Qu'est-ce qu'un nombre naturel ? Histoire, portée, propriétés. Nombres naturels Comment appelle-t-on les composantes de la multiplication ?
Le nombre le plus simple est entier naturel. Ils sont utilisés dans Vie courante pour compter des objets, c'est-à-dire pour calculer leur nombre et leur ordre.
Qu'est-ce qu'un nombre naturel : nombres naturels nommer les nombres qui sont utilisés pour compter les articles ou pour indiquer le numéro de série de tout article de tous les éléments homogènes articles.
Entiers- ce sont des nombres commençant à un. Ils se forment naturellement lors du comptage.Par exemple, 1,2,3,4,5... -premiers nombres naturels.
Le plus petit nombre naturel- un. Il n’existe pas de plus grand nombre naturel. En comptant le nombre Zéro n’est pas utilisé, donc zéro est un nombre naturel.
Série de nombres naturels est la suite de tous les nombres naturels. Écrire des nombres naturels :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Dans la série naturelle, chaque nombre est supérieur au précédent un par un.
Combien y a-t-il de nombres dans la série naturelle ? La série naturelle est infinie ; le plus grand nombre naturel n'existe pas.
Décimal puisque 10 unités de n’importe quel chiffre forment 1 unité du chiffre le plus élevé. Positionnellement donc comment la signification d'un chiffre dépend de sa place dans le nombre, c'est-à-dire de la catégorie où il est écrit.
Classes de nombres naturels.
Tout nombre naturel peut être écrit en utilisant 10 chiffres arabes :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Pour lire les nombres naturels, ils sont divisés, en partant de la droite, en groupes de 3 chiffres chacun. 3 premiers les nombres à droite sont la classe d'unités, les 3 suivants sont la classe des milliers, puis les classes des millions, des milliards etetc. Chacun des chiffres de la classe est appelé sondécharge.
Comparaison des nombres naturels.
Parmi 2 nombres naturels, le plus petit est celui qui est appelé plus tôt lors du comptage. Par exemple, nombre 7 moins 11 (écrit ainsi :7 < 11 ). Lorsqu'un nombre est supérieur au second, cela s'écrit ainsi :386 > 99 .
Tableau des chiffres et classes de nombres.
Unité de 1ère classe |
1er chiffre de l'unité 2ème chiffre des dizaines 3ème place en centaines |
2ème classe mille |
1er chiffre de l'unité de milliers 2e chiffre des dizaines de milliers 3ème catégorie centaines de milliers |
millions de 3ème classe |
1er chiffre de l'unité de millions 2ème catégorie dizaines de millions 3ème catégorie centaines de millions |
Des milliards de 4ème classe |
1er chiffre de l'unité de milliards 2ème catégorie dizaines de milliards 3ème catégorie centaines de milliards |
Les nombres à partir de la 5e année sont considérés comme de grands nombres. Les unités de la 5ème classe sont des milliards, 6ème classe - quadrillions, 7e classe - quintillions, 8e classe - sextillions, 9e classe - eptillions. Propriétés de base des nombres naturels.
Opérations sur les nombres naturels. 4. La division des nombres naturels est l'opération inverse de la multiplication. Si b ∙ c = une, Que Formules de division : une : 1 = une une : une = 1, une ≠ 0 0 : une = 0, une ≠ 0 (UN∙ b) : c = (a:c) ∙ b (UN∙ b) : c = (b:c) ∙ une Expressions numériques et égalités numériques. Une notation où les nombres sont reliés par des signes d'action est expression numérique. Par exemple, 10∙3+4 ; (60-2∙5):10. Les enregistrements où 2 expressions numériques sont combinées avec un signe égal sont égalités numériques. L’égalité a des côtés gauche et droit. L'ordre d'exécution des opérations arithmétiques. L'addition et la soustraction de nombres sont des opérations du premier degré, et la multiplication et la division sont des opérations du deuxième degré. Lorsqu'une expression numérique consiste en des actions d'un seul degré, elles sont exécutées séquentiellement de gauche à droite. Lorsque les expressions consistent en des actions du premier et du deuxième degrés uniquement, alors les actions sont exécutées en premier. deuxième degré, puis - les actions du premier degré. Lorsqu'il y a des parenthèses dans une expression, les actions entre parenthèses sont effectuées en premier. Par exemple, 36 :(10-4)+3∙5= 36 :6+15 = 6+15 = 21. |
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Définition. Entiers- ce sont les nombres qui servent à compter : 1, 2, 3, ..., n, ...
