Factorisation des puissances d'un nombre en facteurs premiers. Comment factoriser un nombre dans un produit de facteurs premiers

Cet article donne des réponses à la question de la factorisation d'un nombre sur une feuille. Regardons l'idée générale de la décomposition avec des exemples. Analysons la forme canonique du développement et son algorithme. Toutes les méthodes alternatives seront considérées à l'aide de signes de divisibilité et de tables de multiplication.

Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Regardons le concept facteurs premiers. On sait que tout facteur premier est un nombre premier. Dans un produit de la forme 2 · 7 · 7 · 23, nous avons 4 facteurs premiers sous la forme 2, 7, 7, 23.

La factorisation implique sa représentation sous forme de produits de nombres premiers. Si nous devons décomposer le nombre 30, alors nous obtenons 2, 3, 5. L'entrée prendra la forme 30 = 2 · 3 · 5. Il est possible que les multiplicateurs soient répétés. Un nombre comme 144 a 144 = 2 2 2 2 3 3.

Tous les nombres ne sont pas sujets à la dégradation. Les nombres supérieurs à 1 et entiers peuvent être pris en compte. Les nombres premiers, une fois factorisés, ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, il est donc impossible de représenter ces nombres comme un produit.

Lorsque z fait référence à des nombres entiers, il est représenté comme un produit de a et b, où z est divisé par a et b. Les nombres composés sont factorisés à l’aide du théorème fondamental de l’arithmétique. Si le nombre est supérieur à 1, alors sa factorisation p 1, p 2, ..., p n prend la forme a = p 1 , p 2 , … , p n . La décomposition est supposée être en une seule variante.

Factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers

Lors de l'expansion, les facteurs peuvent se répéter. Ils sont écrits de manière compacte en utilisant des degrés. Si, lors de la décomposition du nombre a, nous avons un facteur p 1, qui apparaît s 1 fois et ainsi de suite p n – s n fois. L’expansion prendra donc la forme une=p 1 s 1 · une = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Cette entrée s'appelle la factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers.

En développant le nombre 609840, on obtient que 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sa forme canonique sera 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Grâce au développement canonique, vous pouvez trouver tous les diviseurs d'un nombre et leur nombre.

Pour factoriser correctement, vous devez comprendre les nombres premiers et composés. Il s'agit d'obtenir un nombre séquentiel de diviseurs de la forme p 1, p 2, ..., p n Nombres une , une 1 , une 2 , … , une n - 1, cela permet d'obtenir une = p 1 une 1, où a 1 = a : p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , où a 2 = a 1 : p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · un n , où une n = une n - 1 : p n. Dès réception une n = 1, alors l'égalité une = p 1 p 2 … p n on obtient la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers. remarquerez que p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Pour trouver les facteurs les moins communs, vous devez utiliser un tableau de nombres premiers. Ceci est fait en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit diviseur premier du nombre z. En prenant les nombres premiers 2, 3, 5, 11 et ainsi de suite, et en divisant le nombre z par eux. Puisque z n'est pas nombre premier, il faut tenir compte du fait que le plus petit diviseur premier ne sera pas supérieur à z. On voit qu’il n’y a pas de diviseur de z, alors il est clair que z est un nombre premier.

Exemple 1

Regardons l'exemple du nombre 87. Lorsqu'on le divise par 2, on obtient 87 : 2 = 43 avec un reste de 1. Il s’ensuit que 2 ne peut pas être un diviseur ; la division doit se faire entièrement. Divisé par 3, on obtient 87 : 3 = 29. On conclut donc que 3 est le plus petit diviseur premier du nombre 87.

Lors de la prise en compte des facteurs premiers, vous devez utiliser un tableau de nombres premiers, où a. Lors de la factorisation de 95, vous devez utiliser environ 10 nombres premiers, et lors de la factorisation de 846653, environ 1 000.

Considérons l'algorithme de décomposition en facteurs premiers :

• trouver le plus petit facteur du diviseur p 1 d'un nombre un par la formule a 1 = a : p 1, quand a 1 = 1, alors a est un nombre premier et est inclus dans la factorisation, lorsqu'il n'est pas égal à 1, alors a = p 1 · a 1 et suivez jusqu'au point ci-dessous ;
• trouver le diviseur premier p 2 d'un nombre a 1 en énumérant séquentiellement les nombres premiers en utilisant a 2 = a 1 : p 2 , quand un 2 = 1 , alors le développement prendra la forme a = p 1 p 2 , quand a 2 = 1, alors a = p 1 p 2 a 2 , et nous passons à l'étape suivante ;
• rechercher parmi les nombres premiers et trouver un diviseur premier page 3 Nombres un 2 selon la formule a 3 = a 2 : p 3 quand a 3 = 1 , alors on obtient que a = p 1 p 2 p 3 , lorsqu'il n'est pas égal à 1, alors a = p 1 p 2 p 3 a 3 et passez à l'étape suivante ;
• le diviseur premier est trouvé pn Nombres un n - 1 en énumérant les nombres premiers avec pn-1, et une n = une n - 1 : p n, où a n = 1, l'étape est finale, on obtient donc que a = p 1 · p 2 · … · p n .

