Facteurs identiques d'expansion des nombres. Que sont les nombres premiers ? Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers
Décomposition d'un nombre en facteurs premiers - Il s'agit d'un problème courant que vous devez être en mesure de résoudre. La factorisation peut être nécessaire pour trouver le PGCD (plus grand diviseur commun) et le PPCM (le plus petit commun multiple), ainsi que pour vérifier si les nombres sont premiers entre eux.
Tous les nombres peuvent être divisés en deux types principaux :
- nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui-même et 1.
- Nombre composé est un nombre qui a des diviseurs autres que lui-même et 1.
Pour vérifier si un nombre est premier ou composé, vous pouvez utiliser une table spéciale de nombres premiers.
Tableau des nombres premiers
Pour la commodité des calculs, tous nombres premiers ont été rassemblés dans un tableau. Voici un tableau des nombres premiers de 1 à 1000.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Factorisation première
Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, vous pouvez utiliser le tableau des nombres premiers et des signes de divisibilité des nombres. Jusqu'à ce que le nombre devienne égal à 1, vous devez sélectionner un nombre premier par lequel le nombre actuel est divisible et effectuer la division. S'il n'a pas été possible de sélectionner un seul facteur qui n'est pas égal à 1 et le nombre lui-même, alors le nombre est premier. Voyons comment cela se fait avec un exemple.
Décomposez le nombre 63140 en facteurs premiers.
Afin de ne pas perdre de multiplicateurs, nous les écrirons dans une colonne, comme indiqué sur l'image. Cette solution est assez compacte et pratique. Considérons-le plus en détail.
Tout nombre composé peut être exprimé comme le produit de ses diviseurs premiers :
28 = 2 2 7
Les parties droites des égalités obtenues sont appelées factorisation première numéros 15 et 28.
Factoriser un nombre composé donné en facteurs premiers signifie représenter ce nombre comme un produit de ses diviseurs premiers.
La décomposition d'un nombre donné en facteurs premiers s'effectue de la manière suivante :
- Vous devez d'abord choisir le plus petit nombre premier de la table des nombres premiers, par lequel ce nombre composé est divisible sans reste, et effectuer la division.
- Ensuite, vous devez à nouveau choisir le plus petit nombre premier par lequel le quotient déjà obtenu sera divisé sans reste.
- L'exécution de la deuxième action est répétée jusqu'à ce que l'unité soit obtenue dans le quotient.
A titre d'exemple, factorisons le nombre 940. Trouvez le plus petit nombre premier qui divise 940. Ce nombre est 2 :
Maintenant, nous sélectionnons le plus petit nombre premier par lequel 470 est divisible. Ce nombre est à nouveau 2 :
Le plus petit nombre premier par lequel 235 est divisible est 5 :
Le nombre 47 est premier, donc le plus petit nombre premier par lequel 47 est divisible est le nombre lui-même :
Ainsi, on obtient le nombre 940, décomposé en facteurs premiers :
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Si la décomposition d'un nombre en facteurs premiers aboutit à plusieurs facteurs identiques, alors par souci de brièveté, on peut les écrire en degré :
940 = 2 2 5 47
Il est plus pratique d'écrire la décomposition en facteurs premiers comme suit : d'abord, nous écrivons le nombre composé donné et traçons une ligne verticale à sa droite :
À droite de la ligne, nous écrivons le plus petit diviseur simple par lequel le nombre composé donné est divisible :
Nous effectuons la division et écrivons le quotient résultant sous le dividende :
Avec un quotient, on fait comme avec un nombre composé donné, c'est-à-dire qu'on sélectionne le plus petit nombre premier par lequel il est divisible sans reste et qu'on effectue la division. Et ainsi nous répétons jusqu'à ce que l'unité soit obtenue dans le quotient :
Veuillez noter qu'il est parfois assez difficile d'effectuer la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, car lors de la décomposition, nous pouvons rencontrer un grand nombre qu'il est difficile de déterminer en déplacement s'il est premier ou composé. Et s'il est composé, il n'est pas toujours facile de trouver son plus petit diviseur premier.