L'ensemble des nombres naturels est généralement désigné par le symbole N(de lat. naturel- naturel).
Les nombres naturels dans le système de nombres décimaux s'écrivent à l'aide de dix chiffres :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
L’ensemble des nombres naturels est ensemble commandé, c'est à dire. pour tout nombre naturel m et n, l'une des relations suivantes est vraie :
- ou m = n (m est égal à n),
- ou m > n (m supérieur à n ),
- ou m< n (m меньше n ).
- Le moins naturel numéro - un (1)
- Il n’existe pas de plus grand nombre naturel.
- Zéro (0) n'est pas un nombre naturel.
Parmi les nombres naturels voisins, le nombre qui se trouve à gauche de n est appelé numéro précédent m, et le numéro qui se trouve à droite s'appelle suivant après n.
Opérations sur les nombres naturels
Les opérations fermées sur les nombres naturels (opérations résultant des nombres naturels) comprennent les opérations arithmétiques suivantes :
- Ajout
- Multiplication
- Exponentiation a b , où a est la base et b est l'exposant. Si la base et l’exposant sont des nombres naturels, alors le résultat sera un nombre naturel.
De plus, deux autres opérations sont envisagées. D'un point de vue formel, ce ne sont pas des opérations sur des nombres naturels, puisque leur résultat ne sera pas toujours un nombre naturel.
- Soustraction(Dans ce cas, le Minuend doit être supérieur au Subtrahend)
- Division
Classes et rangs
Le lieu est la position (position) d'un chiffre dans un enregistrement numérique.
Le rang le plus bas est celui de droite. Le chiffre le plus significatif est celui de gauche.
Exemple:
5 - unités, 0 - dizaines, 7 - centaines,
2 - des milliers, 4 - des dizaines de milliers, 8 - des centaines de milliers,
3 - millions, 5 - dizaines de millions, 1 - centaines de millions
Pour faciliter la lecture, les nombres naturels sont divisés en groupes de trois chiffres chacun, en commençant par la droite.
Classe- un groupe de trois chiffres dans lequel le numéro est divisé, en partant de la droite. La dernière classe peut être composée de trois, deux ou un chiffres.
- La première classe est la classe de parts ;
- La deuxième classe est celle des milliers ;
- La troisième classe est celle des millions ;
- La quatrième classe est celle des milliards ;
- Cinquième classe - classe de milliards ;
- Sixième classe - classe de quadrillions (quadrillions) ;
- La septième classe est la classe des quintillions (quintillions) ;
- Huitième classe - classe sextillion ;
- Neuvième classe - classe septillion ;
Exemple:
34 - milliards 456 millions 196 mille 45
Comparaison des nombres naturels
Comparer des nombres naturels avec différents nombres de chiffres
Parmi les nombres naturels, celui qui comporte le plus de chiffres est le plus grandComparer des nombres naturels avec un nombre égal de chiffres
Comparez les nombres petit à petit, en commençant par le chiffre le plus significatif. Celui qui a le plus d'unités au rang le plus élevé du même nom est le plus grand.
Exemple:
3466 > 346 - puisque le nombre 3466 se compose de 4 chiffres et le nombre 346 se compose de 3 chiffres.
34666 < 245784 - puisque le nombre 34666 se compose de 5 chiffres et le nombre 245784 se compose de 6 chiffres.
Exemple:
346 667 670 52 6 986
346 667 670 56 9 429
Le deuxième nombre naturel avec un nombre égal de chiffres est plus grand, puisque 6 > 2.
En mathématiques, il existe plusieurs ensembles de nombres différents : réels, complexes, entiers, rationnels, irrationnels, ... Dans notre Vie courante On utilise le plus souvent des nombres naturels, puisqu'on les rencontre lors du comptage et lors de la recherche, désignant le nombre d'objets.
