожного рядка, за винятком першого (5, 11, 17, 19, 23); третього, п'ятого, сьомого та дев'ятого стовпців (7, 11) та «драбинки» з одиниць, що утворює бічні сторони трикутника (11). Нарешті, якщо рухатися паралельно зазначеним «сторонам» і складати окремо цифри третього та п'ятого рядів (рис. 3), отримаємо ще два простих числа (17, 5).
Продовжуючи побудову, можна сконструювати на основі цього трикутника складніші фігури. Так, ще один трикутник з аналогічними властивостями неважко отримати, рухаючись з кінця, тобто почати з останнього числа, викреслюючи на кожному кроці дві однакові симетрично розташовані цифри і переставляючи або замінюючи інші - 3 на 1 і навпаки. При цьому самі цифри слід вибирати з таким розрахунком, щоб число, що утворюється в результаті, виявилося простим. Об'єднавши обидві фігури, отримаємо ромб із характерним візерунком із цифр, що приховує у собі чимало простих чисел (рис. 4). Зокрема, сума виділених червоним кольором цифр дорівнює 37.
Інший приклад - трикутник, отриманий з вихідного після додавання до нього шести простих паліндромів (рис. 5). Фігура відразу привертає увагу своїм витонченим обрамленням з одиниць. Її облямовують два простих реп'юніти однакової довжини: 23 одиниці складають «основу» і ще стільки ж – «бічні сторони» трикутника.
Ще кілька фігур
Можна скласти також багатокутні фігури з чисел, що мають певні властивості. Нехай потрібно побудувати фігуру з простих паліндромів, записаних за допомогою 1 і 3, у кожного з яких крайні цифри одиниці, а сума всіх цифр і загальна кількість одиниць у рядку прості числа (виключення однозначний паліндром). З іншого боку, простим числом має виражатися загальна кількість рядків, і навіть цифр 1 чи 3, які у записи.
На рис. 6 наведено одне з розв'язків задачі - «будиночок», сконструйований з 11 різних паліндромів.
Звичайно, не обов'язково обмежуватися двома цифрами і вимагати наявності в записі кожного числа всіх зазначених цифр. Швидше навпаки: адже саме їх незвичайні поєднання надають своєрідності візерунку фігури. На підтвердження цього наведемо кілька прикладів гарних паліндромічних залежностей (рис. 7 - 9).
Тепер, озброївшись таблицею простих чисел, ви самі сконструюєте фігури на кшталт запропонованих нами.
А насамкінець ще одна дивина — трикутник, буквально пронизаний вздовж і поперек паліндромами (рис. 10). У ньому 11 рядків із простих чисел, а стовпці утворені репдиджитами. І головне: обмежує фігуру з боків паліндром 1931111111323111111391 - число просте!
Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF
Вступ
Актуальність цієї теми полягає в тому, що використання нестандартних прийомів у формуванні обчислювальних навичок допомагає заощадити час на уроці, успішно скласти іспит як у 9-му, так і в 11-му класі з математики.
Числа паліндроми і реп'юніти утворюють одне з найцікавіших підмножин безлічі натуральних чисел. Вони мають незвичайну історію, дивовижні властивості.
Було проведено дослідження серед 7, 8, 9, 11 класів та з'ясувалося, що багато хлопців чули про ці числа, але докладну інформацію знають одиниці. Багато хто з опитаних учнів хотів би дізнатися про ці числа більше.
В даний час при переході на нові стандарти змінюються цілі основної та середньої (повної) освіти. Одне з головних завдань, які стоять перед нами, вчителями, в умовах модернізації освіти – озброїти учнів усвідомленими, міцними знаннями, розвиваючи їхнє самостійне мислення. В умовах розвитку нових технологій зріс попит на людей, які мають нестандартне мислення, вміють ставити і вирішувати нові завдання. Тому на практиці роботи сучасної школи все більшого поширення набуває дослідницька діяльність учнів як освітня технологія, спрямована на залучення учнів до активних форм здобуття знань. Науково-дослідницька діяльність є:
потужним засобом, що дозволяє захопити нове покоління по найпродуктивнішому шляху розвитку та вдосконалення;
одним із методів підвищення інтересу та відповідно до якості освітнього процесу.
Ціль:познайомитися з числами паліндромами та реп'юнітами та виявити ефективність їх застосування для навчання сучасних школярів. Практично всі математичні поняття так чи інакше спираються на поняття числа, а кінцевий результат будь-якої математичної теорії, як правило, виражається мовою чисел. Багато з них, особливо натуральні числаза тими чи іншими ознаками і властивостями згруповані на окремі структури (сукупності) і мають власні імена.
Завдання:
Розкрити історію виникнення рахунку;
Розглянути деякі прийоми усних обчислень та на конкретних прикладах показати переваги їх використання;
Літературу на тему;
Розглянути властивості та реп'юніти;
Встановити між і реп'юнітами;
З'ясувати, роль відіграють числа у зміні нас, що нас зацікавили.
Гіпотеза:якщо ісп нестандартні прийоми, то швидкість обчислень, а кількість зменшується.
Прості - це частина чисел, що складаються з усіх натуральних.
Досліджуючи простих чисел, отримати дивовижні множини з їх незвичайними.
Предмет- безліч простих.
Об'єкт дослідження- паліндроми та реп'юніти.
дослідження:
анкетування
всі математичні поняття так чи спираються на поняття, а кінцевий будь-який математичний, як правило, виражається на чисел.
Робота вивченню чисел: паліндромів та встановлення зв'язку ними.