Le résultat de l'algorithme est écrit sous la forme d'un tableau avec les facteurs décomposés avec une barre verticale séquentiellement dans une colonne. Considérez la figure ci-dessous.

L'algorithme résultant peut être appliqué en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Lors de la prise en compte des facteurs premiers, l'algorithme de base doit être suivi.

Exemple 2

Factorisez le nombre 78 en facteurs premiers.

Solution

Afin de trouver le plus petit diviseur premier, vous devez parcourir tous les nombres premiers de 78. Soit 78 : 2 = 39. Une division sans reste signifie qu'il s'agit du premier diviseur simple, que nous désignons par p 1. On obtient que a 1 = a : p 1 = 78 : 2 = 39. Nous sommes arrivés à une égalité de la forme a = p 1 · a 1 , où 78 = 2 39. Alors a 1 = 39, c’est-à-dire que nous devrions passer à l’étape suivante.

Concentrons-nous sur la recherche du diviseur premier page 2 Nombres un 1 = 39. Vous devriez passer par les nombres premiers, c'est-à-dire 39 : 2 = 19 (1 restant). Puisque la division avec reste, 2 n'est pas un diviseur. En choisissant le chiffre 3, on obtient que 39 : 3 = 13. Cela signifie que p 2 = 3 est le plus petit diviseur premier de 39 par a 2 = a 1 : p 2 = 39 : 3 = 13. On obtient une égalité de la forme une = p 1 p 2 une 2 sous la forme 78 = 2 3 13. Nous savons que a 2 = 13 n'est pas égal à 1, alors nous devrions passer à autre chose.

Le plus petit diviseur premier du nombre a 2 = 13 se trouve en recherchant parmi les nombres, en commençant par 3. On obtient que 13 : 3 = 4 (1 restant). De là, nous pouvons voir que 13 n'est pas divisible par 5, 7, 11, car 13 : 5 = 2 (rest. 3), 13 : 7 = 1 (rest. 6) et 13 : 11 = 1 (rest. 2) . On voit que 13 est un nombre premier. D'après la formule, cela ressemble à ceci : a 3 = a 2 : p 3 = 13 : 13 = 1. Nous avons constaté que a 3 = 1, ce qui signifie l'achèvement de l'algorithme. Maintenant, les facteurs s'écrivent sous la forme 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Répondre: 78 = 2 3 13.

Exemple 3

Factorisez le nombre 83 006 en facteurs premiers.

Solution

La première étape consiste à factoriser p 1 = 2 Et une 1 = une : p 1 = 83 006 : 2 = 41 503, où 83 006 = 2 · 41 503.

La deuxième étape suppose que 2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs premiers pour le nombre a 1 = 41 503, mais que 7 est un diviseur premier, car 41 503 : 7 = 5 929. On obtient que p 2 = 7, a 2 = a 1 : p 2 = 41 503 : 7 = 5 929. Évidemment, 83 006 = 2 7 5 929.

Trouver le plus petit diviseur premier de p 4 du nombre a 3 = 847 est 7. On voit que a 4 = a 3 : p 4 = 847 : 7 = 121, donc 83 006 = 2 7 7 7 121.

Pour trouver le diviseur premier du nombre a 4 = 121, on utilise le nombre 11, c'est-à-dire p 5 = 11. On obtient alors une expression de la forme une 5 = une 4 : p 5 = 121 : 11 = 11, et 83 006 = 2 7 7 7 11 11.

Pour le numéro un 5 = 11 nombre p6 = 11 est le plus petit diviseur premier. D'où a 6 = a 5 : p 6 = 11 : 11 = 1. Alors un 6 = 1. Cela indique l’achèvement de l’algorithme. Les facteurs s'écriront sous la forme 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

La notation canonique de la réponse prendra la forme 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Répondre: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Exemple 4

Factorisez le nombre 897 924 289.

Solution

Pour trouver le premier facteur premier, recherchez parmi les nombres premiers en commençant par 2. La fin de la recherche intervient au numéro 937. Alors p 1 = 937, a 1 = a : p 1 = 897 924 289 : 937 = 958 297 et 897 924 289 = 937 958 297.