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Quels nombres sont appelés nombres naturels ?
À partir de dix chiffres, vous pouvez écrire absolument n'importe quelle somme existante de classes et de rangs. Sont considérées comme valeurs naturelles celles qui sont utilisés:
- Lors du comptage d'objets (premier, deuxième, troisième, ... cinquième, ... dixième).
- En indiquant le nombre d'articles (un, deux, trois...)
Les valeurs N sont toujours entières et positives. Il n'y a pas de N plus grand car l'ensemble des valeurs entières est illimité.
Attention! Les nombres naturels sont obtenus en comptant des objets ou en indiquant leur quantité.
Absolument n'importe quel nombre peut être décomposé et présenté sous forme de termes numériques, par exemple : 8 346 809 = 8 millions + 346 mille + 809 unités.
Ensemble N
L'ensemble N est dans l'ensemble réel, entier et positif. Sur le schéma des ensembles, ils seraient situés les uns dans les autres, puisque l'ensemble des naturels en fait partie.
L'ensemble des nombres naturels est désigné par la lettre N. Cet ensemble a un début, mais pas de fin.
Il existe également un ensemble étendu N, où zéro est inclus.
Le plus petit nombre naturel
Dans la plupart des écoles de mathématiques, la plus petite valeur de N est considéré comme une unité, puisque l'absence d'objets est considérée comme un vide.
Mais dans les écoles mathématiques étrangères, par exemple françaises, cela est considéré comme naturel. La présence de zéro dans la série facilite la preuve quelques théorèmes.
Une série de valeurs N qui inclut zéro est dite étendue et est désignée par le symbole N0 (indice zéro).
Série de nombres naturels
La série N est une séquence de tous les N ensembles de chiffres. Cette séquence n'a pas de fin.
La particularité de la série naturelle est que le nombre suivant différera du précédent d'un point, c'est-à-dire qu'il augmentera. Mais les significations ne peut pas être négatif.
Attention! Pour faciliter le comptage, il existe des classes et des catégories :
- Unités (1, 2, 3),
- Des dizaines (10, 20, 30),
- Des centaines (100, 200, 300),
- Des milliers (1000, 2000, 3000),
- Des dizaines de milliers (30 000),
- Des centaines de milliers (800.000),
- Millions (4000000), etc.
Tout N
Tous les N appartiennent à l’ensemble des valeurs réelles, entières et non négatives. Ils sont à eux partie intégrante.
Ces valeurs vont à l'infini, elles peuvent appartenir aux classes des millions, des milliards, des quintillions, etc.
Par exemple:
- Cinq pommes, trois chatons,
- Dix roubles, trente crayons,
- Cent kilos, trois cents livres,
- Un million d'étoiles, trois millions de personnes, etc.
Séquence en N
Dans différentes écoles mathématiques, vous pouvez trouver deux intervalles auxquels appartient la séquence N :
de zéro à plus l'infini, y compris les extrémités, et de un à plus l'infini, y compris les extrémités, c'est-à-dire tout réponses entières positives.
N ensembles de chiffres peuvent être pairs ou impairs. Considérons le concept de bizarrerie.
Impair (tout nombre impair se termine par les chiffres 1, 3, 5, 7, 9.) avec deux ont un reste. Par exemple, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
Que signifie même N ?
Toute somme paire de classes se termine par des nombres : 0, 2, 4, 6, 8. Lorsque N pair est divisé par 2, il n'y aura pas de reste, c'est-à-dire que le résultat est la réponse entière. Par exemple, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
Important! Une série de nombres de N ne peut pas être constituée uniquement de valeurs paires ou impaires, puisqu'elles doivent alterner : pair est toujours suivi d'impair, suivi de nouveau de pair, etc.
Propriétés N
Comme tous les autres ensembles, N possède ses propres propriétés particulières. Considérons les propriétés de la série N (non étendue).
- La valeur la plus petite et qui ne suit aucune autre est une.
- N représente une séquence, c'est-à-dire une valeur naturelle en suit un autre(sauf un - c'est le premier).