Теоретична
1 Паліндроми
паліндрому налічує два тисячоліття. Визначено назву – квадропалін. Паліндром - фракталів, кристалів та матерії. Здатність лежить у людській глибоко, лише на рівні. Молекули ДНК паліндромних елементів. Сам є прикладом, точніше, приватним вертикальною симетрією.
такі дивовижні, які однаково ліворуч, праворуч ліворуч. я читала книгу Костянтиновича «Буратіно», то звернула увагу на таку: А троянда впала на Азора. її просила написати в невче Буратіно Мальвіна.
Називаються взаємозворотні паліндромами,що в перекладі означає «біжить, що повертається». Паліндром – з найдавніших літературних експериментів. європейських паліндромів грецькому поетові (300 р. е.).
грецький паліндром, на купелі візантійського Софії в Константинополі: anomhmata mh oyin (омивайте так само як і тіло). Тут уже змовний характер - записана за написом має закляття від злих сил, не їх до святої купелі.
Ось н паліндромні: Аргентина манить. Помер і мир йому. Лізу на. У дуба буду. Михайло. Ось сила типу. Їж немитого ти менше! тапок-то? "Пустіть!" - супу Максимові. - "Пустіть, суп!" Я не реву - я. А муза рада без розуму та розуму. , зберігати цибулю. Ти, любий, іди: біля дороги міна, за город, а за ним і місто за; йди, коли митий. Він у пеклі. Ого, бачу живого. манить негра. , і мир йому. Лізу на санвузол. Буду. Миша молоко. Ось типу капіталістів. Їж ти менше! Відкопати? "Пустіть!" - супу миска. - "Пустіть, летить!" Я не реву - впевнений я. А рада без розуму та розуму. Кулінар, цибуля. Ти, любий, іди яром: у міна, за дорогою, а за ним і місто у; йди, коли митий. Він у пеклі давно. Ого, живого.
Мене запитання. Цікаво, чи паліндроми в? І чи можна перенести цю саму - ідею взаємозворотного, прочитання - в математику. (грец.) - , однаковість у розташуванні. Симетричним називається об'єкт, який якось, отримуючи в результаті те саме, з початку. Багато живої природи, лист, метелика поєднує те, що вони. Якщо їх подумки вздовж накресленої, їх половинки. А якщо поставити вздовж прокресленої, то відбита в ньому половинка доповнить її до. Тому така називається дзеркальною. , уздовж якої дзеркало, віссю симетрії. кожен з нас по кілька разів бачить своє в дзеркалі. Це звичайно, що ми не дивуємось, не запитаємо, не робимо. І лише філософи і не втрачають дивуватися.
Що ж змінюється при його відображенні в дзеркалі? Ми маємо досвід з дзеркалами. поставити збоку від літери А, то в дзеркалі тугіше літеру. Але якщо дзеркало, відображення вже не схоже на А – це А дном. А от якщо дзеркало знизу В, відображення також. Зате поставивши збоку від неї, отримаємо наперед.
Літера А вертикальну, а буква В – горизонтальну. , ми з'ясували, що дзеркальна міняє місцями, ліворуч - . Виявляється і серед є паліндроми. числа - паліндроми не склало. Я спробувала скласти числа для цих – паліндромів.
У двозначних - паліндром одиниць збігається з десятків.
У числах – паліндромах сотень збігається з числом.
У чотиризначних числах – число одиниць збігається з одиниць, а число з числом десятків тощо.
Формули викликали у більший. Під формулами - паліндромами вираз, що складається з чи різниці чисел, якого не в результаті прочитання справа наліво.
скласти числа - то сума не.
Наприклад: 22 + 66 = 66 + 22.
Загалом це можна записати так:
1.Знайти всі пари двозначних, щоб результат їх не змінювався в результаті суми праворуч, наприклад, 42 + 35 = 53 + 24.
рівність:
Представимо числа у вигляді розрядних доданків:
(10 1 + у 1) + (10х 2 + у 2) = (10 2 + х 2) + (10у 1 + х 1)
10х 1+ у 1 + 10х 2 + у 2 = 10у 2 + х 2 +10у 1 + х 1 . з х перенесемо в ліву рівності, а з у - в праву:
10х 1 - х 1 + 10х 2 - х 2 = 10у 1 - у 1 + 10у 2 - у 2 .
розподільче:
9 х 1 + 9 х 2 = 9 у 1 + 9 у 2
9(х 1 + х 2) = 9(у 1 + у 2)
х 1 + х 2 = у 1 + у 2.
Тобто для вирішення задачі сума цифр повинна дорівнювати їхнім другим цифрам.
можна складати суми:
76 + 34 = 43 + 67
25 + 63 = 36 + 52 і т.д.
Завдання 2. всі пари двоцифрових чисел, результат їх віднімання над результаті прочитання справа.
Представивши наші у вигляді суми доданків та виконавши перетворення, що для вирішення нашої. У таких чисел дорівнюватимуть цифри.
(10 1 + у 1) - (10х 2 + у 2) = (10у 2 + х 2) - (10 1 + х 1)
10х 1 + у 1 - 10х 2 - у 2 = 10у 2 + х 2 - 10у 1 - х 1
10х 1 + х 1 + у 1 + 10у 1 = 10у 2 + у 2 + 10х 2 + х 2
11 х 1 + 11 у 1 = 11х 2 + 11у 2
11 (х 1 + у 1) = 11 (х 2 + у 2)
х 1 + у 1 = х 2 + у 2
можна складати різниці:
41 - 32 = 23 - 14
46 - 28 = 82 - 64
52 -16 = 61 - 25 і т.д.
У множення маємо: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при добутку перших у чисел N 1 і N 2 дорівнює їх другим (x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2) .
Нарешті, для поділу такі приклади:
У разі добуток цифри N 1 на другу цифру N 2 дорівнює добутку інших цифр, тобто. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .
Я довести до твору. Ось що маю.
N 1 = = 10х 1 + у 1N3 = = 10у 2 + х 2
N 2 = = 10х 2 + у 2 N4 = = 10у 1 + х 1
N 1 ∙ N 2 = ∙ = (10х 1 + у 1) ∙ (10 2 + у 2)
N 3 ∙ N 4 = ∙ = (10у 2 + х 2) ∙ (10у 1 + х 1)
100 1 ∙х 2 + 10х 1 ∙у 2 + 10у 1 ∙х 2 + у 1 ∙ 2 = 100 1 ∙ 2 + 10х 1 ∙ 2 + 10 1 ∙ 2 + х 1 ∙ х 2
99х 1 ∙х 2 = 99у 1 ∙у 2; х 1 ∙х 2 = у 1 ∙у 2 що довести.
За допомогою числа - паліндром і можна вирішувати на ділимість, які часто в олімпіадах з математики. Ось із них:
Завдання. Доведіть, що з тризначного відняти число, тими ж цифрами, але в порядку, різниця ділитися на 9.
Тобто. цей твір на 9.
Між іншим, поколінню випала удача, не людині випадає хоча б один рік, а тим більше два - 1991-й і 2002- попередній був 1881-го, а наступний - 2112-го. Діяльність ми торкнулися математичного явища - , зокрема до її - палиндромам.
У своїй я розглянула числа - , формули - паліндроми для і різниці, і приватного двозначних і змогла їх довести. пізнання законів і краси і важкий, і ми знаходимося на його початку.
За допомогою числа-паліндром і формули-паліндроми вирішувати на ділимість чисел, часто зустрічаються в математиці. Ось одна з них:
. Доведіть, що з тризначного числа число, записане цифрами, але у зворотному, різниця буде ділитися на 9.
. ,Тобто. цей твір на 9.
Числові паліндроми - це числа, однаково читаються ліворуч і ліворуч. Інакше висловлюючись, симетрією (розташування цифр), число знаків бути як парним, і.
Наприклад: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 і т.д.
Паліндром можна як наслідок над іншими числами. Для скористаємося відомим.
Алгоритм отримання:
Візьми двозначне число
його (перестав цифри наліво)
Переверни число
Повторюй аналогічні доти, доки не вийде
В результаті виконаної я дійшла висновку, що, складений, з будь-якого двозначного можна отримати.
Можна розглянути не додавання, а й операції над паліндромами. (2)
Наведемо два приклади, як за допомогою одних виходять:
а) 212? - 121? = - 14641 = 30303;
б) = 2 · 11 ² · 101 ² = = 1111 · = 2468642.
Тепер до числа простих. У їх безлічі є сімейства. Лише серед ста мільйонів натуральних налічується 781 простий, причому посідає першу, їх чотири числа - 2; 3; 5; 7 і всього одне – 11. З такими пов'язано чимало цікавих:
Існує єдиний паліндром з парним цифр – 11.
і останньою цифрами простого паліндрому бути лише 1; 3; 7 або 9. Це відомі ділимості на 2 і 5. Усі прості числа, записані з перелічених цифр (19), можна на пари.
Наприклад: 13 та 31; 17 та 71; 37 та 73; 79 та 97.
Найпростіших тризначних зустрічаються пари, у яких цифра відрізняється на 1.
Наприклад: 181 та 191; 373 та 383; 787 та 797; 919 та 929.
Аналогічна спостерігається у великих чисел.
: 94849 та 94949; та 1178711.
Усі однозначні є паліндромами.
26 - число, не паліндром, квадрат паліндром
Наприклад: 26² = 676
А ось чисел - «перевертарів» 13 - 31 і 113 - 311 при у квадрат також пари «»: 169 - 961 і 12769 - 96721. Досвідчено, що навіть їх цифр пов'язані хитрим:
(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
З простих - паліндромів, маючи в своєму розпорядженні їх спосіб, рядково, можна симетричні фігури, оригінальним малюнком з цифр.
1- Приклади паліндромів
2 Реп'юніти
Натуральні числа яких складається з одиниць. У системі числення позначаються коротше R n: R 1 = 1, R 2 = 11, R 3 = 111 і т. д., і вид для них:
Загальний вигляд реп'юніту бути в іншому вигляді:
: 11; 111; 1111; 11111; 1111111 і т.д.
Виявлено цікавих реп'юнітів:
Реп'юніти - випадок чисел-паліндромів, що залишаються незмінними при і зворотному.
Реп'юніти відносяться до паліндромів, які на твір своїх.
Відомо простих реп'юнітів: R 2 , R 19 , R 23 , R 317 та R, причому, що саме - індекси цих і числа. Найбільше реп'юніт - 1. велике - ще не знайдено.
Розкладаючи деякі реп'юніти на прості:
11111 = 41∙ 271
3∙7∙11∙13∙37
11111111 = 11∙73∙101∙137
3∙37∙333667 і т. д. можна числа.
В результаті множення реп'юнітів ми отримали паліндроми:
11111∙111 = 1233321
11111∙11111 = і т.д.
Перемноживши реп'юнітів, можна зробити висновок про те, що кожного разу число паліндром. (3).
Число 7 - , т.к. його запис на підставі 2: 111, а по 6: 11 (i.e. 7 10 = 11 6 = 111 2).
Інакше кажучи, 7 є реп'юнітом у міру підставах b > 1.
Визначимо ціле число із властивістю як сильний. Можна, що є 8 сильних менше 50: (1,7,13,15,21,31,40,43). , Сума всіх менша дорівнює 15864.
2- Приклад реп'юніту
В галузях науки реп'юнітів не знайдено.