La deuxième étape de l’algorithme consiste à parcourir des nombres premiers plus petits. Autrement dit, nous commençons par le nombre 937. Le nombre 967 peut être considéré comme premier car il est un diviseur premier du nombre a 1 = 958 297. De là, nous obtenons que p 2 = 967, alors a 2 = a 1 : p 1 = 958 297 : 967 = 991 et 897 924 289 = 937 967 991.

La troisième étape dit que 991 est un nombre premier, puisqu’il n’a pas un seul facteur premier qui ne dépasse pas 991. La valeur approximative de l'expression radicale est 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Cela montre que p 3 = 991 et a 3 = a 2 : p 3 = 991 : 991 = 1. Nous constatons que la décomposition du nombre 897 924 289 en facteurs premiers est obtenue comme 897 924 289 = 937 967 991.

Répondre: 897 924 289 = 937 967 991.

Utilisation de tests de divisibilité pour la factorisation première

Pour factoriser un nombre en facteurs premiers, vous devez suivre un algorithme. Lorsqu'il y a de petits nombres, il est permis d'utiliser la table de multiplication et les signes de divisibilité. Regardons cela avec des exemples.

Exemple 5

S'il est nécessaire de factoriser 10, alors le tableau montre : 2 · 5 = 10. Les nombres 2 et 5 résultants sont des nombres premiers, ils sont donc des facteurs premiers du nombre 10.

Exemple 6

S'il faut décomposer le nombre 48, alors le tableau montre : 48 = 6 8. Mais 6 et 8 ne sont pas des facteurs premiers, puisqu'ils peuvent également être développés comme 6 = 2 3 et 8 = 2 4. Ensuite, le développement complet à partir d’ici est obtenu comme 48 = 6 8 = 2 3 2 4. La notation canonique prendra la forme 48 = 2 4 · 3.

Exemple 7

Lors de la décomposition du nombre 3400, vous pouvez utiliser les signes de divisibilité. Dans ce cas, les signes de divisibilité par 10 et 100 sont pertinents. De là, nous obtenons que 3 400 = 34 · 100, où 100 peut être divisé par 10, c'est-à-dire écrit 100 = 10 · 10, ce qui signifie que 3 400 = 34 · 10 · 10. Sur la base du test de divisibilité, nous trouvons que 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Tous les facteurs sont premiers. L'expansion canonique prend la forme 3 400 = 2 3 5 2 17.

Lorsque nous trouvons des facteurs premiers, nous devons utiliser des tests de divisibilité et des tables de multiplication. Si vous imaginez le nombre 75 comme un produit de facteurs, alors vous devez prendre en compte la règle de divisibilité par 5. Nous obtenons que 75 = 5 15 et 15 = 3 5. Autrement dit, l'expansion souhaitée est un exemple de la forme du produit 75 = 5 · 3 · 5.

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Que signifie l’affacturage ? Comment faire? Que pouvez-vous apprendre en factorisant un nombre en facteurs premiers ? Les réponses à ces questions sont illustrées par des exemples précis.

Définitions :

Un nombre qui a exactement deux diviseurs différents est appelé premier.

Un nombre qui a plus de deux diviseurs est appelé composé.

Développer entier naturel factoriser signifie le représenter comme un produit de nombres naturels.

Factoriser un nombre naturel en facteurs premiers signifie le représenter comme un produit de nombres premiers.

Remarques:

• Dans la décomposition d'un nombre premier, l'un des facteurs est égal à un et l'autre est égal au nombre lui-même.
• Cela n’a aucun sens de parler de factorisation de l’unité.
• Un nombre composé peut être factorisé en facteurs dont chacun est différent de 1.

Lorsque vous factorisez de grands nombres en facteurs premiers, utilisez la notation en colonnes :

	Le plus petit nombre premier divisible par 216 est 2. Divisez 216 par 2. Nous obtenons 108.
	Le nombre résultant 108 est divisé par 2. Faisons la division. Le résultat est 54.
	D'après le test de divisibilité par 2, le nombre 54 est divisible par 2. Après division, nous obtenons 27.
	Le nombre 27 se termine par le chiffre impair 7. Il Non divisible par 2. Le prochain nombre premier est 3. Divisez 27 par 3. Nous obtenons 9. Moins premier Le nombre par lequel 9 est divisible est 3. Trois est lui-même un nombre premier, il est divisible par lui-même et par un. Divisons 3 par nous-mêmes. Au final, nous en avons eu 1.