- Lorsque nous effectuons des opérations de calcul sur N sommes de chiffres et de classes (additionner, multiplier), alors la réponse ça s'avère toujours naturel signification.
- La permutation et la combinaison peuvent être utilisées dans les calculs.
- Chaque valeur suivante ne peut pas être inférieure à la précédente. Également dans la série N, la loi suivante s'appliquera : si le nombre A est inférieur à B, alors dans la série numérique, il y aura toujours un C pour lequel l'égalité est vraie : A+C=B.
- Si l'on prend deux expressions naturelles, par exemple A et B, alors l'une des expressions sera vraie pour elles : A = B, A est supérieur à B, A est inférieur à B.
- Si A est inférieur à B et B est inférieur à C, alors il s'ensuit que que A est inférieur à C.
- Si A est inférieur à B, alors il s'ensuit que : si on leur ajoute la même expression (C), alors A + C est inférieur à B + C. Il est également vrai que si ces valeurs sont multipliées par C, alors AC est inférieur à AB.
- Si B est supérieur à A, mais inférieur à C, alors : B-A moins S-A.
Attention! Toutes les inégalités ci-dessus sont également valables dans le sens inverse.
Comment s’appellent les composantes de la multiplication ?
Dans de nombreux problèmes simples et même complexes, trouver la réponse dépend des compétences des écoliers.
Afin de multiplier rapidement et correctement et de pouvoir résoudre des problèmes inverses, vous devez connaître les composantes de la multiplication.
15. 10=150. Dans cette expression il y a 15 et 10 sont des multiplicateurs, et 150 est un produit.
La multiplication a des propriétés nécessaires à la résolution de problèmes, d'équations et d'inégalités :
- La réorganisation des facteurs ne changera pas le produit final.
- Pour trouver un facteur inconnu, vous devez diviser le produit par un facteur connu (vrai pour tous les facteurs).
Par exemple : 15 . X=150. Divisons le produit par un facteur connu. 150:15=10. Faisons une vérification. 15 . 10=150. Selon ce principe, ils décident même équations linéaires complexes(pour les simplifier).
Important! Un produit peut comprendre plus que deux facteurs. Par exemple : 840=2 . 5. 7. 3. 4
Que sont les nombres naturels en mathématiques ?
Lieux et classes de nombres naturels
Conclusion
Résumons. N est utilisé pour compter ou indiquer le nombre d’éléments. La série d’ensembles naturels de nombres est infinie, mais elle ne comprend que des sommes entières et positives de chiffres et de classes. La multiplication est également nécessaire pour compter les objets, ainsi que pour résoudre des problèmes, des équations et diverses inégalités.
L’histoire des nombres naturels a commencé à l’époque primitive. Depuis l’Antiquité, les gens comptent les objets. Par exemple, dans le commerce, vous aviez besoin d'un compte de marchandises ou dans la construction, d'un compte de matériaux. Oui, même dans la vie de tous les jours, je devais aussi compter les choses, la nourriture, le bétail. Au début, les nombres n'étaient utilisés que pour compter dans la vie, dans la pratique, mais plus tard, avec le développement des mathématiques, ils sont devenus une partie de la science.
Entiers- ce sont les nombres que nous utilisons pour compter les objets.
Par exemple : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
Zéro n'est pas un nombre naturel.
Tous les nombres naturels, ou disons l'ensemble des nombres naturels, sont désignés par le symbole N.
Tableau des nombres naturels.
Série naturelle.
Nombres naturels écrits à la suite dans l'ordre croissant série naturelle ou une série de nombres naturels.
Propriétés de la série naturelle :
- Le plus petit nombre naturel est un.
- Dans une série naturelle, le nombre suivant est supérieur de un au précédent. (1, 2, 3, ...) Trois points ou ellipses sont placés s'il est impossible de compléter la séquence de nombres.
- La série naturelle n’a pas de plus grand nombre, elle est infinie.
Exemple 1:
Écrivez les 5 premiers nombres naturels.
Solution:
Les nombres naturels partent de un.
1, 2, 3, 4, 5
Exemple n°2 :
Zéro est-il un nombre naturel ?
Réponse : non.