частина
дві цікаві завдання з «Кванту» №5 за 1997 рік.
Якими цифрами замінити, щоб сума доданків стала реп'юнітом?
Рішення: +12345679 +12345679 = 111111111 -
Відповідь: 111111111
Добутком яких реп'юнітів є 123455554321?
Перемноживши два реп'юніти, ми
11111111 · 11111 =
Відповідь: 11111111 ·
Простежується: цифри в записі спочатку за зростанням, а за спаданням, причому цифрою довжина меншого, а кількість повторень цифри в середині дорівнює довжин реп'юнітів, на одиницю. Перемноживши реп'юнітів, робимо у тому, що кожного разу число паліндром. (3)
Також експериментально, що з перемноженні реп'юнітів за правилом число одиниць бути менше 10. То максимальне добуток: 1(19) * 1(9 раз)= 1 234 567 899 999 999 999 987 654 321. паліндром не виходить.
цікавих та олімпіадних
Обчислювальний.
Відповідь: 12 345 654 321
: 12 345 554 321
кількість чисел - , Що діляться на 2:
б) тризначних
в) чотиризначних
На 2 ділиться парне число. ,
а) серед чисел - паліндромів - 22, 44, 66 і 88. Тобто 4 числа.
б) у чисел - паліндромів і остання однакові і мають парні. Парних 4 (2, 4, 6 та 8). У середині може будь-яка з 10 від 0 до 9. Тому всього тризначних чисел - .
в) у чотиризначного шуканого повинні парними однакові та остання цифри - їх 4. При однакові другі та цифри бути будь-якими. Значить, чотиризначних – паліндромів теж 40.
г) у чисел - перша і остання однакові та парні, їх бути 4. При цьому 2 і 4 також і їх може бути 10. цифра також бути будь-якою з 10. , всього чисел - паліндромів -
Отже, всі ми переконалися, що важлива не тільки по собі. підхід до навколишнього допомагає краще за нього. І математичний стиль потрібен всім - і мовознавцю, і, і хіміку, і фізику, і художнику, і поету, і.
Провівши по цій темі, я властивості паліндромів і, встановила зв'язок ними, яку роль прості числа властивостей даних.
Результати (схожість та відмінність) до таблиці.
Таблиця 3- властивостей паліндром і.
Паліндроми |
Реп'юніти |
|
зліва направо та наліво однаково |
||
записи (цифр) |
Не завжди |
|
знаків, що використовуються при чисел, може бути парним і |
||
Можна отримати як операцій над іншими: додавання зведення в вилучення множення |
||
Можна багатокутні фігури |
||
представниками класу чисел |
Вивчення з цієї, я вивчила властивості і реп'юнітів, встановила між, з'ясувала яку грають прості у зміні властивостей чисел.
дослідження (схожість та) занесені до таблиці.
Таблиця 4- «Чи знати про ці числа?»
Реп'юніти |
|||||||||||
учнів |
Хочете більше про числа? |
||||||||||
Результати показали, що всі учні знати більше про паліндром і.
Також провела «Чи використовуєте ви ці числа?». Дані занесла ст.
Таблиця 5- « Чи ви ці числа у житті?»
учнів |
Чи ви ці числа у житті? |
||||
по опитування: Чим школяр, тим він частіше паліндроми та реп'юніти у житті.
Висновок
Світ настільки і захоплюючий, що займаючись роботою, досліджено, щоб кожен з нас приділяв йому уваги, то для себе багато і цікавого.
Познайомившись із натуральними числами: і реп'юнітами. Усі вони своїми властивостями числам.
Отже, гіпотеза у тому, що прості ч - це частина, у тому числі складаються все числа.
Досліджуючи простих чисел, одержати числові множини зі своїми властивостями.
У своїй великій увазі проектів, конкретне суспільно-корисне. Часто ці проекти є довгостроковими, орієнтованими на системи: - позакласна діяльність.
метод проектів поєднання індивідуальної роботи з у співпраці, у малих та в колективі. Реалізація проектів практично до зміни вчителя. З носія знань він перетворюється на пізнавальну, дослідницьку своїх. Змінюється і психологічний у класі, оскільки вчителю переорієнтувати свою роботу та учнів на різноманітні самостійної діяльності, на діяльності дослідницького, творчого. Забезпечення та супровід діяльності будується на співробітництво та включає:
у визначенні задуму проектної;
консультування стадій: пошуку інформації, проектних, заохочення практичної безпосередньої роботи;
увага до індивідуальних та способів і образного мислення, та інтерпретації, ініціювання продумування діяльності та її продукту;
ініціативи та творчої проектної діяльності;
у забезпеченні презентації та експертизи проектної діяльності.
В результаті активного методу проектів на та у позаурочній у учнів формуються навчальні вміння та узагальнені способи. Учні міцно засвоюють отримані в ході рішення поставлених. Учні досвід вдумливі з текстом художнього, досвід роботи з обсягом різних джерел. набувають навичок співробітництва та комунікації: працювати в, планувати роботу та в групі, вчаться ситуації та приймати.
Проектна на уроці та у позаурочне сприяє формуванню у духовності та культури, самостійності, до успішної соціалізації та активної адаптації на праці.
Метод діяльності у зв'язку із змінами, в освіті. Комп'ютери і стали невід'ємною освітньої. У роботі я використовую як необхідну умову сучасного уроку. техніка представлятиме результати діяльності яскраво, підбирати систему, ілюстрацій до питань теми.
У роботі над проектом із засобів ІКТ формується, що вміє не тільки за зразком, а й, який отримує необхідну з максимально більших джерел, її аналізувати і робити. Метод проектів школою, оскільки він демон високу, мотивованість навчання, навантаження, підвищення потенціалу учнів.
