Историята на простите числа. Истинската история на числата
Свойствата на простите числа са изследвани за първи път от математиците на Древна Гърция. Математиците от питагорейската школа (500 - 300 г. пр.н.е.) се интересуват предимно от мистичните и нумерологични свойства на простите числа. Те бяха първите, които излязоха с идеи за перфектни и приятелски числа.
Съвършеното число има сума от собствените си делители, равна на себе си. Например правилните делители на числото 6 са 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. Делителите на числото 28 са 1, 2, 4, 7 и 14. Освен това 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Числата се наричат приятелски, ако сумата от правилните делители на едно число е равна на друго, и обратно - например 220 и 284. Можем да кажем, че перфектното число е приятелско на себе си.
По времето на Елементи на Евклид през 300 г. пр.н.е. Вече са доказани няколко важни факта за простите числа. В книга IX на Елементите Евклид доказва, че има безкраен брой прости числа. Между другото, това е един от първите примери за използване на доказателство от противно. Той също така доказва основната теорема на аритметиката - всяко цяло число може да бъде представено уникално като произведение на прости числа.
Той също така показа, че ако числото 2n-1 е просто, тогава числото 2n-1 * (2n-1) ще бъде перфектно. Друг математик, Ойлер, успя да покаже през 1747 г., че всички четни перфектни числа могат да бъдат записани в тази форма. До ден днешен не е известно дали съществуват нечетни перфектни числа.
През 200 г. пр.н.е. Гъркът Ератостен измисли алгоритъм за намиране на прости числа, наречен Ситото на Ератостен.
И тогава имаше голяма пауза в историята на изучаването на простите числа, свързана със Средновековието.
Следните открития са направени още в началото на 17 век от математика Ферма. Той доказа хипотезата на Алберт Жирар, че всяко просто число от формата 4n+1 може да бъде записано уникално като сбор от два квадрата, а също така формулира теоремата, че всяко число може да бъде записано като сбор от четири квадрата.
Той разработи нов метод за разлагане на големи числа и го демонстрира върху числото 2027651281 = 44021? 46061. Той също така доказва малката теорема на Ферма: ако p е просто число, тогава за всяко цяло число a ще е вярно, че a p = a по модул p.
Това твърдение доказва половината от това, което беше известно като „китайска хипотеза“ и датира отпреди 2000 години: цяло число n е просто тогава и само ако 2 n -2 се дели на n. Втората част от хипотезата се оказа невярна - например 2,341 - 2 се дели на 341, въпреки че числото 341 е съставно: 341 = 31? единадесет.
Малката теорема на Ферма послужи като основа за много други резултати в теорията на числата и методи за тестване дали числата са прости - много от които се използват и днес.
Ферма кореспондира много със своите съвременници, особено с монах на име Марен Мерсен. В едно от писмата си той изказва хипотезата, че числата от формата 2 n +1 винаги ще бъдат прости, ако n е степен на две. Той тества това за n = 1, 2, 4, 8 и 16 и е уверен, че в случая, когато n не е степен на две, числото не е непременно просто. Тези числа се наричат числа на Ферма и само 100 години по-късно Ойлер показа, че следващото число, 2 32 + 1 = 4294967297, се дели на 641 и следователно не е просто.
Числата от формата 2 n - 1 също са били обект на изследване, тъй като е лесно да се покаже, че ако n е съставно, тогава самото число също е съставно. Тези числа се наричат числа на Мерсен, защото той ги е изучавал задълбочено.
Но не всички числа от формата 2 n - 1, където n е просто, са прости. Например 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Това е открито за първи път през 1536 г.
В продължение на много години числата от този вид предоставяха на математиците най-големите известни прости числа. Това M 19 е доказано от Каталди през 1588 г. и в продължение на 200 години е най-голямото известно просто число, докато Ойлер не доказва, че M 31 също е просто. Този рекорд остана още сто години, а след това Лукас показа, че M 127 е просто число (и това вече е число от 39 цифри) и след това изследванията продължиха с появата на компютрите.
През 1952 г. е доказана простотата на числата М 521, М 607, М 1279, М 2203 и М 2281.
До 2005 г. бяха открити 42 прости числа на Мерсен. Най-големият от тях, M 25964951, се състои от 7816230 цифри.
Работата на Ойлер има огромно влияние върху теорията на числата, включително простите числа. Той разшири Малката теорема на Ферма и въведе ?-функцията. Факторизира 5-то число на Ферма 2 32 +1, намери 60 двойки приятелски числа и формулира (но не можа да докаже) закона за квадратичната реципрочност.
Той е първият, който въвежда методите на математическия анализ и развива аналитичната теория на числата. Той доказа, че не само хармоничната серия? (1/n), но и поредица от формата
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Резултатът, получен от сумата на реципрочните стойности на простите числа, също се различава. Сумата от n членове на хармоничната серия нараства приблизително като log(n), а втората серия се отклонява по-бавно като log[ log(n)]. Това означава, че например сумата от реципрочните стойности на всички прости числа, намерени до момента, ще даде само 4, въпреки че серията все още се разминава.
На пръв поглед изглежда, че простите числа са разпределени доста произволно между цели числа. Например сред 100-те числа непосредствено преди 10000000 има 9 прости числа, а сред 100-те числа непосредствено след тази стойност има само 2. Но върху големи сегменти простите числа са разпределени доста равномерно. Лежандр и Гаус се занимават с въпросите на тяхното разпространение. Веднъж Гаус казал на приятел, че във всеки свободни 15 минути той винаги брои броя на простите числа в следващите 1000 числа. До края на живота си той е преброил всички прости числа до 3 милиона. Legendre и Gauss също така изчисляват, че за голямо n простата плътност е 1/log(n). Лежандр оценява броя на простите числа в диапазона от 1 до n като
?(n) = n/(log(n) - 1,08366)
А Гаус е като логаритмичен интеграл
?(n) = ? 1/log(t)dt
С интервал на интегриране от 2 до n.
Твърдението за плътността на простите числа 1/log(n) е известно като теорема за простото разпределение. Те се опитват да го докажат през целия 19 век и напредъкът е постигнат от Чебишев и Риман. Те го свързват с хипотезата на Риман, все още недоказана хипотеза за разпределението на нулите на дзета функцията на Риман. Плътността на простите числа е доказана едновременно от Адамар и Вале-Пусен през 1896 г.
Все още има много нерешени въпроси в теорията на простите числа, някои от които са на стотици години:
- Хипотезата за двойните прости числа е за безкраен брой двойки прости числа, които се различават едно от друго с 2
- Хипотезата на Голдбах: всяко четно число, започващо с 4, може да бъде представено като сбор от две прости числа
- Има ли безкраен брой прости числа от формата n 2 + 1?
- Винаги ли е възможно да се намери просто число между n 2 и (n + 1) 2? (фактът, че винаги има просто число между n и 2n е доказан от Чебишев)
- Безкраен ли е броят на простите числа на Ферма? Има ли прости числа на Ферма след 4?
- има ли аритметична прогресия на последователни прости числа за всяка дадена дължина? например за дължина 4: 251, 257, 263, 269. Максималната намерена дължина е 26.
- Има ли безкраен брой набори от три последователни прости числа в една аритметична прогресия?
- n 2 - n + 41 – просто число за 0? н? 40. Има ли безкраен брой такива прости числа? Същият въпрос за формулата n 2 - 79 n + 1601. Тези числа прости ли са за 0? н? 79.
- Има ли безкраен брой прости числа от формата n# + 1? (n# е резултат от умножаване на всички прости числа, по-малки от n)
- Има ли безкраен брой прости числа от формата n# -1?
- Има ли безкраен брой прости числа от формата n? + 1?
- Има ли безкраен брой прости числа от формата n? - 1?
- ако p е просто число, винаги ли 2 p -1 не съдържа прости квадрати сред своите множители?
- редицата на Фибоначи съдържа ли безкраен брой прости числа?
Най-големите двойни прости числа са 2003663613? 2 195000 ± 1. Те се състоят от 58711 цифри и са намерени през 2007 г.
Най-голямото факторно просто число (от типа n! ± 1) е 147855! - 1. Състои се от 142891 цифри и е открит през 2002 г.