• Un nombre n'est divisible que par les nombres premiers qui font partie de sa décomposition.
• Un nombre n'est divisible qu'en nombres composés dont la décomposition en facteurs premiers y est entièrement contenue.

Regardons des exemples :

Trouvez le quotient de la division du nombre a par le nombre b, si ces nombres sont décomposés en facteurs premiers comme suit : a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19 ; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliographie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.
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3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - M. : Éducation, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques pour les classes 5-6. - M. : ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - M. : ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les 5-6 années du secondaire. - M. : Education, Bibliothèque des Professeurs de Mathématiques, 1989.

1. Portail Internet Matematika-na.ru ().
2. Portail Internet Math-portal.ru ().

Devoirs

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012. N° 127, N° 129, N° 141.
2. Autres tâches : n° 133, n° 144.

Chaque nombre composé peut être représenté de manière unique comme un produit de facteurs premiers. Par exemple,

48 = 2 2 2 2 3, 225 = 3 3 5 5, 1050 = 2 3 5 5 7.

Pour les petits nombres cette décomposition est facile se fait sur la baseTables de multiplication. Pour les grands nombres, nous recommandons d'utiliser la méthode suivante, que nous envisagerons à l'aide d'un exemple précis. Factorisons le nombre 1463 en facteurs premiers. Pour cela, utilisons le tableau des nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Nous trions les nombres de ce tableau et nous arrêtons au nombre qui est un diviseur de ce nombre. Dans notre exemple, il s'agit de 7. Divisez 1463 par 7 et obtenez 209. Nous répétons maintenant le processus de recherche parmi les nombres premiers pour 209 et nous arrêtons au nombre 11, qui est son diviseur (voir). Divisez 209 par 11 et obtenez 19, qui, selon le même tableau, est un nombre premier. Ainsi, nous avons:

Dans cet article vous trouverez toutes les informations nécessaires pour répondre à la question, comment factoriser un nombre en facteurs premiers. Tout d'abord, une idée générale de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers est donnée, et des exemples de décompositions sont donnés. Ce qui suit montre la forme canonique de décomposition d’un nombre en facteurs premiers. Après cela, un algorithme est donné pour décomposer des nombres arbitraires en facteurs premiers et des exemples de décomposition de nombres utilisant cet algorithme sont donnés. Des méthodes alternatives sont également envisagées pour vous permettre de factoriser rapidement de petits entiers en facteurs premiers à l'aide de tests de divisibilité et de tables de multiplication.

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Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Voyons d’abord ce que sont les facteurs premiers.

Il est clair que puisque le mot « facteurs » est présent dans cette phrase, alors il existe un produit de certains nombres, et le mot qualificatif « simple » signifie que chaque facteur est un nombre premier. Par exemple, dans un produit de la forme 2·7·7·23, il y a quatre facteurs premiers : 2, 7, 7 et 23.

Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Cela signifie que ce nombre doit être représenté comme un produit de facteurs premiers et que la valeur de ce produit doit être égale au nombre d'origine. A titre d'exemple, considérons le produit de trois nombres premiers 2, 3 et 5, il est égal à 30, donc la décomposition du nombre 30 en facteurs premiers est 2·3·5. Habituellement, la décomposition d'un nombre en facteurs premiers s'écrit sous forme d'égalité ; dans notre exemple, ce sera comme ceci : 30=2·3·5. Nous soulignons séparément que les facteurs premiers du développement peuvent être répétés. Ceci est clairement illustré par l'exemple suivant : 144=2·2·2·2·3·3. Mais une représentation de la forme 45=3.15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers, puisque le nombre 15 est un nombre composé.

La question suivante se pose : « Quels nombres peuvent être décomposés en facteurs premiers ? »

À la recherche d’une réponse, nous présentons le raisonnement suivant. Les nombres premiers, par définition, font partie de ceux supérieurs à un. Compte tenu de ce fait et de , on peut affirmer que le produit de plusieurs facteurs premiers est un entier positif supérieur à un. Par conséquent, la factorisation en facteurs premiers n’a lieu que pour les entiers positifs supérieurs à 1.

Mais tous les nombres entiers supérieurs à un peuvent-ils être pris en compte en facteurs premiers ?

Il est clair qu’il n’est pas possible de factoriser des entiers simples en facteurs premiers. En effet, les nombres premiers n'ont que deux facteurs positifs : un et lui-même, ils ne peuvent donc pas être représentés comme le produit de deux ou plusieurs nombres premiers. Si l’entier z pouvait être représenté comme le produit des nombres premiers a et b, alors la notion de divisibilité permettrait de conclure que z est divisible à la fois par a et par b, ce qui est impossible en raison de la simplicité du nombre z. Cependant, ils pensent que tout nombre premier est en soi une décomposition.