Операції над
Дія |
Отримане число |
||
Паліндром |
|||
Паліндром |
|||
12345678987654321 |
|||
Паліндром Реп'юніт |
|||
Реп'юніт |
|||
Паліндром |
Виконуючи дії над паліндромами в результаті можна отримати і паліндром, і реп'юніт.
Додаток 2
Твір реп'юнітів дає паліндром.
1 множник |
2 множник |
твір |
1234567887654321 |
||
12345678887654321 |
||
12333333333333321 |
Перемноживши чимало реп'юнітів, робимо висновок про те, що щоразу виходить число паліндром.
Додаток 3
Додаток 4
Фото досвіду
Список використаних джерел інформації
Депман І.Я. За сторінками підручника математики / / посібник для учнів 5-6 класів середньої школи. - М: Просвітництво, 1989.
Ейтс С. Реп'юніти та десяткові періоди // видавництво «Світ». – 1992.
Кордемський Б.А. Дивовижний світ чисел// книга для учнів. - М: Просвітництво, 1995.
Кордемський Б. А. На годинку до сімейки реп'юнітів / / Квант. -1997. - №5. - с. 28-29.
Перельман Я.І. Цікава математика // Видавництво «Теза». - 1994
http://arbuz.uz/t_numbers.html.
Лоповок Л.М. Тисяча проблемних задач з математики: Кн. для учнів. - М: Просвітництво, 1995. - 239с.
Карпушина Н.М. Реп'юніти і паліндроми// Математика у шкільництві. – 2009, №6. – С.55 – 58.
Строгов І.С. Жар холодних чисел. Нариси. – Л.: Дитяча література, 1974.
Перельман Я.І. Жива математика. - М: «Наука», 1978.
Джерело завдання: Рішення 4954. ЄДІ 2016 Математика, І.В. Ященко. 36 варіантів. Відповідь.
Завдання 19.Назвемо натуральне число паліндромом, якщо в його десятковому записі всі цифри розташовані симетрично (збігаються перша та остання цифри, друга та передостання, тощо). Наприклад, числа 121 та 953359 є паліндромами, а числа 10 та 953953 не є паліндромами.
а) Наведіть приклад числа-паліндрому, що поділяється на 45.
б) Скільки існує п'ятизначних чисел-паліндромів, що поділяються на 45?
в) Знайдіть десяте за величиною число-паліндром, яке поділяється на 45.
Рішення.
а) Найпростішим варіантом буде число-паліндром 5445, яке поділяється на 45.
Відповідь: 5445.
б) Розкладемо число 45 на прості множники, отримаємо
тобто число має ділитися і на 5 і на 9. Ознакою кратності числа на 5 є наявність цифри 5 наприкінці числа (цифру 0 не враховуємо, тому що вона не підходить). Отримуємо число-паліндром як 5aba5, де a,b – цифри числа. Ознакою ділимості числа на 9 є те, що сума цифр
має ділитися на 9. З цієї умови маємо:
Для b = 0: ;
Для b = 1: ;
Для b = 2: ;
Для b = 3: ;
Для b = 5: ;
Для b = 6: ;
Для b = 7: ;
Опис презентації з окремих слайдів:
1 слайд
Опис слайду:
Що таке паліндром? Робота виконана вчителем математики Приходька Галиною Володимирівною
2 слайд
Опис слайду:
Автомобіліст подивився на лічильник свого автомобіля і побачив симетричне число (паліндром) 15951 км (читається однаково зліва направо або навпаки). Він подумав, що, швидше за все, не скоро з'явиться інше симетричне число. Проте вже за 2 години він виявив нове симетричне число. З якою постійною швидкістю автомобіліст проїхав ці дві години? Рішення: наступне симетричне число дорівнює 16061. Різниця становить 16061 – 15951 = 110 км. Якщо 110 км поділити на 2 години, то вийде швидкість 55 км/год. Відповідь: 55 км/год
3 слайд
Опис слайду:
Завдання ЄДІ а) Наведіть приклад числа-паліндрому, який ділиться на 15. б) Скільки існує п'ятизначних чисел-паліндромів, що поділяються на 15? в) Знайдіть 37-е за величиною число-паліндром, яке ділиться на 15. Відповіді: а) 5115; б) 33; в) 59295
4 слайд
Опис слайду:
Що означає паліндром? Слово паліндром походить від грецького слова palindromos (palindromos), що позначає "знов біжить назад". Паліндромами можуть бути не тільки числа, а й слова, речення і навіть тексти.
5 слайд
Опис слайду:
У математиці Числа - паліндром читаються однаково як зліва направо, так і праворуч наліво. Прикладами є всі однозначні числа, двозначні види αα, такі як 11 і 99, тризначні числа виду αβα, наприклад, 535 і так далі. Більше того, всі двоцифрові числа дають паліндроми ( найбільшого числакроків - 24 - вимагають числа 89 і 98) А ось чи дає число 196 паліндром ще поки невідомо. Числові паліндроми 676 (найменше число-паліндром, що є квадратом непаліндрому - 26). 121 (найменше число-паліндром, що є квадратом паліндрому - 11).
6 слайд
Опис слайду:
Суперпаліндром Деякі паліндромічні фрази та словосполучення відомі нам ще з давніх-давен. Тоді їм часто надавали магічного сенсу. До магічних паліндромів так само відносяться магічні квадрати, наприклад, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (перекладається як «Сіяч Арепо насилу тримає колеса»).