Exemple n°3 :
Quel est le premier nombre de la série naturelle ?
Réponse : La série naturelle commence à partir de un.
Exemple n°4 :
Quel est le dernier nombre de la série naturelle ? Quel est le plus grand nombre naturel ?
Réponse : La série naturelle commence par un. Chaque nombre suivant est supérieur de un au précédent, donc le dernier nombre n'existe pas. lui-même grand nombre Non.
Exemple n°5 :
L'un des éléments de la série naturelle a-t-il un numéro précédent ?
Réponse : non, car un est le premier nombre de la série naturelle.
Exemple n°6 :
Nommez le nombre suivant de la série naturelle : a)5, b)67, c)9998.
Réponse : a)6, b)68, c)9999.
Exemple n°7 :
Combien y a-t-il de nombres dans la série naturelle entre les nombres : a) 1 et 5, b) 14 et 19.
Solution:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – trois nombres sont compris entre les nombres 1 et 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – quatre nombres sont compris entre les nombres 14 et 19.
Exemple n°8 :
Dites le numéro précédent après 11.
Réponse : 10.
Exemple n°9 :
Quels nombres sont utilisés pour compter des objets ?
Réponse : les nombres naturels.
Les nombres naturels sont l'un des concepts mathématiques les plus anciens.
Dans un passé lointain, les gens ne connaissaient pas les chiffres et lorsqu’ils avaient besoin de compter des objets (animaux, poissons, etc.), ils le faisaient différemment de nous aujourd’hui.
Le nombre d'objets a été comparé à des parties du corps, par exemple avec les doigts d'une main, et ils ont dit : « J'ai autant de noix que de doigts sur ma main.
Au fil du temps, les gens ont réalisé que cinq noix, cinq chèvres et cinq lièvres avaient propriété commune- leur nombre est cinq.
Souviens-toi!
Entiers- ce sont des nombres, à partir de 1, obtenus en comptant des objets.
1, 2, 3, 4, 5…
Le plus petit nombre naturel — 1 .
Le plus grand nombre naturel n'existe pas.
Lors du comptage, le nombre zéro n'est pas utilisé. Par conséquent, zéro n’est pas considéré comme un nombre naturel.
Les gens ont appris à écrire les nombres bien plus tard qu’à compter. Tout d'abord, ils ont commencé à en représenter un avec un bâton, puis avec deux bâtons - le chiffre 2, avec trois - le chiffre 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Ensuite, des signes spéciaux sont apparus pour indiquer les nombres - les prédécesseurs des nombres modernes. Les chiffres que nous utilisons pour écrire les nombres sont originaires de l’Inde il y a environ 1 500 ans. Les Arabes les ont amenés en Europe, c'est pourquoi on les appelle chiffres arabes.
Il y a dix nombres au total : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En utilisant ces nombres, vous pouvez écrire n’importe quel nombre naturel.
Souviens-toi!
Série naturelle est la séquence de tous les nombres naturels :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Dans la série naturelle, chaque nombre est supérieur de 1 au précédent.
La série naturelle est infinie ; elle ne contient pas de plus grand nombre naturel.
Le système de comptage que nous utilisons s'appelle position décimale.
Décimal car 10 unités de chaque chiffre forment 1 unité du chiffre le plus significatif. Positionnel car la signification d'un chiffre dépend de sa place dans l'enregistrement numérique, c'est-à-dire du chiffre dans lequel il est écrit.
Important!
Les classes qui suivent le milliard sont nommées d'après les noms latins des nombres. Chaque unité suivante contient mille unités précédentes.
- 1 000 milliards = 1 000 000 000 000 = 1 billion (« trois » signifie « trois » en latin)
- 1 000 billions = 1 000 000 000 000 000 = 1 quadrillion (« quadra » signifie « quatre » en latin)
- 1 000 quadrillions = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 quintillion (« quinta » signifie « cinq » en latin)
Cependant, les physiciens ont découvert un nombre qui dépasse le nombre de tous les atomes (les plus petites particules de matière) de l'Univers entier.
Ce numéro a reçu un nom spécial - google. Googol est un nombre avec 100 zéros.