Essayons, par exemple, de décomposer le nombre 5106 en facteurs premiers :
Ayant atteint le quotient 851, il est difficile de déterminer immédiatement son plus petit diviseur. Passons au tableau des nombres premiers. S'il contient un nombre qui nous met en difficulté, alors il n'est divisible que par lui-même et par un. Le nombre 851 n'est pas dans le tableau des nombres premiers, ce qui signifie qu'il est composé. Il ne reste plus qu'à le diviser en nombres premiers par la méthode d'énumération séquentielle : 3, 7, 11, 13, ..., et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on trouve un diviseur premier convenable. En utilisant la méthode d'énumération, nous trouvons que 851 est divisible par le nombre 23.
Cours en 6ème sur le sujet
"Décomposition en facteurs premiers"
Objectifs de la leçon:
Éducatif:
Pour se faire une idée de la décomposition des nombres en facteurs premiers, la possibilité d'utiliser l'algorithme approprié dans la pratique.
Former les compétences et les capacités d'utiliser les signes de divisibilité lors de la décomposition des nombres en facteurs premiers.
Développement:
Développer des compétences informatiques, la capacité de généraliser, d'analyser, d'identifier des modèles, de comparer.
Éducatif:
Cultiver l'attention, une culture de la pensée mathématique, une attitude sérieuse envers le travail éducatif.
Contenu de la leçon :
1. Compte rendu oral.
2. Répétition du matériel couvert.
3. Explication du nouveau matériel.
4. Fixation du matériel.
5. Réflexion.
6. Résumer la leçon.
Pendant les cours
Motivation (autodétermination) pour les activités d'apprentissage.
Bonjour gars. Le sujet de notre leçon est "Décomposition des nombres en facteurs premiers". Certains d'entre vous le connaissent déjà. Et afin de mieux fixer l'objectif de la leçon, nous travaillerons avec vous un peu à l'oral.
Agir (verbalement) .
Calculer:
1. 15x (325 -325) + 236x1 - 30 : 1 206
2. 207 - (0 x4376 -0:585) + 315 : 315 208
3. (60 - 0:60) + (150:1 -48x0) 210
4. (707:707 +211х1):1 -0:123 212
Répétition du matériel étudié
Continuer la série résultante pour 3 numéros
(206; 208;210; 212;214;216;218)
Choisissez parmi eux des nombres divisibles
sur : 2 (206 ; 208 ; 210 ; 212 ; 214 ; 216 ; 218)
par 3 : (210;216)
par 9: (216)
par 5 : (210)
par 4 : (208 ; 212 ; 216)
Formuler des signes de divisibilité
Des questions: 1. Quels nombres sont appelés premiers ?
2. Quels nombres sont appelés composés ?
3. Quel est le numéro 1 ?
4. Nommez tous les nombres premiers des deux premières dizaines.
5. Combien y a-t-il de nombres premiers ?
6. Le nombre 32 est-il premier ?
7. Le nombre 73 est-il premier ?
Explication du nouveau matériel.
Résolvons un problème très intéressant.
Vécu, il y avait des ennuis et une grand-mère. Ils avaient un poulet Ryaba. Une poule pond un œuf d'or sur sept et un œuf d'argent sur trois. Est-ce que ça pourrait être?
(Réponse : non, car 21 testicules peuvent être d'or et d'argent) Pourquoi ?
Que devrions-nous apprendre dans la leçon d'aujourd'hui ? (Décomposer tous les nombres en facteurs premiers)
Pourquoi pensez-vous que nous avons besoin de cela? (pour résoudre des exemples plus complexes et également réduire les fractions)
Aujourd'hui, le sujet de notre leçon nous aidera à mieux comprendre et résoudre ces problèmes.