7 слайд
Опис слайду:
В даний час паліндром позбавлений усіх магічних силі є звичайною словесною грою, що дозволяє трохи поворушити мізками. Більшість паліндромів є відносно зв'язний набір слів, але є і цікаві цілісні і зрозумілі фрази, наприклад, «Але невидимий Архангел ліг на храм і дивний він». Якщо говорити про слова-паліндроми, найдовшим у світі прийнято вважати слово "SAIPPUAKIVIKAUPPIAS", яке в перекладі з фінської означає «продавець мила».
8 слайд
Опис слайду:
Завдання: з'ясувати, як часто трапляються симетричні числа серед простих чисел. Для чисел менших 1000 легко з'ясувати за таблицею простих чисел. Серед простих двоцифрових чисел існує єдине симетричне число - 11. Далі знайшлися: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.
9 слайд
Опис слайду:
Доказ Серед чотирьохзначних чисел простих симетричних чисел немає. Доведемо це. Чотиризначне симетричне число має вигляд авва. За ознакою подільності на 11 різницю суми чисел, що стоять на непарних місцях, і суми чисел, що стоять на непарних місцях: (а+в)-(в+а)=0. Це означає, що це чотиризначні симетричні числа діляться на 11, т. е. складові. Аналогічно можна довести, що простих чисел буде серед усіх 2n – значних симетричних чисел.
10 слайд
Опис слайду:
До 100 є 25 простих чисел, у тому числі – одне симетричне, що становить 4 %. До 1000 простих чисел стає 168. Симетричних – 16. Це приблизно 9,5%. До 10 000 число симетричних чисел не змінюється. До 1000000 – 78498 простих чисел. Симетричних чисел стало 109. Це приблизно 0,13%. Зрозуміло, що відсоток симетричних чисел зменшується, але сказати, що з дуже великих чисел простих симетричних не буде неможливо.
11 слайд
Опис слайду:
Ідея Числові паліндроми можуть бути результатом операцій над іншими знаками. Мартін Гарднер, автор книги «Є ідея!», будучи досить відомим популяризатором науки, висуває певну гіпотезу. Якщо взяти натуральне число (будь-яке) і додати до нього звернене (що складається з тих же цифр, але у зворотному порядку), потім повторити дію, але вже з отриманою сумою, то на одному з кроків вийде паліндром. У деяких випадках достатньо здійснити додавання один раз: 213 + 312 = 525. Але зазвичай необхідно не менше двох операцій. Так, наприклад, якщо взяти число 96, то, здійснивши послідовне додавання, паліндром можна отримати тільки на четвертому рівні: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 якщо брати будь-яке число, після певної кількості дій обов'язково буде отримано паліндром. Приклади можна знайти не тільки у додаванні, а й у зведенні у ступені, витягуванні коренів та інших операціях.
12 слайд
Опис слайду:
Приклад1 Візьмемо число 619 Прочитаємо його 1 крок праворуч наліво 916 Складемо два числа 1535 «перевернемо» 5351 2 крок Складемо 6886 Число 6886 – паліндром. Причому отримане лише за 2 кроки. Читаючи його праворуч наліво чи зліва направо, отримаємо те саме число.
13 слайд
Опис слайду:
Приклад2 Візьмемо число 95 1 крок. 1 крок « Перевернемо» 59 Складемо 154 2 крок. «Перевернемо» 451 2 крок Складемо 605 3 крок «Перевернемо» 506 3 крок Складемо 1111 Число 1111 – паліндром.
14 слайд
Опис слайду:
Буратіно Ви всі напевно пам'ятаєте книгу про пригоди Буратіно. А пам'ятаєте, як сувора Мальвіна вчила його писати? Вона веліла йому записати таку фразу: А ТРОЯННЯ ВПАЛА НА ЛАПУ АЗОРУ - ось і ще один паліндром.
15 слайд
Опис слайду:
Паліндроми в літературі НАТИСНУВ КАБАН НА БАКЛАЖАН, ТИ, САША, СИТ, НА В ЛОБ, БОЛВАН АРГЕНТИНА МАНІТЬ НЕГРА АЛЕ ТИ ТОНКА, ЯК НОТИ ТОН, ПЕКЛА ПСАРІ І РОЗПАДУ
16 слайд
Опис слайду:
Слова-паліндроми ШАЛАШ, НАГАН, КАЗАК, КІК, ТОПОТ, РОТОР, КАБАК, ПУП, ДІД, РАДАР
17 слайд
Опис слайду:
Фрази-паліндроми ОСЕЛО КОЛЕСО, Я НЕ СТАР БРАТ СЕНЯ Я ЇМ ЗМІЯ А СОБАКА БОСА АРГЕНТИНА МАНІТЬ НЕГРА ШУКАТИ ТАКСИ ЦІНІТЬ НЕГРА
18 слайд
Опис слайду:
Паліндроми в іноземних мовах «Madam, I'm Adam» - уявлення чоловіка дамі (Мадам, я Адам). На це жінка скромно може відповісти «перевертнем»: «Eve» (Єва). Бувають симетричними як пропозиції чи набори букв. Race fast, safe car (Гоні швидко, безпечна машина) Do geese see God? (Чи бачать гуси бога?) Never odd or even (Ніколи непарні чи парні) Don't nod (Не кивай) Dogma: I am God (Догма: я - бог) Madam, in Eden I'm Adam (Мадам, в раю я - Адам) Ah, Satan sees Natasha (Ах, Сатана бачить Наташу) God saw I was dog (Бог бачив, що я був собакою) I prefer Pi (Я віддаю перевагу π) Too hot to hoot (Занадто жарко, щоб улюлюкати)
19 слайд
Опис слайду:
Паліндроми-вірші Вже рідко рукою недопалок тримаю ... Вже ось сиджу, Яро в тиші творячи, Заржу вже раз Удач в чаду, Вже раз заржу - Та радий! Можна прочитати як із початку, так і з кінця.