Най-голямото първично просто число (число във формата n# ± 1) е 1098133# + 1.
Можете да помогнете и да прехвърлите средства за развитието на сайта
Общинска образователна институция "Частоозерско средно училище"
Изследователска работа по темата:
"Числата управляват света!"
Завършена работа:
Ученик в 6 клас.
Ръководител: ,
учител по математика.
с. Частоозерие.
Въведение. -3 страници
II. Главна част. -4 страници
· Математиката сред древните гърци. - 4 страници
· Питагор от Самос. -6 страници
· Питагор и числата. -8 стр.
2. Числата са прости и съставни. -10 стр.
3. Проблем на Голдбах. -12 стр.
4. Признаци на делимост. -13стр.
5. Любопитни свойства на естествените числа.-15стр.
6. Трикове с числа. -18 стр.
III. Заключение. -22 стр.
IV. Библиография. -23стр.
Въведение.
Уместност:
Докато изучаваше темата „Делимост на числата“ в часовете по математика, учителят предложи да се подготви доклад за историята на откриването на прости и съставни числа. Когато подготвях съобщението, се заинтересувах от думите на Питагор „Числата управляват света!“
Възникнаха въпроси:
· Кога възниква науката за числата?
· Кой е допринесъл за развитието на науката за числата?
· Значението на числата в математиката?
Реших да проуча подробно и да обобщя материала за числата и техните свойства.
Цел на изследването:изследва прости и съставни числа и показва тяхната роля в математиката.
Обект на изследване:прости и съставни числа.
Хипотеза:Ако, по думите на Питагор, „числата управляват света,
тогава каква е тяхната роля в математиката.
Цели на изследването:
I. Събирайте и обобщавайте всякаква информация за прости и съставни числа.
II. Покажете значението на числата в математиката.
III. Покажете интересни свойства на естествените числа.
Изследователски методи:
· Теоретичен анализ на литературата.
· Метод на систематизиране и обработка на данните.
II. Главна част.
1. Историята на възникването на науката за числата.
· Математиката сред древните гърци.
Както в Египет, така и във Вавилон, числата се използват главно за решаване на практически проблеми.
Ситуацията се промени, когато гърците се заеха с математиката. В техните ръце математиката се превърна от занаят в наука.
Гръцките племена започват да се заселват по северните и източните брегове на Средиземно море преди около четири хиляди години.
Голяма част от гърците се заселват на Балканския полуостров - там, където сега е държавата Гърция. Останалите се заселват на островите в Средиземно море и по крайбрежието на Мала Азия.
Гърците били отлични моряци. Техните леки кораби с остър нос обикаляха Средиземно море във всички посоки. Те донасят съдове и бижута от Вавилон, бронзови оръжия от Египет, животински кожи и хляб от бреговете на Черно море. И разбира се, подобно на други народи, корабите донесоха знания в Гърция заедно със стоки. Но гърците не са просто
научени от други народи. Много скоро те изпревариха учителите си.
Гръцките майстори построиха дворци и храмове с удивителна красота, които по-късно послужиха за модел на архитекти от всички страни в продължение на хиляди години.
Гръцките скулптори създават прекрасни статуи от мрамор. И не само „истинската“ математика започва от гръцките учени, но и много други науки, които изучаваме в училище.
Знаете ли защо гърците са изпреварили всички останали народи по математика? Защото ги умееше да спорят.
Как дебатът може да помогне на науката?
В древността Гърция се е състояла от много малки държави. Почти всеки град с околните села е бил отделна държава. Всеки път, когато трябваше да се реши някакъв важен държавен въпрос, жителите на града се събираха на площада и го обсъждаха. Те спореха как да го направят по-добре и след това гласуваха. Ясно е, че те бяха добри дебати: на такива срещи те трябваше да опровергаят опонентите си, да разсъждават и да докажат, че са прави. Древните гърци са вярвали, че аргументът помага да се намери най-доброто. Най-правилното решение. Те дори измислиха следната поговорка: „В спор се ражда истината“.
И в науката гърците започнаха да правят същото. Като на народно събрание. Те не просто запомняха правилата, но търсеха причини: защо е правилно да го направят по този начин, а не по друг начин. Гръцките математици се опитаха да обяснят всяко правило и да докажат, че не е вярно. Те се караха помежду си. Те разсъждаваха и се опитваха да намерят грешки в разсъжденията.
Ще докажат едно правило - разсъжденията водят до друго, по-сложно, после до трето, до четвърто. Законите са направени от правила. А науката за законите е математиката.
Веднага щом се роди, гръцката математика веднага тръгна напред със скокове и граници. Помогнаха й чудесни ботуши, които други народи не са имали преди. Те се наричаха "разсъждение" и "доказателство".
· Питагор от Самос.
Първият, който говори за числата, е гръкът Питагор, който е роден на остров Самос през 6 век сл. Хр.
Затова той често е наричан Питагор от Самос. Гърците разказват много легенди за този мислител.
Питагор рано проявява склонност към науката и отец Мнесарх го завежда в Сирия, в Тир, за да могат халдейските мъдреци да го учат там. Тя научава за мистериите на египетските жреци. Изгаряйки от желание да влезе в техния кръг и да стане посветен, Питагор започва да се готви за пътуване до Египет. Той прекарва една година във Финикия, в училището на свещениците. След това ще посети Египет, Хелиополис. Но местните свещеници бяха недружелюбни.
Проявявайки упоритост и преминавайки изключително трудни тестове за влизане, Питагор постига целта си - той е приет в кастата. Той прекарва 21 години в Египет, изучава перфектно всички видове египетско писане и чете много папируси. Фактите, известни на египтяните в математиката, го водят до собствените му математически открития.
Мъдрецът казал: „В света има неща, към които трябва да се стремиш. То е, първо, красиво и славно, второ, полезно за живота, трето, доставящо удоволствие. Удоволствията обаче са два вида: едното, което задоволява лакомията ни с лукс, е пагубно; другият е праведен и необходим за живота.”
Числата заемат централно място във философията на учениците и привържениците на Питагор:
« Там, където няма брой и мярка, има хаос и химери.”
"Най-мъдрото нещо е числото"
"Числата управляват света."
Затова мнозина смятат Питагор за бащата на номерирането - сложна наука, обвита в мистерия, описваща събитията в нея, разкриваща миналото и бъдещето, предсказваща съдбата на хората.
· Питагор и числата.
Древните гърци, а с тях и Питагор и питагорейците, са мислили за числата видимо под формата на камъчета, поставени върху пясъка или върху дъска за броене - сметало.
Числата с камъчета бяха изложени под формата на правилни геометрични фигури, тези фигури бяха класифицирани и така се появиха числата, които днес се наричат фигурни числа: линейни числа (т.е. прости числа) - числа, които се делят на единица и на себе си и, следователно , представим като последователност от подредени точки
https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">
твърди числа, изразени чрез произведението на три фактора
https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">
квадратни числа:
https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">
И. и т.н. Именно от образните числа е изразът „ Поставете в квадрат или куб число».
Питагор не се ограничава до плоски фигури. От точки той започва да добавя пирамиди, кубове и други тела и да изучава пирамидални, кубични и други числа (виж фиг. 1). Между другото, името куб от числаИзползваме го и днес.
Но Питагор не беше доволен от числата, получени от различни фигури. В крайна сметка той провъзгласи, че числата управляват света. Затова той трябваше да разбере как да използва числа, за да изобрази понятия като справедливост, съвършенство и приятелство.
За да изобрази съвършенството, Питагор започна да работи върху делителите на числата (той взе делителя 1, но не взе самото число). Той събираше всички делители на числото и ако сборът беше по-малък от числото, се обявяваше за недостатъчен, а ако е повече, се обявяваше за прекомерен. И едва когато сумата се равняваше точно на числото, то беше обявено за перфектно. Числата на приятелството бяха изобразени по подобен начин - две числа се наричаха приятелски, ако всяко от тях беше равно на сбора от делителите на другото число. Например числото 6 (6=1+2+3) е перфектно, числото 28 (1+2+4+7+17) е перфектно. Следващите перфектни числа са 496, 8128, .
2. Числата са прости и съставни.
Съвременната математика си спомня приятелските или съвършените числа с усмивка като хоби от детството.