Résoudre le problème : Il est nécessaire d'attribuer un terrain rectangulaire d'une superficie de 18 mètres carrés. m., Quelles peuvent être les dimensions de cette aire, si elles doivent être exprimées en nombres naturels ?
Solution : 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3
2. 18= 2x9 = 2x3x3
3. 18=3x6 = 3x2x 3
Travailler en équipe de deux.
Qu'avons-nous fait? (Représenté sous forme de produit ou factorisé). Est-il possible de poursuivre la décomposition ? Mais comme ? Qu'est-ce que vous obtenez?
Question : que dire de ces multiplicateurs ?
Tous les facteurs sont des nombres premiers.
Ouvrez le manuel Que faut-il faire ? Qui peut m'expliquer comment c'est fait ? (Discussion en binôme)
A partir de l'exemple analysé, on décompose le nombre 84 en facteurs premiers (algorithme de décomposition) :
84 2 756 2 - le professeur montre au tableau.
42 2 378 2
21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2∙3∙7
7 7 63 3
1 21 3 756= 2x2x3x3x3x3
Décomposez le nombre 756 en facteurs premiers. Comparez avec ma solution. Qu'avez-vous remarqué ?
À la page 194, trouvez la réponse à la question suivante ?
Tout nombre se décompose en un produit de facteurs premiers
Le seul moyen.
Consolidation du matériel étudié .
1. Factoriser les nombres : 20 ; 188 ; 254.
Allons vérifier diapositive 12
20 2 188 2 254 2
10 2 94 2 127 127
5 5 47 47 1 1
1 1 1
№ 1. 20 = 2 2 ∙5 ; 188 = 2²∙47 ; 254 = 2∙127.
Les cartes sont offertes à tous. Les élèves décident et vérifient avec l'original qui se trouve sur le bureau du professeur. Si vous l'avez bien fait, mettez-vous un signe plus dans le tableau croisé dynamique. (Résoudre par 3)
Numéro de carte 2. Factoriser les nombres : 30 ; 136 ; 438.
Numéro de carte 3. Factoriser les nombres : 40 ; 125 ; 326.
Numéro de carte 4. Factoriser les nombres : 50 ; 78; 285.
Numéro de carte 5. Factoriser les nombres : 60 ; 654 ; 99.
Numéro de carte 6. Factoriser les nombres : 70 ; 65; 136.
Une fois les travaux terminés, nous vérifierons.
№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.
№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163
№4. 50 = 2∙5² ; 78 = 2∙3∙13 ; 285 = 3∙5∙9.
№ 5. 60 = 2²∙3∙5 ; 654 = 2∙3∙109 ; 99 = 3²∙11
№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.
Résultat.
Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?
(Décomposer entier naturel facteurs premiers signifie représenter un nombre comme un produit de nombres premiers.)
2) La décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers est-elle unique ?
(Quelle que soit la façon dont la décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers est effectuée, on obtient sa factorisation unique, l'ordre des facteurs n'est pas pris en compte.)
Devoirs.
Décomposer 4 nombres quelconques en facteurs premiers.
(sauf 0 et 1) a au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Les nombres qui n'ont pas d'autres diviseurs sont appelés simple Nombres. Les nombres qui ont d'autres diviseurs sont appelés constituant(ou complexe) Nombres. Il existe une infinité de nombres premiers. Les nombres premiers ne dépassant pas 200 sont les suivants :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Multiplication- l'une des quatre opérations arithmétiques de base, une opération mathématique binaire dans laquelle un argument est ajouté autant de fois que l'autre le montre. En arithmétique, la multiplication est comprise comme un bref enregistrement de l'addition d'un nombre spécifié de termes identiques.
Par exemple, l'entrée 5 * 3 signifie "ajouter trois cinq", c'est-à-dire 5 + 5 + 5. Le résultat de la multiplication s'appelle travail, et les nombres multipliés sont multiplicateurs ou facteurs. Le premier facteur est parfois appelé " multiplicande».