20 слайд
Опис слайду:
У музиці Паліндромні музичні твори грають «як завжди», відповідно до правил. Після завершення п'єси ноти перевертаються. Потім твір грають знову, але мелодія при цьому не змінюватиметься. Ітерацій може бути скільки завгодно, невідомо у своїй, що є низом, що – верхом. Дані музичні твори можна зіграти удвох, читаючи ноти з обох сторін одночасно. Як приклади таких паліндромічних творів можна навести «Шлях світу», написаний Мошелесом, і «Застільну мелодію для двох», написану Моцартом.
Яковлєв Данило
Практично всі математичні поняття так чи інакше спираються на поняття числа, а кінцевий результат будь-якої математичної теорії, як правило, виражається мовою чисел. Багато хто з них, особливо натуральні числа за тими чи іншими ознаками і властивостями, згруповані в окремі структури (сукупності) і мають власні імена. Таким чином, метою дослідження є знайомство з числами паліндромами
Завантажити:
Попередній перегляд:
РОСІЙСЬКА ФЕДЕРАЦІЯ
Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа
«Середня школа №7»
місто Нижньовартівськ
Науково-дослідна робота
на шкільну науково-практичну конференцію молодих дослідників
Паліндроми в математиці
2016 рік
ВСТУП 4
ОСНОВНА ЧАСТИНА................................................ .................................................. .....................5
ВИСНОВОК 9
ЛІТЕРАТУРА 11
Гіпотеза
Прості числа – це частина чисел, у тому числі складаються все натуральні числа.
Досліджуючи безліч простих чисел, можна отримати дивовижні числові множини з їх незвичайними властивостями.
Мета дослідження
Практично всі математичні поняття так чи інакше спираються на поняття числа, а кінцевий результат будь-якої математичної теорії, як правило, виражається мовою чисел. Багато хто з них, особливо натуральні числа за тими чи іншими ознаками та властивостями згруповані в окремі структури (сукупності) та мають власні імена. Таким чином,метою дослідженняє знайомство з числами паліндромів.
Завдання дослідження
1. Вивчити літературу на тему дослідження.
2.Розглянути властивості паліндромів.
3..З'ясувати, яку роль грають прості числа у зміні властивостей чисел, що нас зацікавили.
Предмет дослідження- Безліч простих чисел.
Об'єкт дослідження– числа паліндроми.
Методи дослідження:
- теоретичний
- анкетування
- аналіз
ВСТУП
Якось, граючи в боулінг я помітив незвичайні числа: 44, 77, 99, 101 і мені стало цікаво, що це за числа? Заглянувши в інтернет я дізнався, що це числа паліндроми.
Паліндром (від грец. πάλιν -« назад , знову » і грец. δρóμος - « біг »), іноді також паліндромонвід гр. palindromos біжить назад).
Говорячи про те, що таке паліндром, слід сказати, що відомі «перевертні» з найглибшої давнини. Найчастіше їм надавався магічний сакральний зміст. З'явилися паліндроми, приклади яких можна зустріти в самих різних мовах, Імовірно в середні віки.
Палиндром можна одержати як наслідок операцій над іншими числами. Так, у книзі «Є ідея!» відомого популяризатора науки Мартіна Гарднера у зв'язку з цим завданням згадується «гіпотеза про паліндромів».Якщо взяти натуральне число (будь-яке) і додати до нього звернене (що складається з тих же цифр, але у зворотному порядку), потім повторити дію, але вже з отриманою сумою, то на одному з кроків вийде паліндром. У деяких випадках достатньо здійснити додавання один раз: 213 + 312 = 525. Але зазвичай необхідно не менше двох операцій. Так, наприклад, якщо взяти число 96, то, зробивши послідовне додавання, паліндром можна отримати тільки на четвертому рівні: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 якщо брати будь-яке число, після певної кількості дій обов'язково буде отримано паліндром.
ОСНОВНА ЧАСТИНА
Числа – паліндроми
Знайти числа - паліндром в математиці не склало труднощів. Я спробував скласти запис числа цих чисел – палиндромов.
У двоцифрових числах – паліндромах число одиниць збігається з числом десятків.
– у тризначних числах – паліндромах число сотень завжди збігається з числом одиниць.
У чотиризначних числах – паліндромах число одиниць тисяч збігається з числом одиниць, а число сотень із числом десятків тощо.
Формули – паліндроми
Паліндромні формули викликали у мене більший інтерес. Під формулами – паліндромами, я розумію, вираз (що складається із суми чи різниці чисел) результат якого не змінюється в результаті прочитання виразу справа наліво.
Якщо скласти числа – паліндроми, сума не змінюється. Додавання двоцифрових чисел досить просто я вирішив записати суму для трицифрових чисел.
Наприклад: 121+343=464
У загальному виглядіце можна записати так:
+ = +
(100х + 10х + x) + (100у + 10y + у) = (100у + 10y + у) + (100х + 10x + х)
100х + 10х + x + 100у + 10у + y = 100у + 10у + y + 100x +10х + х
111х + 111у = 111у + 111х
111(х + у) = 111(у + х)
х + у = у + х
Від перестановки доданків сума не змінюється(Переміщувальна властивість додавання).
Так само доводиться для 4-х, 5-х і n - значних чисел.
Розглянемо всі пари таких двоцифрових чисел, щоб результат їх віднімання не змінювався в результаті прочитання різниці праворуч наліво.