А въведените от Питагор понятия за прости и съставни числа все още са обект на сериозни изследвания, за които математиците получават високи научни награди.
От опита на изчисленията хората знаеха, че всяко число е или просто число, или произведение на няколко прости числа. Но те не знаеха как да го докажат. Питагор или някой от неговите последователи намери доказателство за това твърдение.
Сега е лесно да се обясни ролята на простите числа в математиката: те са градивните елементи, от които се изграждат други числа с помощта на умножение.
Откриването на модели в поредица от числа е много приятно събитие за математиците: в крайна сметка тези модели могат да се използват за изграждане на хипотези, за тестване на доказателства и формули. Едно от свойствата на простите числа, което интересува математиците, е, че те отказват да се подчиняват на какъвто и да е модел.
Единственият начин да се определи дали число 100 895 598 169 е просто е да се използва доста трудоемкото „Решето на Ератостен“.
Таблицата показва една от опциите за това сито.
В тази таблица всички прости числа, по-малки от 48, са кръгчета. Те се намират по следния начин: 1 има един делител - себе си, следователно 1 не се счита за просто число. 2 е най-малкото (и единствено четно) просто число. Всички други четни числа се делят на 2, което означава, че имат поне три делителя; следователно те не са прости и могат да бъдат зачеркнати. Следващото незадраскано число е 3; то има точно два делителя, така че е просто. Всички останали числа, кратни на три (т.е. тези, които могат да се разделят на 3 без остатък), се задраскват. Сега първото незачертано число е 5; той е прост и всички негови кратни могат да бъдат задраскани.
Като продължите да зачертавате кратни, можете да елиминирате всички прости числа, по-малки от 48.
3. Проблем на Голдбах.
Всяко число може да се получи от прости числа чрез умножение. Какво се случва, ако добавите прости числа?
Математикът Голдбах, живял в Русия през 18 век, решил да събира нечетни прости числа само по двойки. Той открива удивително нещо: всеки път успява да представи четно число като сбор от две прости числа. (както беше случаят по времето на Голдбах, ние считаме 1 за просто число).
4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. и т.н.
https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">
Голдбах пише за своето наблюдение на великия математик
XVIII век на Леонард Ойлер, който е бил член на Академията на науките в Санкт Петербург. След като провери много повече четни числа, Ойлер беше убеден, че всички те са сбор от две прости числа. Но има безкрайно много четни числа. Следователно изчисленията на Ойлер само дадоха надежда, че всички числа притежават свойството, което Голдбах забеляза. Опитите да се докаже, че това винаги ще бъде така обаче не доведоха до никъде.
Математиците размишляваха върху проблема на Голдбах двеста години. И само руският учен Иван Матвеевич Виноградов успява да направи решителната крачка. Той установи, че всяко достатъчно голямо естествено число е
сумата от три прости числа. Но броят, от който твърдението на Виноградов е вярно, е невъобразимо голям.
4. Признаци на делимост.
489566: 11 = ?
За да разберете дали дадено число е просто или съставно, не винаги е необходимо да гледате таблицата с прости числа. Често за това е достатъчно да се използват знаците за делимост.
· Тест за делимост на 2.
Ако едно естествено число завършва на четна цифра, то числото е четно и се дели на 2 без остатък.
· Тест за делимост на 3.
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото се дели на 3.
· Тест за делимост на 4.
Естествено число, съдържащо поне три цифри, се дели на 4, ако числото, образувано от последните две цифри на това число, се дели на 4.
· Тест за делимост на 5.
Ако едно естествено число завършва на 0 или 5, то това число се дели на 5 без остатък.
· Тест за делимост на 7 (на 13).
Естественото число се дели на 7 (на 13), ако алгебричната сума на числата, образуващи лица от три цифри (започвайки с цифрата на единиците), взети със знака „+“ за нечетните лица и със знака „минус“ за четните лица, се дели на, ние съставяме алгебричната сума на лицата, започвайки от последното лице и редувайки знаците + и -: + 254 = 679. Числото 679 се дели на 7, което означава, че това число също се дели на 7 .
· Тест за делимост на 8.
Естествено число, съдържащо поне четири цифри, се дели на 8, ако числото, образувано от последните три цифри, се дели на 8.
· Тест за делимост на 9.
Ако сумата от цифрите на едно число се дели на 9, то самото число се дели на 9.
· Тест за делимост на 10.
Ако едно естествено число завършва на 0, то се дели на 10.
· Тест за делимост 11.
Едно естествено число се дели на 11, ако алгебричната сума на неговите цифри, взета със знак плюс, ако цифрите са на нечетни места (започвайки с цифрата на единиците), и взета със знак минус, ако цифрите са на четни места, е делимо на, 7 – 1 + 5 = 11, делимо на 11).
· Тест за делимост на 25.
Естествено число, съдържащо поне три цифри, се дели на 25, ако числото, образувано от последните две цифри на това число, се дели на 25.
· Тест за делимост на 125.
Естествено число, съдържащо поне четири числа, се дели на 125, ако числото, образувано от последните три цифри на това число, се дели на 125.
5. Любопитни свойства на естествените числа.
Естествените числа имат много интересни свойства, които се разкриват, когато върху тях се извършват аритметични операции. Но все пак е по-лесно да забележите тези свойства, отколкото да ги докажете. Нека ви представим няколко такива свойства.
1) Да вземем произволно някакво естествено число, например 6, и да запишем всичките му делители: 1, 2, 3,6. За всяко от тези числа запишете колко делителя има. Тъй като 1 има само един делител (самото число), 2 и 3 имат по два делителя, а 6 има 4 делителя, получаваме числата 1, 2, 2, 4. Те имат забележителна характеристика: ако повишите тези числа до куб и съберете отговорите, получавате точно същата сума, която бихме получили, като първо съберем тези числа и след това повдигнем сумата на квадрат, с други думи,
https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">
Изчисленията показват, че и отляво, и отдясно отговорът е един и същ, а именно 324.
Който и номер да вземем, свойството, което сме забелязали, ще бъде изпълнено. Но е доста трудно да се докаже това.
2) . Нека вземем произволно четирицифрено число, например 2519, и подредим цифрите му първо в низходящ ред, а след това във възходящ ред: и От по-голямото число извадете по-малкото: =8262. Нека направим същото с полученото число: 86=6354. И още една подобна стъпка: 65 = 3087. Следва = 8352, = 6174. Не ви ли писна да изваждате? Нека направим още една стъпка: =6174. Отново се оказа 6174.
Сега ние сме, както казват програмистите, „в цикъл“: без значение колко пъти изваждаме сега, няма да получим нищо друго освен 6174. Може би фактът е, че така е избран оригиналният номер 2519? Оказва се, че няма нищо общо с това: каквото и четирицифрено число да вземем, след не повече от седем стъпки определено ще получим същото число 6174.
3) . Нека начертаем няколко окръжности с общ център и във вътрешната окръжност напишем произволни четири естествени числа. За всяка двойка съседни числа извадете по-малкото от по-голямото и запишете резултата в следващия кръг. Оказва се, че ако повторите това достатъчно пъти, на един от кръговете всички числа ще бъдат равни на нула и следователно ще продължите да получавате нищо друго освен нули. Фигурата показва това за случая, когато числата 25, 17, 55, 47 са написани във вътрешния кръг.
4) . Да вземем произволно число (дори хилядоцифрено), записано в десетичната бройна система. Нека повдигнем на квадрат всичките му числа и ги съберем. Нека направим същото и със сумата. Оказва се, че след няколко стъпки получаваме или числото 1, след което няма да има други числа, или 4, след което имаме числата 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 и отново имаме get 4. Това означава, че и тук няма избягване на цикъл.
5. Нека създадем такава безкрайна маса. В първата колона ще запишем числата 4, 7, 10, 13, 16, ... (всяко следващо е с 3 повече от предишното). От числото 4 теглим линия надясно, като на всяка стъпка увеличаваме числата с 3. От числото 7 теглим линия, увеличавайки числата с 5, от числото 10 - със 7 и т.н. получено:
Ако вземете произволно число от тази таблица, умножите го по 2 и добавите 1 към продукта, винаги ще получите съставно число. Ако направим същото с число, което не е включено в тази таблица, ще получим просто число. Например, нека вземем числото 45 от таблицата 2*45+1=91 е съставно, то е равно на 7*13. Но числото 14 го няма в таблицата, а числото 2*14+1=29 е просто.