Et les nombres composés ? Les nombres composés sont-ils décomposés en facteurs premiers, et tous les nombres composés sont-ils soumis à une telle décomposition ? Le théorème fondamental de l’arithmétique donne une réponse affirmative à un certain nombre de ces questions. Le théorème de base de l'arithmétique stipule que tout entier a supérieur à 1 peut être décomposé en produit de facteurs premiers p 1, p 2, ..., p n, et la décomposition a la forme a = p 1 · p 2 · … · p n, et ce le développement est unique, si l'on ne prend pas en compte l'ordre des facteurs

Factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers

Dans le développement d’un nombre, les facteurs premiers peuvent être répétés. Les facteurs premiers répétitifs peuvent être écrits de manière plus compacte en utilisant . Supposons que dans la décomposition d'un nombre le facteur premier p 1 apparaisse s 1 fois, le facteur premier p 2 – s 2 fois, et ainsi de suite, p n – s n fois. Alors la factorisation première du nombre a peut s’écrire a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Cette forme d'enregistrement est ce qu'on appelle factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers.

Donnons un exemple de décomposition canonique d'un nombre en facteurs premiers. Faites-nous savoir la décomposition 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sa notation canonique a la forme 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

La factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers permet de retrouver tous les diviseurs du nombre et le nombre de diviseurs du nombre.

Algorithme pour factoriser un nombre en facteurs premiers

Pour réussir à décomposer un nombre en facteurs premiers, vous devez avoir une très bonne connaissance des informations contenues dans l'article Nombres premiers et composés.

L’essence du processus de décomposition d’un nombre entier positif a supérieur à un ressort clairement de la preuve du théorème fondamental de l’arithmétique. Il s'agit de trouver séquentiellement les plus petits diviseurs premiers p 1, p 2, ..., p n des nombres a, a 1, a 2, ..., a n-1, ce qui permet d'obtenir une série d'égalités a=p 1 ·a 1, où a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , où a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , où a n =a n-1:p n . Lorsqu'il s'avère a n =1, alors l'égalité a=p 1 ·p 2 ·…·p n nous donnera la décomposition souhaitée du nombre a en facteurs premiers. Il convient également de noter ici que p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Reste à comprendre comment trouver les plus petits facteurs premiers à chaque étape, et nous aurons un algorithme pour décomposer un nombre en facteurs premiers. Un tableau de nombres premiers nous aidera à trouver des facteurs premiers. Montrons comment l'utiliser pour obtenir le plus petit diviseur premier du nombre z.

Nous prenons séquentiellement les nombres premiers du tableau des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc.) et divisons le nombre z donné par eux. Le premier nombre premier par lequel z est divisé de manière égale sera son plus petit diviseur premier. Si le nombre z est premier, alors son plus petit diviseur premier sera le nombre z lui-même. Il convient de rappeler ici que si z n'est pas un nombre premier, alors son plus petit diviseur premier ne dépasse pas le nombre , d'où vient z. Ainsi, si parmi les nombres premiers n'excédant pas , il n'y avait pas un seul diviseur du nombre z, alors on peut conclure que z est un nombre premier (plus d'informations à ce sujet sont écrites dans la section théorie sous la rubrique Ce nombre est premier ou composé ).

A titre d'exemple, nous allons montrer comment trouver le plus petit diviseur premier du nombre 87. Prenons le chiffre 2. Divisez 87 par 2, nous obtenons 87:2=43 (1 restant) (si nécessaire, voir article). Autrement dit, lorsque l’on divise 87 par 2, le reste est 1, donc 2 n’est pas un diviseur de 87. On prend le nombre premier suivant du tableau des nombres premiers, c'est le nombre 3. Divisez 87 par 3, nous obtenons 87:3=29. Ainsi, 87 est divisible par 3, donc le nombre 3 est le plus petit diviseur premier du nombre 87.

Notez que dans le cas général, pour factoriser un nombre a en facteurs premiers, nous avons besoin d'un tableau de nombres premiers jusqu'à un nombre non inférieur à . Nous devrons nous référer à ce tableau à chaque étape, nous devons donc l'avoir à portée de main. Par exemple, pour factoriser le nombre 95 en facteurs premiers, nous n'aurons besoin que d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 10 (puisque 10 est supérieur à ). Et pour décomposer le nombre 846 653, vous aurez déjà besoin d'un tableau de nombres premiers jusqu'à 1 000 (puisque 1 000 est supérieur à ).

Nous avons maintenant suffisamment d'informations pour écrire algorithme pour factoriser un nombre en facteurs premiers. L'algorithme de décomposition du nombre a est le suivant :

• En triant séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, nous trouvons le plus petit diviseur premier p 1 du nombre a, après quoi nous calculons a 1 =a:p 1. Si a 1 = 1, alors le nombre a est premier, et il est lui-même sa décomposition en facteurs premiers. Si a 1 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·a 1 et passons à l'étape suivante.
• Nous trouvons le plus petit diviseur premier p 2 du nombre a 1 , pour ce faire, nous trions séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 1 , puis calculons a 2 =a 1:p 2 . Si a 2 =1, alors la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers a la forme a=p 1 ·p 2. Si a 2 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·p 2 ·a 2 et passons à l'étape suivante.
• En parcourant les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 2, on trouve le plus petit diviseur premier p 3 du nombre a 2, après quoi on calcule a 3 =a 2:p 3. Si a 3 =1, alors la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers a la forme a=p 1 ·p 2 ·p 3. Si a 3 n'est pas égal à 1, alors nous avons a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 et passons à l'étape suivante.
• On trouve le plus petit diviseur premier p n du nombre a n-1 en triant les nombres premiers, en commençant par p n-1, ainsi que a n = a n-1:p n, et a n est égal à 1. Cette étape est la dernière étape de l'algorithme ; on obtient ici la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers : a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Pour plus de clarté, tous les résultats obtenus à chaque étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers sont présentés sous la forme du tableau suivant, dans lequel les nombres a, a 1, a 2, ..., an sont écrits séquentiellement dans une colonne à gauche de la ligne verticale et à droite de la ligne - les plus petits diviseurs premiers correspondants p 1, p 2, ..., p n.

Il ne reste plus qu'à considérer quelques exemples d'application de l'algorithme résultant pour décomposer les nombres en facteurs premiers.

Exemples de factorisation première

Maintenant, nous allons regarder en détail exemples de factorisation de nombres en facteurs premiers. Lors de la décomposition, nous utiliserons l'algorithme du paragraphe précédent. Commençons par des cas simples, et compliquons-les progressivement afin de rencontrer toutes les nuances possibles qui surviennent lors de la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Exemple.

Factorisez le nombre 78 dans ses facteurs premiers.

Solution.

On commence la recherche du premier plus petit diviseur premier p 1 du nombre a=78. Pour ce faire, nous commençons à trier séquentiellement les nombres premiers du tableau des nombres premiers. Nous prenons le nombre 2 et divisons 78 par celui-ci, nous obtenons 78:2=39. Le nombre 78 est divisé par 2 sans reste, donc p 1 =2 est le premier diviseur premier trouvé du nombre 78. Dans ce cas, a 1 =a:p 1 =78:2=39. On arrive donc à l'égalité a=p 1 ·a 1 de la forme 78=2·39. Évidemment, un 1 = 39 est différent de 1, on passe donc à la deuxième étape de l'algorithme.

Nous recherchons maintenant le plus petit diviseur premier p 2 du nombre a 1 =39. Nous commençons par énumérer les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 1 =2. Divisez 39 par 2, nous obtenons 39:2=19 (1 restant). Puisque 39 n’est pas divisible par 2, alors 2 n’est pas un diviseur. Ensuite, nous prenons le nombre suivant du tableau des nombres premiers (numéro 3) et divisons 39 par celui-ci, nous obtenons 39 : 3 = 13. Par conséquent, p 2 =3 est le plus petit diviseur premier du nombre 39, tandis que a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. On a l'égalité a=p 1 ·p 2 ·a 2 sous la forme 78=2·3·13. Puisque a 2 = 13 est différent de 1, passons à l’étape suivante de l’algorithme.

Ici, nous devons trouver le plus petit diviseur premier du nombre a 2 =13. À la recherche du plus petit diviseur premier p 3 du nombre 13, nous trierons séquentiellement les nombres du tableau des nombres premiers, en commençant par p 2 =3. Le nombre 13 n'est pas divisible par 3, puisque 13:3=4 (rest. 1), et 13 n'est pas non plus divisible par 5, 7 et 11, puisque 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (reste 6) et 13:11 = 1 (reste 2). Le nombre premier suivant est 13, et 13 est divisible par lui sans reste, donc le plus petit diviseur premier p 3 de 13 est le nombre 13 lui-même, et a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Puisque a 3 =1, cette étape de l'algorithme est la dernière, et la décomposition requise du nombre 78 en facteurs premiers a la forme 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Répondre:

78=2·3·13.

Exemple.

Exprimez le nombre 83 006 comme un produit de facteurs premiers.

Solution.

A la première étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers, on trouve p 1 =2 et a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503, d'où 83 006=2·41 503.

À la deuxième étape, nous découvrons que 2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs premiers du nombre a 1 = 41 503, mais que le nombre 7 l'est, puisque 41 503 : 7 = 5 929. Nous avons p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929. Ainsi, 83 006 = 2 7 5 929.

Le plus petit diviseur premier du nombre a 2 =5 929 est le nombre 7, puisque 5 929:7 = 847. Ainsi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, d'où 83 006 = 2·7·7·847.

Nous constatons ensuite que le plus petit diviseur premier p 4 du nombre a 3 =847 est égal à 7. Alors a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, donc 83 006=2·7·7·7·121.

On trouve maintenant le plus petit diviseur premier du nombre a 4 =121, c'est le nombre p 5 =11 (puisque 121 est divisible par 11 et non divisible par 7). Alors a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, et 83 006=2·7·7·7·11·11.

Enfin, le plus petit diviseur premier du nombre a 5 =11 est le nombre p 6 =11. Alors a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Puisque a 6 =1, cette étape de l'algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers est la dernière, et la décomposition souhaitée a la forme 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Le résultat obtenu peut s'écrire comme la décomposition canonique du nombre en facteurs premiers 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Répondre:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 est un nombre premier. En effet, il ne possède pas un seul diviseur premier n'excédant pas ( peut être grossièrement estimé à , puisqu'il est évident que 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Répondre:

897 924 289=937·967·991.

Utilisation de tests de divisibilité pour la factorisation première

Dans des cas simples, vous pouvez décomposer un nombre en facteurs premiers sans utiliser l'algorithme de décomposition du premier paragraphe de cet article. Si les nombres ne sont pas grands, alors pour les décomposer en facteurs premiers, il suffit souvent de connaître les signes de divisibilité. Donnons des exemples pour clarifier.

Par exemple, nous devons factoriser le nombre 10 en facteurs premiers. D'après la table de multiplication, nous savons que 2·5=10, et que les nombres 2 et 5 sont évidemment premiers, donc la factorisation première du nombre 10 ressemble à 10=2·5.

Un autre exemple. À l’aide de la table de multiplication, nous allons factoriser le nombre 48 en facteurs premiers. Nous savons que six fait huit - quarante-huit, soit 48 = 6·8. Cependant, ni 6 ni 8 ne sont des nombres premiers. Mais nous savons que deux fois trois font six, et deux fois quatre font huit, c'est-à-dire 6=2·3 et 8=2·4. Alors 48=6·8=2·3·2·4. Il reste à rappeler que deux fois deux font quatre, on obtient alors la décomposition souhaitée en facteurs premiers 48 = 2·3·2·2·2. Écrivons ce développement sous forme canonique : 48=2 4 ·3.

Mais lorsque vous factorisez le nombre 3 400 en facteurs premiers, vous pouvez utiliser les critères de divisibilité. Les signes de divisibilité par 10, 100 permettent d'affirmer que 3400 est divisible par 100, avec 3400=34·100, et 100 est divisible par 10, avec 100=10·10, donc 3400=34·10·10. Et à partir du test de divisibilité par 2, on peut dire que chacun des facteurs 34, 10 et 10 est divisible par 2, on obtient 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Tous les facteurs de l’expansion résultante sont simples, cette expansion est donc celle souhaitée. Il ne reste plus qu'à réorganiser les facteurs pour qu'ils soient classés par ordre croissant : 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Notons également la décomposition canonique de ce nombre en facteurs premiers : 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Lors de la décomposition d'un nombre donné en facteurs premiers, vous pouvez utiliser tour à tour les signes de divisibilité et la table de multiplication. Imaginons le nombre 75 comme un produit de facteurs premiers. Le test de divisibilité par 5 permet d'affirmer que 75 est divisible par 5, et on obtient que 75 = 5.15. Et d'après la table de multiplication, nous savons que 15=3·5, donc 75=5·3·5. C'est la décomposition requise du nombre 75 en facteurs premiers.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
• Vinogradov I.M. Fondamentaux de la théorie des nombres.
• Mikhelovich Sh.H. La théorie du nombre.
• Kulikov L.Ya. et autres. Recueil de problèmes d'algèbre et de théorie des nombres : manuel pour les étudiants en physique et en mathématiques. spécialités des instituts pédagogiques.

Peut être représenté comme un produit de nombres premiers.

Exemple. Représentons les nombres 4, 6 et 8 comme un produit de facteurs premiers :

Les membres droits des égalités résultantes sont appelés factorisation première.

Il s'agit d'une représentation d'un nombre composé comme produit de facteurs premiers.

Factoriser un nombre composé en facteurs premiers- signifie représenter ce nombre comme un produit de facteurs premiers.

Les facteurs premiers dans l’expansion d’un nombre peuvent être répétés. Les facteurs premiers répétitifs peuvent être écrits de manière plus compacte – sous la forme d’une puissance.

Exemple.

24 = 2 2 2 3 = 2 3 3

Note. Les facteurs premiers sont généralement écrits par ordre croissant.

Comment factoriser un nombre en facteurs premiers

La séquence d'actions lors de la factorisation d'un nombre en facteurs premiers :

1. Nous vérifions le tableau des nombres premiers pour voir si le nombre donné est premier.
2. Sinon, nous sélectionnons séquentiellement le plus petit nombre premier dans le tableau des nombres premiers par lequel ce nombre est divisible sans reste et effectuons la division.
3. Nous vérifions à l’aide du tableau des nombres premiers si le quotient résultant est un nombre premier.
4. Sinon, nous sélectionnons séquentiellement le plus petit nombre premier dans le tableau des nombres premiers, par lequel le quotient résultant est divisible par un tout, et effectuons la division.
5. Nous répétons les points 3 et 4 jusqu'à ce que le quotient s'avère être un.

Exemple. Factorisez le nombre 102 dans ses facteurs premiers.

Solution:

Nous commençons la recherche du plus petit diviseur premier du nombre 102. Pour ce faire, nous sélectionnons séquentiellement le plus petit nombre premier dans le tableau des nombres premiers, par lequel 102 sera divisé sans reste. On prend le nombre 2 et on essaie de diviser 102 par celui-ci, on obtient :

Le nombre 102 est divisé par 2 sans reste, donc 2 est le premier facteur premier trouvé. Puisque le dividende est égal au diviseur multiplié par le quotient, on peut écrire :

Passons à l'étape suivante. Nous vérifions à l’aide du tableau des nombres premiers si le quotient résultant est un nombre premier. Le nombre 51 est composé. En commençant par le nombre 2, on sélectionne le plus petit diviseur premier du nombre 51 dans le tableau des nombres premiers. Le nombre 51 n'est pas divisible par 2. On passe au nombre suivant du tableau des nombres premiers (le nombre 3). et essayons de diviser 51 par cela, nous obtenons :

Le nombre 51 est divisé par 3, donc 3 est le deuxième facteur premier trouvé. Nous pouvons maintenant représenter le nombre 51 comme un produit. Ce processus peut s'écrire ainsi :

102 = 2 51 = 2 3 17

Nous vérifions à l’aide du tableau des nombres premiers si le quotient résultant est un nombre premier. Le chiffre 17 est simple. Cela signifie que le plus petit nombre premier divisible par 17 sera ce nombre lui-même :

Puisque nous avons une unité dans le quotient, la décomposition est terminée. Ainsi, la décomposition du nombre 102 en facteurs premiers a la forme :

102 = 2 3 17

Répondre: 102 = 2 3 17.

En arithmétique, il existe une autre forme de notation qui facilite le processus de décomposition des nombres composés. Elle consiste à enregistrer l’ensemble du processus de décomposition dans une colonne (en deux colonnes séparées par une ligne verticale). A gauche de la ligne verticale, de haut en bas, notez séquentiellement : le nombre composé donné, puis les quotients résultants, et à droite de la ligne - les plus petits facteurs premiers correspondants.

Exemple. Factorisez le nombre 120 en facteurs premiers.

Solution:

Nous écrivons le nombre 120 et traçons une ligne verticale à sa droite :

A droite de la ligne on écrit le plus petit diviseur premier du nombre 120 :

Nous effectuons la division et écrivons le quotient résultant (60) sous ce nombre :

Nous sélectionnons le plus petit diviseur premier pour 60, l'écrivons à droite de la ligne verticale sous le diviseur précédent et effectuons la division. On continue le processus jusqu'à ce que le quotient produise une unité :

Dans le quotient, nous avons une unité, ce qui signifie que la décomposition est terminée. Après avoir été décomposés en colonne, les facteurs doivent être écrits sur une ligne :

120 = 2 3 3 5.

Répondre: 120 = 2 3 3 5.

Un nombre composé peut être factorisé en facteurs premiers d'une manière unique.

Cela signifie que si, par exemple, le nombre 20 est décomposé en deux deux et un cinq, alors il se décomposera toujours de cette façon, que nous commencions la décomposition avec de petits facteurs ou avec des grands. Il est d’usage de commencer l’expansion avec de petits facteurs, c’est-à-dire par deux, trois, etc.