Tout nombre composé peut être décomposé en facteurs premiers. Quelle que soit la méthode, on obtient la même décomposition, si l'on ne tient pas compte de l'ordre d'écriture des facteurs.
Factorisation d'un nombre (Factorisation).
Factorisation (factorisation)- énumération des diviseurs - un algorithme pour factoriser ou tester la simplicité d'un nombre par une énumération complète de tous les diviseurs potentiels possibles.
Autrement dit, en termes simples, la factorisation est le nom du processus de factorisation des nombres en facteurs, exprimé en langage scientifique.
La séquence d'actions lors de la décomposition en facteurs premiers:
1. Vérifiez si le nombre proposé est premier.
2. Sinon, alors on sélectionne, guidé par les signes de division, un diviseur parmi les nombres premiers en partant du plus petit (2, 3, 5 ...).
3. Répétez cette action jusqu'à ce que le quotient soit un nombre premier.
Tout nombre naturel autre que un a deux diviseurs ou plus. Par exemple, le nombre 7 n'est divisible que par 1 et 7 sans reste, c'est-à-dire qu'il a deux diviseurs. Et le nombre 8 a pour diviseurs 1, 2, 4, 8, c'est-à-dire jusqu'à 4 diviseurs à la fois.
Quelle est la différence entre les nombres premiers et composés
Les nombres qui ont plus de deux facteurs sont appelés nombres composés. Les nombres qui n'ont que deux diviseurs, un et le nombre lui-même, sont appelés nombres premiers.
Le nombre 1 n'a qu'une division, à savoir le nombre lui-même. L'unité ne s'applique pas aux nombres premiers ou composés.
- Par exemple, le nombre 7 est premier et le nombre 8 est composé.
10 premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair, tous les autres nombres premiers sont impairs.
Le nombre 78 est composé, car en plus de 1 et de lui-même, il est également divisible par 2. Lorsqu'il est divisé par 2, nous obtenons 39. C'est-à-dire que 78 = 2 * 39. Dans de tels cas, on dit que le nombre a été factorisé par 2 et 39.
Tout nombre composé peut être décomposé en deux facteurs, chacun étant supérieur à 1. Avec un nombre premier, une telle astuce ne fonctionnera pas. Alors ça va.
Décomposer un nombre en facteurs premiers
Comme indiqué ci-dessus, tout nombre composé peut être décomposé en deux facteurs. Prenons par exemple le nombre 210. Ce nombre peut être décomposé en deux facteurs 21 et 10. Mais les nombres 21 et 10 sont aussi composés, décomposons-les en deux facteurs. Nous obtenons 10 = 2*5, 21=3*7. Et du coup, le nombre 210 s'est déjà décomposé en 4 facteurs : 2,3,5,7. Ces nombres sont déjà premiers et ne peuvent pas être décomposés. Autrement dit, nous avons décomposé le nombre 210 en facteurs premiers.
Lors de la décomposition de nombres composés en facteurs premiers, ils sont généralement écrits dans l'ordre croissant.
Rappelons que tout nombre composé peut être décomposé en facteurs premiers et de plus de façon unique, à une permutation près.
- Habituellement, lors de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, les signes de divisibilité sont utilisés.
Décomposons le nombre 378 en facteurs premiers
Nous écrirons des nombres en les séparant par une barre verticale. Le nombre 378 est divisible par 2, puisqu'il se termine par 8. En divisant, on obtient le nombre 189. La somme des chiffres du nombre 189 est divisible par 3, ce qui signifie que le nombre 189 lui-même est divisible par 3. Comme un résultat, nous obtenons 63.
Le nombre 63 est également divisible par 3, sur la base de la divisibilité. Nous obtenons 21, le nombre 21 peut à nouveau être divisé par 3, nous obtenons 7. Le sept n'est divisible que par lui-même, nous obtenons un. Ceci termine la division. À droite après la ligne, nous avons des facteurs premiers dans lesquels le nombre 378 est décomposé.
378|2
189|3
63|3
21|3