Този чудесен начин за разграничаване на прости числа от съставни числа е изобретен през 1934 г. от индийския студент Сундарам. Наблюденията на числата разкриват други забележителни твърдения. Свойствата на света на числата са наистина неизчерпаеми.
Номерни трикове.
https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">
В крайна сметка, ако до трицифрено число напишете отново същото число, тогава първоначалното число ще бъде умножено по 1001 (например 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">
И четирицифрените числа се повтарят веднъж и се делят на 73 137 в равенство
https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">
Имайте предвид, че кубчетата с числа 0, 1, 4, 5, 6 и 9 завършват с едно и също число (например https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24 " height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">
Освен това трябва да запомните следната таблица, показваща къде започват петите степени на следните числа:
https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Това означава, че трябва да добавите числото 3 към петцифреното число първоначално написано на дъската отпред и извадете 3 от полученото число.
За да попречите на публиката да отгатне трика, можете да намалите първата цифра на което и да е от числата с няколко единици и да намалите общо съответната цифра със същия брой единици. Например на фигурата първата цифра в третия член е намалена с 2, а съответната цифра в сумата със същата стойност.
Заключение.
След като събрах и обобщих материал за простите и съставните числа, стигнах до следното заключение:
1. Изучаването на числата датира от древни времена и има богата история.
2. Ролята на простите числа в математиката е голяма: те са градивните елементи, от които всички останали числа се изграждат чрез умножение.
3. Естествените числа имат много интересни свойства. Свойствата на света на числата са наистина неизчерпаеми.
4. Материалът, който подготвих, може безопасно да се използва в уроците по математика и в часовете на математическия кръг. Този материал ще ви помогне да се подготвите по-задълбочено за различни видове олимпиади.
Факти за числата. Това са прости числа и много други. Някои числа като Пи и редица други сме включили в отделни материали. Затова ви съветваме да ги прочетете и вие. Ето няколко забавни факти за числата, което вероятно ще представлява интерес за вас.
Факти за отрицателните числа
В наши дни отрицателните числа са известни на мнозина, но това не винаги е било така. Отрицателните числа са били използвани за първи път в Китай през 3 век, но те са били разрешени да се използват само в изключителни случаи, тъй като са били смятани за глупости. Малко по-късно в Индия започнаха да се използват отрицателни числа за обозначаване на дългове.
Така в произведението „Математика” в девет книги, публикувано през 179 г. сл. Хр. пр.н.е., по време на династията Хан и коментирана през 263 г. от Лиу Хуей, китайската система за броене на пръчки използва черни пръчици за отрицателни числа и червени за положителни числа. Също така, Лиу Хуей използва наклонени пръчици за броене, за да посочи отрицателни числа.
Знакът „-“, който сега се използва за обозначаване на отрицателни числа, е видян за първи път в древния ръкопис на Бакшали в Индия, но няма консенсус сред учените относно това кога е бил съставен, като разногласията варират от 200 г. до 600 г. сл. н. е. д.
Отрицателните числа вече са били известни в Индия през 630 г. сл. Хр. д. Те са използвани от математика Брахмагупта (598-668).
Отрицателните числа са използвани за първи път в Европа около 275 г. сл. Хр. Те са въведени в употреба от гръцкия математик Диофант от Александрия, но на Запад са смятани за абсурдни до появата на книгата „Ars Magna“ („Великото изкуство“), написана през 1545 г. от италианския математик Джироламо Кардано (1501 г. -1576).
Факти за прости числа
Числата 2 и 5 са единствените в поредица от прости числа, които завършват на 2 и 5.
Други факти за числата
Числото 18 е единственото число (освен 0), чиято сума от цифри е 2 пъти по-малка от себе си.
2520 е най-малкото число, което може да се дели без остатък на всички числа от 1 до 10.
Числото "пет" се произнася "ха" на тайландски. Следователно числото, съставено от три петици - 555, ще бъде произнесено като жаргонна фраза, обозначаваща човешки смях - "Ха, ха, ха".
Всички знаем, че съществуват палиндромни думи. Тоест тези, които могат да се четат отляво надясно и отдясно наляво и значението им не се променя. Съществуват обаче и палиндромни числа (палиндромони). Те представляват огледално число, което ще бъде прочетено и има еднаква стойност в двете посоки, например 1234321.
Думата Googol (произходът на марката Google) представлява числото 1, последвано от 100 нули.
Единственото число, което не може да бъде написано с римски цифри, е „нула“. Освен това в съвременната математика нулата има някои особености в тълкуването си. Така в руската математика не се класифицира като поредица от естествени числа, но в чуждестранната наука е така.
Простите числа са цели числа, по-големи от едно, които не могат да бъдат представени като произведение на две по-малки числа. Така че 6 не е просто число, защото може да бъде представено като произведение на 2x3, а 5 е просто число, защото единственият начин да го представим като произведение на две числа е 1x5 или 5x1. Ако имате няколко монети, но не можете да ги подредите всички в правоъгълна форма, а можете да ги подредите само в права линия, вашият брой монети е просто число.
Безкраен брой прости числа
Някои хора смятат, че простите числа не си струва да се изучават задълбочено, но те са фундаментални за математиката. Всяко число може да бъде представено по уникален начин като прости числа, умножени едно по друго. Това означава, че простите числа са "атоми на умножение", малки частици, от които може да се изгради нещо голямо.
Тъй като простите числа са градивните елементи на цели числа, които се получават чрез умножение, много задачи с цели числа могат да бъдат сведени до задачи с прости числа. По подобен начин някои проблеми в химията могат да бъдат решени с помощта на атомния състав на химичните елементи, включени в системата. По този начин, ако имаше краен брой прости числа, човек може просто да провери едно по едно на компютър. Оказва се обаче, че има безкраен брой прости числа, които в момента са слабо разбрани от математиците.
Гръцкият математик Евклид доказа, че има безкраен брой прости числа. Ако имате определен брой прости числа, като p1,...pn, можете да разгледате числото p1×...×pn + 1, което е с едно повече от всички прости числа, умножени едно по друго. Това число не може да бъде произведение на никакви числа p1,...pn от вашия списък, но определено е по-голямо от 1. Така че всички прости множители трябва да са прости числа, които не са във вашия списък. Като добавите нови прости числа към списъка си и повторите същите стъпки, винаги можете да намерите поне едно ново просто число. Следователно трябва да има безкраен брой прости числа.
История на проучванията
Никой не знае със сигурност в кое общество за първи път са били разгледани простите числа. Те са били изследвани толкова дълго, че учените нямат никакви записи от онези времена. Има предположения, че някои ранни цивилизации са имали някакво разбиране за простите числа, но първото истинско доказателство за това идва от египетски папирусни писания, направени преди повече от 3500 години.
Древните гърци най-вероятно са били първите, които са изучавали простите числа като предмет на научен интерес и са вярвали, че простите числа са важни за чисто абстрактната математика. Теоремата на Евклид все още се преподава в училищата, въпреки че е на повече от 2000 години.
След гърците през 17 век отново се обръща сериозно внимание на простите числа. Оттогава много известни математици са направили важен принос за нашето разбиране на простите числа. Пиер дьо Ферма направи много открития и е известен с последната теорема на Ферма, 350-годишна задача, включваща прости числа, решена от Андрю Уайлс през 1994 г. Леонхард Ойлер доказва много теореми през 18 век, а през 19 век големи пробиви са направени от Карл Фридрих Гаус, Пафнутий Чебишев и Бернхард Риман, особено по отношение на разпределението на простите числа. Всичко това кулминира във все още нерешената хипотеза на Риман, която често се нарича най-важният нерешен проблем в цялата математика. Хипотезата на Риман дава възможност много точно да се предвиди появата на прости числа и също така частично обяснява защо те са толкова трудни за математиците.
Практически приложения
Простите числа имат огромен брой приложения както в областта на математиката, така и извън нея. Простите числа се използват почти всеки ден в наши дни, въпреки че повечето хора не знаят за това. Простите числа са толкова важни за учените, защото те са атомите на умножението. Много абстрактни проблеми, свързани с умножението, биха могли да бъдат решени, ако хората знаеха повече за простите числа. Математиците често разбиват един проблем на няколко малки, а простите числа биха могли да помогнат с това, ако бяха по-добре разбрани.
Извън математиката основните употреби на простите числа включват компютри. Компютрите съхраняват всички данни като поредица от нули и единици, които могат да бъдат изразени като цяло число. Много компютърни програми умножават числа, свързани с данни. Това означава, че точно под повърхността лежат прости числа. Когато човек прави каквато и да е онлайн покупка, той се възползва от факта, че има начини за умножаване на числа, които са трудни за дешифриране от хакера, но лесни за купувача. Това работи поради факта, че простите числа нямат никакви специални характеристики - в противен случай нападателят може да получи информация за банкова карта.
Намиране на нови прости числа
Един от начините за намиране на прости числа е чрез компютърно търсене. Чрез многократна проверка дали дадено число е фактор 2, 3, 4 и т.н., човек може лесно да определи дали е просто. Ако не е множител на по-малко число, той е прост. Това всъщност е много отнемащ време начин да разберете дали едно число е просто. Има обаче по-ефективни начини да се определи това. Ефективността на тези алгоритми за всяко число е резултат от теоретичен пробив през 2002 г.
Има доста прости числа, така че ако вземете голямо число и добавите едно към него, можете да се натъкнете на просто число. Всъщност много компютърни програми разчитат на факта, че простите числа не са твърде трудни за намиране. Това означава, че ако изберете произволно число от 100 цифри, вашият компютър ще намери по-голямото просто число за няколко секунди. Тъй като има повече 100-цифрени прости числа, отколкото има атоми във Вселената, вероятно никой няма да знае със сигурност, че едно число е просто.
Обикновено математиците не търсят отделни прости числа на компютър, но се интересуват много от прости числа със специални свойства. Има два известни проблема: дали има безкраен брой прости числа, които са с единица по-големи от квадрата (например това има значение в теорията на групите) и дали има безкраен брой двойки прости числа, които се различават едно от друго от 2.
Тайните на простите числа
Въпреки факта, че простите числа се изучават повече от три хилядолетия и имат просто описание, изненадващо малко все още се знае за простите числа. Например математиците знаят, че единствените двойки прости числа, които се различават с единица, са 2 и 3. Въпреки това не е известно дали има безкраен брой двойки прости числа, които се различават с 2. Предполага се, че има, но това все още не е доказано. Това е проблем, който може да бъде обяснен на дете в училищна възраст, но най-великите математически умове си блъскат главата повече от 100 години.
Много от най-интересните въпроси относно простите числа, както от практическа, така и от теоретична гледна точка, включват колко прости числа имат какво свойство. Отговорът на най-простия въпрос - колко прости числа има с определен размер - теоретично може да бъде получен чрез решаване на хипотезата на Риман. Допълнителен стимул за доказване на хипотезата на Риман е наградата от 1 милион долара, предложена от Института по математика Клей, както и почетно място сред най-изтъкнатите математици на всички времена.
Вече има добри начини да познаете какъв ще бъде правилният отговор на много от тези въпроси. В момента предположенията на математиците преминават всички числени експерименти и има теоретични основания да се разчита на тях. Въпреки това, за чистата математика и работата на компютърните алгоритми е изключително важно тези предположения действително да са верни. Математиците могат да бъдат напълно доволни само от неоспорими доказателства.
Най-голямото предизвикателство за практическо приложение е трудността да се намерят всички прости множители на число. Ако вземете числото 15, можете бързо да определите, че 15=5x3. Но ако вземете 1000-цифрено число, изчисляването на всички негови прости множители ще отнеме дори на най-мощния суперкомпютър в света повече от милиард години. Интернет сигурността до голяма степен зависи от сложността на подобни изчисления, така че е важно за сигурността на комуникациите да се знае, че някой не може просто да измисли бърз начин за намиране на прости множители.
Съвременни изследвания
Въпреки че тази тема е стара и е засягала много известни математици в историята, тя все още е актуална. Учените не знаят дали има безкраен брой двойки прости числа като 3 и 5, които се различават с 2. Това е известен нерешен проблем. Математикът Итън Джанг направи голям пробив по отношение на този проблем. В началото на 2013 г. учените не знаеха дали има безкраен брой двойки прости числа в рамките на 1 квинтилион едно от друго или за всяко число над 1 квинтилион, независимо от неговата величина. Благодарение на теоретичните разработки, базирани на работата на Джан, математиците знаят, че има безкраен брой прости числа, които се различават едно от друго с не повече от 246. Числото 246 е много по-голямо от две, но е забележимо по-малко от безкрайността.
Вместо да търсите прости числа, които са наблизо, можете да търсите тези, които са далеч едно от друго на числовата ос. Забележителен теоретичен пробив в този проблем беше направен за първи път от повече от 75 години в началото на 2014 г., когато изследователи от Оксфордския институт по математика решиха един от проблемите на Erdős. Другите две интересни решения на проблемите на Erdős, включващи прости числа, бяха направени от Bob Hough и Terence Tao, чиято работа се основава на друг пробив, направен от Kaisa Matomaki и Maxime Rajwill през 2014 г. Харалд Гелфгот и Дейвид Плат най-накрая доказаха слабата хипотеза на Голдбах, кулминирайки сто години на различни открития. Математиците са свикнали да чакат десет години, за да постигнат голям резултат в областта на простите числа, но този път са получили половин дузина такива резултати през последните три години.
Прости числа в бъдещето
Сега е невъзможно да се каже как простите числа ще се използват в бъдеще. Чистата математика (като изучаването на прости числа) многократно е намирала приложения, които може да са изглеждали напълно невероятни, когато теорията е била разработена за първи път. Отново и отново идеи, които бяха възприемани като мода от академичен интерес, неподходящи за реалния свят, се оказаха изненадващо полезни за науката и технологиите. Годфри Харолд Харди, известен математик от началото на 20 век, твърди, че простите числа нямат реална полза. Четиридесет години по-късно беше открит потенциалът на простите числа за компютърна комуникация и сега те са жизненоважни за ежедневната употреба на Интернет.
Тъй като простите числа са в основата на проблемите, свързани с цели числа, а целите числа се срещат постоянно в реалния живот, простите числа ще имат широко приложение в света на бъдещето. Това е особено вярно, тъй като интернет прониква в живота и технологиите, а компютрите играят по-голяма роля от всякога.
Смята се, че някои аспекти на теорията на числата и простите числа далеч надхвърлят обхвата на науката и компютрите. В музиката простите числа обясняват защо някои сложни ритмични модели отнемат много време, за да се повторят. Това понякога се използва в съвременната класическа музика за постигане на специфичен звуков ефект. Последователността на Фибоначи се среща редовно в природата и се предполага, че цикадите са еволюирали да спят зимен сън за прост брой години, за да получат еволюционно предимство. Предполага се също, че предаването на прости числа по радиовълни би било най-добрият начин да се опитате да комуникирате с извънземни форми на живот, тъй като простите числа са напълно независими от каквато и да е езикова концепция, но са достатъчно сложни, за да не могат да бъдат объркани с резултата от нещо в чиста форма физически естествен процес.
Общинско бюджетно учебно заведение
град Абакан
"Средно училище № 19"
Математика
Простите числа са лесни
Лисова
Елмира,
6 Б клас
Ръководител:
Биковская
Ирина Сергеевна,
учител по математика
КОД __________________________
Математика
ПРОСТИТЕ ЧИСЛА СА ПРОСТИ
СЪДЪРЖАНИЕ:
Въведение
Глава 1 . прости числа
1.1. Дефиниция на просто число.
1.2. Безкрайност на поредица от прости числа.
1.3. Най-голямото просто число.
1.4. Методи за определяне (търсене) на прости числа.
Глава 2. Приложение на теорията на простите числа
2.1. Примери за някои твърдения на теорията на простите числа от известни съветски учени.
2.2.Примери за редица задачи от теорията на простите числа.
2.3. Приложни задачи (№1, №2)
2.4. Задачи по прилагането на законите на простите числа (№ 3, № 4)
2.5. Магически квадрати.
2.6.Приложение на закона за простите числа в различни области
Заключение
Приложение
„Има хармония в света,
и тази хармония се изразява в числа"
Питагор.
ВЪВЕДЕНИЕ
Математиката е невероятна. Наистина, някой виждал ли е число със собствените си очи (не три дървета и не три ябълки, а самото число 3). От една страна числото е напълно абстрактно понятие. Но, от друга страна, всичко, което се случва в света, може да бъде измерено в една или друга степен и следователно представено в числа
В часовете по математика, докато изучавах темата „Прости и съставни числа“, се заинтересувах от простите числа, историята на тяхното възникване и методите за получаването им. Обърнах се към библиотеката и интернет, откъдето закупих необходимата литература. След като го проучих обстойно, разбрах, че има много интересна информация за простите числа. Простите числа, които бяха въведени преди около две хиляди и половина години, намериха неочаквани практически приложения едва наскоро. Разбрах, че съществуватЗаконите на простите числа се изразяват чрез формула, но има редица проблеми в теорията на числата.Въпреки факта, че сега живеем в ерата на компютрите и най-модерните информационни програми, много загадки на простите числа все още не са разгадани, има дори такива, към които учените не знаят как да подходят.Познаването на отворените закони дава възможност да се създават качествено нови решения в много области, които представляват интерес както за учените, така и за обикновените граждани. Темата също ме заинтригува.Обект изследването е чисто абстрактно понятие –просто число . Предмет Изучаването на простите числа се основава на: теорията на простите числа, методите за определянето им, интересни открития в тази област и тяхното приложение за практически цели.
ПредназначениеМоята работа е да разширя разбирането за простите числа. Решен следните задачи:
да се запознаят с историята на развитието на теорията на простите числа,
формирайте обща представа за това как да намерите прости числа,
научете интересни постижения на съветски учени в областта на теорията на простите числа,
разгледайте някои проблеми в теорията на простите числа,
да се запознаят с приложението на теорията на простите числа в различни области,
разбират принципа за изолиране на простите числа от естествената редица по метода „Ситото на Ератостен” до 100; 1000,
изучаване на използването на прости числа в задачи.
аз ПРОСТИ ЧИСЛА
Концепция за прости числа
Простите числа са едно от чудесата на математиците.Едно, две, три... С тези думи навлизаме в страната на числата, тя няма граници. Привидно плоски, близки числа, при по-близко запознаване с тях ни изгарят с вътрешната си топлина и придобиват дълбочина.
Ние сме запознати с разлагането на числа от началното училище. Когато намирате общ знаменател, трябва да разложите знаменателите на термините. Разлагането на множители е необходимо при намаляване на дроби. Едно от основните твърдения на аритметиката е, че всяко естествено число може да бъде разложено на множители по уникален начин.
72 = 2x2x2x3x3
1001 = 7 x 11 x 13
Разлагането на числата на прости множители показва, че всяко число е или просто, или произведение на две или повече прости числа. Следователно можем да кажем, че простите числа са съставните елементи на естествените числа, като тухли, от които чрез действието на умножението се правят всички цели числа.
Простото число е естествено число, което има само два различни делителя (самото число и 1).
Някои интересни факти.
Номер 1не е нито просто число, нито съставно число.
Единственото четно число, което попада в групата на „простите числа“, е двойка.Всяко друго четно число просто не може да стигне до тук, тъй като по дефиниция, освен на себе си и на единица, то се дели и на две.
Простите числа не се появяват произволно в естествената серия, както може да изглежда на пръв поглед. След като ги анализирате внимателно, можете веднага да забележите няколко характеристики, най-интереснитечисла - "близнаци" - прости числа, чиято разлика е 2.Наричат се така, защото са били един до друг, разделени само от четно число (пет и седем, седемнадесет и деветнадесет). Ако ги разгледате внимателно, ще забележите, че сборът на тези числа винаги е кратен на три.Двойките близнаци с общ елемент образуват двойки прости числа - „близнаци“ (три и пет, пети седем).
Безкрайност на поредица от прости числа.
Неправилното разпределение на простите числа сред всички естествени числа отдавна е поразително. Беше забелязано, че докато преминаваме от малко число към по-голямо, простите числа се появяват все по-рядко в естествената серия. И така, един от първите въпроси беше: Има ли последно просто число, тоест има ли край редицата от прости числа?Около 300 г. пр. н. е. известният древногръцки математик Евклид дава отрицателен отговор на този въпрос. Той доказа, че зад всяко просто число стои още по-голямо просто число, тоест има безкраен брой прости числа.
Най-старото известно доказателство за този факт е дадено в "" (Книга IX, твърдение 20).
Нека си представим, че броят на простите числа е краен. Нека ги умножим и добавим едно. Полученото число не се дели на нито едно от крайния набор прости числа, тъй като остатъкът от деленето на някое от тях дава единица. Това означава, че числото трябва да се дели на някакво просто число, което не е включено в този набор.
Така че не можем да приемем, че поредицата от прости числа е крайна: това предположение води до противоречие. По този начин, без значение колко дълга поредица от съставни числа срещаме в поредицата от естествени числа, можем да бъдем убедени, че зад нея стои безкрайно по-голямо число.
Математиците предлагат и други доказателства.
1.3.Най-голямото просто число.
Едно е да сте сигурни, че има големи прости числа, но друго е да знаете кои числа са прости. Колкото по-голямо е естественото число, толкова повече изчисления трябва да се направят, за да се установи дали е просто или не.
Отдавна се водят записи за най-големите прости числа, известни по това време. Един от рекордите е поставен от Ойлер през 18 век, той е намерил просто число 2147483647.
Най-голямото известно просто число номер на записакъм юни 2009 г. е 2 на степен 43112609 – 1(отворен Купър от Университета на Централен Мисури в САЩ A).Съдържа 12 978 189 и е проста. Благодарение на този учен простите числа на Мерсен отдавна държат рекорда като най-големите известни прости числа. За идентифицирането им бяха необходими 75 мощни компютъра.
Числа на формуляра: 2 на степен n минус 1
, където n също е просто число, принадлежат към числата на Мерсен. През 2013 г. Купър направи ново математическо откритие. Той успя да намери най-дългото просто число в света. Написано е както следва -2 на степен 57885161 - 1.
Числото съдържа повече от 17 милиона цифри. За да го отпечатате на хартия ще ви трябват повече от 13 хиляди страници А4.
Сега новият рекорд в класа на простите числа на Мерсен се записва като2 на степен 57885161 - 1
, съдържа 17425170
числа Откритието на новия рекордьор донесе на Купър парична награда от 3 хиляди долара
Electronic Frontier Foundation също обещава да награди 150 и 250 хиляди щатски долара на хора, които представят на света прости числа, състоящи се от 100 милиона и милиард знака
Методи за определяне (търсене) на прости числа.
а) Решето на Ератостен.
Има различни начини за намиране на прости числа. Първият човек, който се зае с проблема за „записване на прости числа от набор от естествени числа“, беше великият древногръцки математик Ератостен, живял преди почти 2300 години. Той измисли този метод: записа всички числа от едно до някакво число и след това задраска едно, което не е нито просто, нито съставно число, след това задраска през едно всички числа, идващи след 2 (числа, които са кратни на две, т.е. 4,6,8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа, идващи след три (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.), бяха зачеркнати; накрая само простите числа останаха незадраскани аут : 2, 3, 5, 7, 11, 13,….
Така Ератостен изобретява метод, чрез който е възможно да се отсеят всички прости числа от 1 до някакво конкретно число чрез изолиране на всички кратни на всяко просто число. Този метод се нарича „ситото на Ератостен“. - най-простият начин за намиране на първоначален списък от прости числа до определена стойност.
Гърците правеха бележки върху покрити с восък таблетки или върху папирус, а числата не бяха зачеркнати, а избучени с игла, тогава таблицата в края на изчисленията приличаше на сито.
Възможно ли е да разпознаете простото число, както се казва, от пръв поглед? Ако съберете много числа в сито наведнъж, простото сред тях ще блести ли като самородно злато? Някои хора мислят така. Например числата, завършващи на 1, често са тези, които търсите, като 11, 31, 41. Трябва обаче да внимавате да не объркате фалшивото злато с чисто злато, като например 21 или 81. Тъй като числата нарастват по размер, единицата в края все повече ни подвежда. Изглежда дори, че простите числа просто изчезват в крайна сметка, както са вярвали някои древни гърци.
б) Съставяне на таблици по метода „Ситото на Ератостен”.
а) Ситото на Ератостен като теоретичен изследователски метод в теорията на числата е въведено през 1920 г. от норвежкия математик В. Брун. Използвайки този метод, учените съставиха таблици с прости числа между 1 и 12 000 000
Истинският герой в съставянето на таблица на простите числа е Якуб Филип Кулик (1793-1863), професор в Чешкия университет в Прага.
Той, без да планира да отпечата работата си, състави таблица на делителите на числата първите сто милиона, по-точно цифри до 100 320 201, и го постави в библиотеката на Виенската академия на науките за ползване от работещите в тази област.
В часовете по математика използваме таблицата, дадена на форзаца на учебника в рамките на 1000.
в) Съставяне на таблици с помощта на компютърна техника
Въвеждането на компютърните технологии в теоретичната и приложната математика значително улесни решаването на проблеми, свързани с трудоемки изчисления.
Паметта на достатъчно сложни компютри може да съхранява таблични данни с всякакъв размер, но персоналните калкулатори все още нямат такива възможности. Следователно математиците продължават да работят върху проблемите на съставянето на компактни и удобни таблици, предназначени по-специално за анализ на числа.
Използването на компютри за тази цел направи възможно да се направи много значителна крачка напред. Например, съвременна таблица с числа, за съставянето на която е включена компютърна технология, покрива числата до 10 000 000. Това е доста обемна книга.
На практика, вместо да получите списък с прости числа, често искате да проверите дали дадено число е просто. Алгоритмите, които решават този проблем, се наричат .
Използването на специализирани алгоритми за определяне на простотата на число (числото просто ли е?) ви позволява да търсите просто число в рамките на зададените граници на естествената числова серия.
д) Откритие на века – Законът за простите числа
Още в древни времена учените се интересуват от въпроса по какъв закон са подредени простите числа в естествената серия. Руският питагорец Владимир Хренов предизвика шок в научния свят с откритието си на Закона за простите числа. Този закон не само връща математиката в правилния път, но и обяснява много закони на природата от гледна точка на истинското познание за света.руски гений,Владимир Хреновнаправи научно откритие , което преобръща съществуващото разбиране за време и пространство , Каквопростите числа не са хаос.
Простите числа се получават по формулата: „6X плюс или минус 1“, където X е всяко естествено число.
13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;
Откритието е направено на 30 април 2000 г. Беше юбилейният Великден от Възкресение Христово. Знаменателна дата. На този ден беше разкрит истинският модел на реалното пространство и време. На 7 януари 2001 г. е описан законът за простите числа, а с него и моделите на образуване на всички числа в естествената редица. И така, след откриването на закона за простите числа, стана ясно, че eмерна единица – стандарт на пространството,шест - стандартът на времето и заедно двата стандарта на пространството и времето създават цялото многообразие на природата и са вечната първопричина за всичко. Сега, след откриването на Закона за простите числа, стана ясно, че те формират научната основа за магията на числото 7.Този закон не само има колосален мироглед, но позволява създаването на технологии за информационна сигурност от ново поколение, базирани на тази теория.За да създадете ново, имате нужда от ново просто число. Ето защо на математиците, които са го открили, се плащат толкова огромни суми.
ПРИЛАГАНЕ НА ТЕОРИЯТА ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА
Примери за някои твърдения на теорията на простите числа от известни съветски учени по теория на простите числа.
Въпреки че са изминали повече от две хиляди години от Евклид, нищо ново не е добавено към неговата теория. Простите числа в естествената серия са подредени изключително причудливо. Има обаче огромен брой гатанки, свързани с прости числа.
Големите постижения в областта на изучаването на простите числа принадлежат на руските и съветските математици. Интересуваха ме простите и същевременно невероятни твърдения, доказани от известни съветски учени в тази област. Разгледах ги и дадох редица примери, потвърждаващи истинността на твърденията.
П. Л. Чебишев (1821-1894)доказано че между всяко естествено число, по-голямо от 1, и число, двойно по-голямо от него, винаги има поне едно просто число.
Разгледайте следните двойки прости числа, които отговарят на това условие.
Примери:
и 4 е простото число 3.
и 6 е простото число 5.
10 и 20 са прости числа 11; 13; 17; 19.
5 и 10 са простото число 7.
7 и 14 са прости числа 11; 13.
11 и 22 са прости числа 13; 17; 19.
Заключение: Наистина, между всяко естествено число, по-голямо от 1, и число, два пъти по-голямо от него, има поне едно просто число.
Крисчън Голдбек,член на Академията на науките в Санкт Петербург, преди почти 250 години, предложи това Всяко нечетно число, по-голямо от 5, може да бъде представено като сбор от три прости числа.
Примери:
21 = 3 + 7 + 11,
37 = 17 + 13 + 7,
23= 5 + 7 + 11,
29= 11 + 13 + 5,
Виноградов IM. (1891-1983),Съветският математик доказва това предложение едва 200 години по-късно.
7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,
9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.
Но изявлението « Всяко чисто четно число, по-голямо от 2, може да бъде представено като сбор от две прости числа » все още не е доказано .
Примери:
28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,
56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.
2.2 Примери за редица задачи в теорията на простите числа.
Проблемът за липсата на закономерности в разпределението на простите числа е занимавал умовете на човечеството от времето на древногръцките математици. Благодарение на Евклид знаем, че има безкрайно много прости числа. Ерастофен и Сундарам предлагат първите алгоритми за тестване на числата за първичност. Ойлер, Ферма, Лежандр и много други известни математици са се опитвали и все още се опитват да разрешат загадката на простите числа. Към днешна дата са открити и предложени много елегантни алгоритми и модели, но всички те са приложими само за крайна серия от прости числа или прости числа от специален тип. За доказателство се счита авангардът на науката в изследването на прости числа в безкрайност. Тя влиза , за чието доказателство или опровержение Математическият институт Клей е предложил награда от 1 000 000 $.
Най-известните задачи с прости числа са изброени на петата. Днес учените говорят за 23 проблема.
Успях да разгледам 4 от тях, като дадох няколко примера за всеки проблем.
Първият проблем на Ландау (проблемът на Голдбах):
докажете или опровергайте:
Всяко четно число, по-голямо от 2, може да бъде представено като сбор от две прости числа, а всяко нечетно число, по-голямо от 5, може да бъде представено като сбор от три прости числа.
Примери :
8 = 3+5,
12 = 5+7,
16=13 +3, 17= 11+3+3,
24=19+5, 21=11+7+3
50 = 13+37
Вторият проблем на Ландау (проблемът на Голдбах):
Има ли безкраен набор от „прости близнаци“ - прости числа, чиято разлика е 2?
а) Определих следните числа „близнаци“:
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
б). Двойките близнаци са съставени от близнаци, които споделят общ елемент. Успях да намеря следните двойки близнаци - „двойници“
Решение:
(3, 5) и (5, 7);
Известно е, че има безкраен брой прости числа. Но никой не знае, разбира се, или безкрайно много двойки близнаци.
Третият проблем на Ландау (предположение)
Вярно ли е, че между числата на форматаn2 и (n + 1)2Винаги ли има просто число?(n – нечетно число)
Решение:
а) когато n =3, получаваме 6 и 8, между тях има просто число 7.
б) когато n =5, получаваме 10 и 12, между тях има просто число 11.
в) при n =9, получаваме 18 и 20, с простото число 19 между тях.
4. Четвъртият проблем на Ландау:
Има ли безкраен набор от прости числа от формата n2 + 1?
Решение:
при n =1, тогава имаме 3; когато n =2, тогава имаме 5; с n =3, тогава имаме 7
при n =5, тогава имаме 11, с n =6 тогава имаме 13; когато n = 8, тогава имаме 17 и т.н.
2.3. Приложни задачи
Задача 1. Използване на ситото на Ератостенопредели колко прости числае от 1 до 100.
Решение:
За целта ще запишем всички числа от 1 до 100. .
Ще задраскаме числата, които не са прости. Нека задраскаме 1, тъй като не е просто число. Първото просто число е 2.
Нека го подчертаем и задраскаме всички числа, кратни на 2, тоест числата 4, 6, 8... 100, следващото просто число е 3. Нека го подчертаем и задраскаме числата, кратни на 3 които не са зачеркнати, т.е. числата 9? 15, 21...99. След това подчертаваме простото число 5 и задраскваме всички числа, кратни на 5. Числата са 25...95. И така нататък, докато остане едно просто число, 97.
Заключение:Между 1 и 100 има 25прости числа, тоест числата 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Приложение 1)
Задача 2. За да получите списък с прости числа, по-малки от 1000, трябва да „отсеете“ числата, които се делят на 2, 3, 5, 7, 11... На кое число можете да се спрете?
Решение:
Използвайки метода на Ератостен, аз извърших подобно
работа върху отсяването на съставни числа до 1000.
Заключение: за да получите прости числа до 1000, можете да спрете на простото число 31 (задраскайте числата, кратни на 31). (Приложение 2)
2.4.Задачи по прилагане на законите на простите числа
Задача 3. Как да използваме две проверки, за да покажем, че числото 19 е просто?
Решението е представено в приложение 3.
Задача 4. Как да използваме три проверки, за да покажем, че числото 47 е просто?
Решението е представено в Приложение 4.
2.5 Магически квадрати.
Много интересни математически задачи са посветени на простите числа при използването на квадратни матрици - магически квадрати, при които сумирането на елементи във всеки ред, всяка колона и два главни диагонала дава едно и също число.
Първият от тях е изобретен от Хенри Ърнест Дюдни, известен английски специалист по пъзели.
Има ли магически квадрати, съставени само от прости числа? Оказва се, че да.
Изучавах магически квадрати с размери 3x3, 4x4, 6x6. Определих сумата по всеки ред, всяка колона и всеки главен диагонал на всеки от тези квадрати. Решението е представено в Приложение 5.
по всеки ред, всяка колона и всеки основен диагонал. Давам примери за квадрати с матрица 3х3, 4х4, 6х6.
1
67
43
37
13
61
73
31
7
3
61
19
37
43
31
5
41
7
11
73
29
67
17
23
13
3
1
3
9
9
1
9
8
3
9
2
9
1
6
4
3
1
2
5
1
7
4
7
1
7
1
5
9
7
1
9
3
7
3
3
9
Заключение:
1. Магически квадрат 1 с размер 3x3 има сбор от 111 (между другото, също не е просто число)
2. Има ли сбор магически квадрат 2 с размер 4x4?
3. Има ли сбор магически квадрат 3 с размер 6x6?
3.4. Приложение на закона за простите числа в различни области.
Простите числа са не само обект на внимателно разглеждане от математиците по целия свят, но отдавна се използват успешно при компилирането на различни серии от числа, което е основата, наред с други неща, за криптографията.Познаването на законите направи възможно предоставянето на такива патентовани технически решения за защита на предаването на информация, които се смятаха за просто невъзможни на съществуващата математическа основа.Простите числа са необходими за създаване на шифри. Рано или късно всеки код се разсекретява.
Тук учените се обръщат към един от най-важните раздели информатика - до криптография. Ако е толкова трудно да се намери следващото просто число, тогава къде и за какво могат да се използват тези числа на практика? Най-честата употреба на прости числа е в криптографията (шифроване на данни). Най-сигурните и трудни за дешифриране криптографски методи се основават на използването на прости числа с повече от триста цифри.
Опитах се да илюстрирам проблема, с който се сблъсква дешифраторът, когато дешифрира определена парола. Да кажем, че паролата е един от делителите на съставно число, а дешифраторът е лице. Да вземем число от първата десетка, например 8. Всеки (надявам се) човек може да разложи наум числото 8 на прости множители - 8 = 2*2*2. Нека усложним задачата: да вземем число от първата стотица, например 111. В този случай 111 бързо ще бъде разложено на множители в съзнанието им от хора, които знаят признаците за делимост на числото на 3 (ако сумата от цифри на едно число е кратно на 3, то това число се дели на 3), и наистина - 111=3*37. За да усложним задачата, нека вземем число от първата хиляда, например 1207. Човек (без използването на машинна обработка) ще се нуждае най-малко от хартия и химикал, за да се опита да раздели числото 1207 на „всички“ простите числа пред него. И само като последователно преминете през разделянето на 1207 на всички прости числа от 2 до 17 души, накрая ще получите втория цял делител на това число - 71. Въпреки това, 71 също трябва да се провери за простота.
Става ясно, че с увеличаване на битовата дълбочина на числата, например петцифрено число - 10001, разлагането (в нашия пример декриптиране на парола) без машинна обработка ще отнеме много време. Сегашният етап на развитие на компютърните технологии (достъпен за обикновения потребител) позволява числата, състоящи се от шестдесет цифри, да бъдат разложени за няколко секунди.
Помислете колко живота трябва да живее човек, за да разложи дадено число на прости множители без помощта на машини!
Само днес ! Именно с тяхна помощ учените откриват все повече нови,, прости числа.
Научих, че познаването на отворените закони ще ми позволи да създавам качествено нови решения в следните области:
Изключително сигурна операционна система за банки и корпорации.
Система за борба с фалшиви продукти и фалшиви банкноти.
Система за дистанционна идентификация и борба с кражбите на автомобили.
Система за борба с разпространението на компютърни вируси.
Компютри от ново поколение, базирани на нелинейната бройна система на природата.
Математическо и биологично обосноваване на теорията за хармонията на възприятията.
Математически апарат за нанотехнологии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Докато работех по тази тема, успях да разширя разбирането си за простите числа в следните области:
Проучих интересни аспекти от развитието на теорията на простите числа, запознах се с новите постижения на учените, достъпни за моето разбиране в тази област и нейното практическо приложение,
формира обща представа за намирането на прости числа, усвои принципа за изолиране на прости числа от естествената серия с помощта на метода „Ситето на Ератостен“ до 100; 1000,
учи приложението на теорията на простите числа в проблеми,
се запознаха с приложението на теорията на простите числа в различни области.
Докато пиша работата, успях да овладея два начина за получаване на поредица от прости числа:
практически метод - пресяване (сито на Ератостен),
аналитичен метод – работа с формула (закон за простите числа).
Като част от проучването:
независимо провери редица математически твърдения чрез заместване на стойности, получаване на правилните математически изрази,
идентифицира поредица от числа „Двойни“ и „Близнаци“,
компилира редица числови изрази, посочени в проблемите на Ландау,
Проверих, че квадратите с матрица 3x3, 4x4, 6x6 са магия,
реши два проблема по два начина, използвайки закона за простите числа и твърдения.
В процеса на работа по темата се убедих, че простите числа си остават създания, които винаги са готови да се изплъзнат на изследователя. Простите числа са „суровият материал“, от който се формира аритметиката, и има неограничен запас от този материал.
Започнах да се интересувам от специалисти в областта на криптографията, които напоследък са много търсени в тайни организации. Те са тези, които намират все повече и повече големи прости числа, за да актуализират постоянно списъка с възможни ключове и да се опитват да идентифицират все повече и повече нови модели в разпределението на простите числа. Простите числа и криптографията са моята следваща тема в изучаването на теорията на простите числа.
Мисля, че е работаможе да се използва в извънкласни дейности, в извънкласни дейности за ученици от 6-7 клас, като допълнителен материал за уроците по математика в 6 клас при изготвяне на доклади по темата. Изследователската тема е много интересна, актуална, няма граници на изучаване и трябва да предизвика широк интерес сред студентите.
Библиография
// . - 1975. - № 5. - С. 5-13.
Н. Карпушина. // . - 2010. - № 5.
Enrique Gracian - "Прости числа. Дългият път към безкрайността" поредица "Светът на математиката" том 3 De Agostini 148p, 2014
- Рене Декарт: кратка биография и принос към науката
- Какво е знание? Видове знания. Знанието е живот! Без необходимите знания е невъзможно да оцелееш навсякъде.
- Книги за магия: отваряне на завесата на тайните
- Тълкуване на сънища: защо сънувате кученце, да видите кученце насън, какво означава кученце насън?