Будь-яке двозначне число можна подати у вигляді суми розрядних доданків:
10х 1 + у 1 = 10х 2 + у 2
- = (10х 1 + у 1) – (10х 2 + у 2)
- = (10у 2 + х 2) - (10у 1 + х 1)
(10х 1 + у 1) – (10х 2 + у 2) = (10у 2 + х 2) – (10у 1 + х 1)
10х 1 + у 1 - 10х 2 - у 2 = 10у 2 + х 2 - 10у 1 - х 1
10х 1 + х 1 + у 1 + 10у 1 = 10у 2 + у 2 + 10х 2 + х 2
11 х 1 + 11 у 1 = 11х 2 + 11у 2
11 (х 1 + у 1) = 11 (х 2 + у 2)
х 1 + у 1 = х 2 + у 2
У таких чисел дорівнюють суми цифр.
Тепер можна складати такі різниці:
41 – 32 = 23 – 14
46 – 28 = 82 – 64
52 -16 = 61 - 25 і т.д.
Іменні паліндроми
Паліндроми зустрічаються в деяких множинах чисел, удостоєних власних назв: число Фібоначчі, число Сміта, Репдіджіт, Реп'юніт.
Числами Фібоначчіназивають елементи числової послідовності. У ній кожне наступне число у ряді виходить підсумовуванням двох попередніх чисел.
Приклад: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
Число Сміта - складове число, сума цифр якого дорівнює сумі цифр його простих дільників.
Приклад: 202=2+0+2=4
Репдіджит - натуральне число, у запису якого всі цифри однакові.
Реп'юніт - натуральне число, записане за допомогою лише одиниць
Числовий конструктор
З простих чисел-паліндромів, розташовуючи їх певним чином, скажімо рядково, можна скласти симетричні фігури, що відрізняються оригінальним малюнком з цифр, що повторюються.
Ось, наприклад, гарна комбінація із простих паліндромів, записаних за допомогою 1 і 3 (рис. 1). Особливість цього числового трикутника в тому, що той самий фрагмент повторюється тричі, не порушуючи симетрію малюнка.
Мал. 1
Легко бачити, що загальна кількість рядків і шпальт - число просте (17). До того ж прості числа та суми цифр: виділених червоним фрагментам (17); кожного рядка, за винятком першого (5, 11, 17, 19, 23); третього, п'ятого, сьомого та дев'ятого стовпців (7, 11) та «драбинки» з одиниць, що утворює бічні сторони трикутника (11). Нарешті, якщо рухатися паралельно зазначеним «сторонам» і складати окремо цифри третього та п'ятого рядів (рис. 2), отримаємо ще два простих числа (17, 5).
Мал. 2
Продовжуючи побудову, можна сконструювати на основі цього трикутника складніші фігури. Так, ще один трикутник з аналогічними властивостями неважко отримати, рухаючись з кінця, тобто почати з останнього числа, викреслюючи на кожному кроці дві однакові симетрично розташовані цифри і переставляючи або замінюючи інші - 3 на 1 і навпаки. При цьому самі цифри слід вибирати з таким розрахунком, щоб число, що утворюється в результаті, виявилося простим. Об'єднавши обидві фігури, отримаємо ромб із характерним візерунком із цифр, що приховує у собі чимало простих чисел (рис. 3). Зокрема, сума виділених червоним кольором цифр дорівнює 37.
Мал. 3
Можна скласти також багатокутні фігури з чисел, що мають певні властивості. Нехай потрібно побудувати фігуру з простих паліндромів, записаних за допомогою 1 і 3, у кожного з яких крайні цифри - одиниці, а сума всіх цифр та загальна кількість одиниць у рядку - прості числа (виняток - однозначний паліндром). З іншого боку, простим числом має виражатися загальна кількість рядків, і навіть цифр 1 чи 3, які у записи.
На рис. 4 наведено одне з розв'язків задачі - «будиночок», сконструйований з 11 різних паліндромів.
Мал. 4
Звичайно, не обов'язково обмежуватися двома цифрами і вимагати наявності в записі кожного числа всіх зазначених цифр. Швидше навпаки: адже саме їх незвичайні поєднання надають своєрідності візерунку фігури. На підтвердження цього наведемо кілька прикладів гарних паліндромічних залежностей (рис. 5-7).
Мал. 5
Мал. 6
Мал. 7
ВИСНОВОК
У своїй роботі я розглянув числа – паліндроми, формули – паліндроми для суми трицифрових чисел та різниці двоцифрових чисел і зміг їх довести. Я познайомився з дивовижними натуральними числами: паліндромами та реп'юнітами. Усі вони завдячують своїми властивостями простим числам.
Інтуїтивно я склав формули для суми та різниці n-значних чисел, добутку та приватного двозначних чисел.
У разі множення маємо:
63 ∙ 48 = 84 ∙ 36
82 ∙ 14 = 41 ∙ 28
26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 і т.д.
Добуток перших цифр дорівнює добутку їхніх других цифрх 1 ∙ х 2 = у 1 ∙ у 2
Для поділу отримуємо такі приклади:
62: 31 = 26: 13
96: 32 = 69: 23 і т.д.
Ці твердження я поки що не зміг довести, але думаю, що мені вдасться це зробити надалі.
У літературі я зміг знайти формули – паліндроми множення багатозначних чисел
20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302
726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312
Цілі своєї роботи я досяг. Розглянув числа – паліндроми та записав їх у загальному вигляді. Привів приклади і довів формули – паліндроми для складання та віднімання двоцифрових чисел. Визначив низку питань над якими мені доведеться ще працювати і досліджувати формули – паліндроми. Отже, я підтвердив гіпотезу про те, що прості числа є частиною чисел, з яких складаються всі натуральні числа. Досліджуючи безліч простих чисел, можна отримати дивовижні числові множини з їх незвичайними властивостями.
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: