Bosh sonlar tarixi. Raqamlarning haqiqiy hikoyasi

Tub sonlarning xossalari birinchi marta Qadimgi Yunoniston matematiklari tomonidan o'rganilgan. Pifagor maktabi matematiklari (miloddan avvalgi 500 - 300 yillar) birinchi navbatda tub sonlarning mistik va numerologik xususiyatlari bilan qiziqdilar. Ular birinchi bo'lib mukammal va do'stona raqamlar haqida g'oyalarni o'ylab topdilar.

Mukammal son o'ziga teng bo'luvchilar yig'indisiga ega. Masalan, 6 sonining to'g'ri bo'luvchilari 1, 2 va 3. 1 + 2 + 3 = 6. 28 sonining bo'luvchilari 1, 2, 4, 7 va 14. Bundan tashqari, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Agar bir raqamning to'g'ri bo'luvchilari yig'indisi boshqasiga teng bo'lsa va aksincha - masalan, 220 va 284. Biz mukammal son o'ziga do'stona deb aytishimiz mumkin.

Miloddan avvalgi 300 yilda Evklid elementlari davriga kelib. Bosh sonlar haqida bir qancha muhim faktlar allaqachon isbotlangan. Evklid "Elementlarning IX" kitobida cheksiz son tub sonlar mavjudligini isbotladi. Aytgancha, bu isbotni qarama-qarshilik bilan ishlatishning birinchi misollaridan biridir. U, shuningdek, arifmetikaning asosiy teoremasini isbotlaydi - har bir butun son tub sonlarning ko'paytmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin.

U shuningdek, agar 2n-1 soni tub bo'lsa, 2n-1 * (2n-1) soni mukammal bo'lishini ko'rsatdi. Boshqa bir matematik Eyler 1747 yilda barcha hatto mukammal sonlarni ham shu shaklda yozish mumkinligini ko'rsata oldi. Bugungi kunga qadar toq mukammal raqamlar mavjudligi noma'lum.

Miloddan avvalgi 200-yillarda. Yunon Eratosthenes Eratosthenes elak deb nomlangan tub sonlarni topish uchun algoritm bilan keldi.

Va keyin o'rta asrlar bilan bog'liq tub sonlarni o'rganish tarixida katta tanaffus yuz berdi.

Quyidagi kashfiyotlar 17-asrning boshlarida matematik Fermat tomonidan qilingan. U Albert Jirardning 4n+1 ko'rinishdagi har qanday tub sonni ikkita kvadrat yig'indisi sifatida yagona tarzda yozish mumkin degan farazini isbotladi, shuningdek, har qanday sonni to'rt kvadratning yig'indisi sifatida yozish mumkinligi haqidagi teoremani shakllantirdi.

U katta sonlarni faktoring qilishning yangi usulini ishlab chiqdi va uni 2027651281 = 44021 raqamida ko'rsatdi? 46061. Fermaning kichik teoremasini ham isbotladi: agar p tub son bo'lsa, u holda har qanday a butun soni uchun a p = modul p ekanligi to'g'ri bo'ladi.

Ushbu bayonot "xitoycha taxmin" deb atalgan narsaning yarmini isbotlaydi va 2000 yil oldin paydo bo'lgan: n butun soni 2 n -2 n ga bo'linadigan bo'lsa, tub son hisoblanadi. Gipotezaning ikkinchi qismi noto'g'ri bo'lib chiqdi - masalan, 2 341 - 2 341 ga bo'linadi, garchi 341 soni kompozit bo'lsa: 341 = 31? o'n bir.

Fermatning kichik teoremasi raqamlar nazariyasidagi ko'plab boshqa natijalar va raqamlar tub sonlar ekanligini tekshirish usullari uchun asos bo'lib xizmat qildi - ularning aksariyati bugungi kunda ham qo'llaniladi.

Fermat o'z zamondoshlari bilan, ayniqsa Maren Mersenne ismli rohib bilan ko'p yozishgan. Maktublaridan birida u 2 n +1 ko'rinishdagi raqamlar, agar n ikkining darajasi bo'lsa, har doim tub bo'ladi, deb faraz qilgan. U buni n = 1, 2, 4, 8 va 16 uchun sinab ko'rdi va n ikkining darajasi bo'lmagan holda, sonning tub bo'lishi shart emasligiga ishonch hosil qildi. Bu raqamlar Ferma raqamlari deb ataladi va faqat 100 yildan keyin Eyler keyingi son 2 32 + 1 = 4294967297 641 ga bo'linishini va shuning uchun tub son emasligini ko'rsatdi.

2 n - 1 ko'rinishdagi raqamlar ham tadqiqot mavzusi bo'ldi, chunki agar n kompozit bo'lsa, unda sonning o'zi ham kompozit ekanligini ko'rsatish oson. Bu raqamlar Mersen raqamlari deb ataladi, chunki u ularni har tomonlama o'rgangan.

Lekin 2 n - 1 ko'rinishdagi barcha sonlar ham tub sonlar emas. Masalan, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Bu birinchi marta 1536 yilda kashf etilgan.

Ko'p yillar davomida bunday raqamlar matematiklarga ma'lum bo'lgan eng katta tub sonlarni taqdim etdi. M 19 ni 1588 yilda Kataldi isbotlagan va Eyler M 31 ning ham tub son ekanligini isbotlamaguncha, 200 yil davomida ma'lum bo'lgan eng katta tub son bo'lgan. Bu rekord yana yuz yil davom etdi, keyin Lukas M 127 ning asosiy ekanligini ko'rsatdi (va bu allaqachon 39 ta raqam) va shundan so'ng tadqiqot kompyuterlarning paydo bo'lishi bilan davom etdi.

1952 yilda M 521, M 607, M 1279, M 2203 va M 2281 raqamlarining tubligi isbotlangan.

2005 yilga kelib 42 ta Mersenne tubi topildi. Ulardan eng kattasi M 25964951 7816230 ta raqamdan iborat.

Eylerning ishi sonlar nazariyasiga, jumladan tub sonlarga katta ta'sir ko'rsatdi. U Fermaning kichik teoremasini kengaytirdi va ?-funksiyani kiritdi. 5-ferma raqami 2 32+1ni faktorlarga ajratdi, 60 juft doʻst sonni topdi va kvadratik oʻzaro qonunni tuzdi (lekin isbotlay olmadi).

U birinchi boʻlib matematik tahlil usullarini joriy etgan va analitik sonlar nazariyasini ishlab chiqqan. U nafaqat garmonik qatorni isbotladi? (1/n), balki bir qator shakl

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Tut sonlarning o'zaro yig'indisi bilan olingan natija ham farqlanadi. Garmonik qatorning n ta a'zosining yig'indisi taxminan log(n) ga o'sadi va ikkinchi qator log[ log(n) ] bo'lganda sekinroq ajralib chiqadi. Bu shuni anglatadiki, masalan, hozirgi kunga qadar topilgan barcha tub sonlarning o'zaro yig'indisi faqat 4 ni beradi, garchi qatorlar hali ham ajralib turadi.

Bir qarashda tub sonlar butun sonlar orasida tasodifiy taqsimlangandek tuyuladi. Masalan, 10000000 dan oldingi 100 ta son orasida 9 ta tub son bor va bu qiymatdan so'ng darhol 100 ta son bor atigi 2 ta. Lekin katta segmentlarda tub sonlar juda teng taqsimlangan. Legendre va Gauss ularni tarqatish masalalari bilan shug'ullangan. Gauss bir marta do'stiga har qanday bo'sh 15 daqiqada u har doim keyingi 1000 ta sondagi tub sonlar sonini sanashini aytdi. Umrining oxiriga kelib, u 3 milliongacha bo'lgan barcha tub sonlarni sanab chiqdi. Legendre va Gauss teng ravishda katta n uchun asosiy zichlik 1/log(n) ekanligini hisoblab chiqdilar. Legendre 1 dan n gacha bo'lgan oraliqdagi tub sonlar sonini shunday baholagan

?(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Gauss esa logarifmik integralga o'xshaydi

?(n) = ? 1/log(t)dt

2 dan n gacha bo'lgan integratsiya oralig'i bilan.

1/log(n) tub sonlarning zichligi haqidagi bayonot asosiy taqsimot teoremasi deb nomlanadi. Ular buni 19-asr davomida isbotlashga harakat qilishdi va taraqqiyotga Chebishev va Riemann erishdilar. Ular buni Rieman gipotezasi bilan bog'lashdi, bu Riemann zeta funktsiyasining nollarini taqsimlash haqidagi hali tasdiqlanmagan gipoteza. 1896 yilda tub sonlarning zichligi bir vaqtning o'zida Hadamard va Vallee-Poussin tomonidan isbotlangan.

Bosh sonlar nazariyasida hali ham ko'plab yechilmagan savollar mavjud, ularning ba'zilari yuzlab yillardir:

• Egizak tub gipoteza bir-biridan 2 ga farq qiladigan cheksiz sonli juft tub sonlar haqidadir.
• Goldbax gipotezasi: 4 dan boshlanadigan har qanday juft sonni ikkita tub sonning yig‘indisi sifatida ifodalash mumkin.
• n 2 + 1 ko'rinishdagi tub sonlarning cheksiz soni bormi?
• Har doim n 2 va (n + 1) 2 orasida tub sonni topish mumkinmi? (n va 2n orasida har doim tub son borligi Chebishev tomonidan isbotlangan)
• Fermat tub sonlari soni cheksizmi? 4 dan keyin Fermat tub sonlari bormi?
• har qanday berilgan uzunlik uchun ketma-ket tub sonlarning arifmetik progressiyasi bormi? masalan, 4 uzunlik uchun: 251, 257, 263, 269. Topilgan maksimal uzunlik 26 ga teng.
• Arifmetik progressiyada ketma-ket uchta tub sonlar to‘plamining cheksiz soni bormi?
• n 2 - n + 41 – 0 uchun tub son? n? 40. Bunday tub sonlarning cheksiz soni bormi? Xuddi shu savol n 2 - 79 n + 1601 formulasi uchun. Bu raqamlar 0 uchun tub sonlarmi? n? 79.
• n#+1 ko'rinishdagi tub sonlarning cheksiz soni bormi? (n# - n dan kichik barcha tub sonlarni ko'paytirish natijasi)
• n# -1 ko'rinishidagi tub sonlarning cheksiz soni bormi?
• n ko'rinishdagi tub sonlarning cheksiz soni bormi? + 1?
• n ko'rinishdagi tub sonlarning cheksiz soni bormi? - 1?
• agar p tub bo'lsa, 2 p -1 har doim uning omillari orasida tub kvadratlarni o'z ichiga olmaydi?
• Fibonachchi ketma-ketligi cheksiz sonli tub sonlarni o'z ichiga oladimi?

Eng katta egizak tub sonlar 2003663613? 2 195000 ± 1. Ular 58711 raqamdan iborat bo'lib, 2007 yilda topilgan.

Eng katta faktorial tub son (n tipidagi! ± 1) 147855! - 1. U 142891 ta raqamdan iborat va 2002 yilda topilgan.

Eng katta tub tub son (n# ± 1 ko‘rinishdagi son) 1098133#+1 dir.

Siz yordam berishingiz va saytni rivojlantirish uchun ba'zi mablag'larni o'tkazishingiz mumkin



"Chastoozersk o'rta maktabi" shahar ta'lim muassasasi

Mavzu bo'yicha tadqiqot ishi:

"Raqamlar dunyoni boshqaradi!"

Ish tugallandi:

6-sinf o'quvchisi.

Nazoratchi: ,

matematika o'qituvchisi.

Bilan. Chastozerye.

I. Kirish. -3 sahifa

II. Asosiy qism. -4 sahifa

· Qadimgi yunonlar orasida matematika. - 4 sahifa

· Samoslik Pifagor. -6 sahifa

· Pifagorlar va raqamlar. -8pp.

2. Raqamlar oddiy va birikmadir. -10pp.

3. Goldbax muammosi. -12pp.

4. Bo‘linuvchanlik belgilari. -13pp.

5. Natural sonlarning qiziq xossalari.-15b.

6. Raqamli nayranglar. -18 bet.

III. Xulosa. -22pp.

IV. Adabiyotlar ro'yxati. -23pp.

I. Kirish.

Muvofiqligi:

O’qituvchi matematika darslarida “Sonlarning bo’linuvchanligi” mavzusini o’rganar ekan, tub va qo’shma sonlarning ochilish tarixi bo’yicha ma’ruza tayyorlashni taklif qildi. Xabarni tayyorlashda meni Pifagorning “Raqamlar dunyoni boshqaradi!” degan so'zlari qiziqtirdi.

Savollar paydo bo'ldi:

· Sonlar fani qachon paydo bo'lgan?

· Sonlar fanining rivojlanishiga kimlar hissa qo'shgan?

· Matematikada sonlarning ma’nosi?

Men raqamlar va ularning xususiyatlari haqidagi materialni batafsil o'rganishga va umumlashtirishga qaror qildim.

Tadqiqot maqsadi: tub va kompozit sonlarni o‘rganish va ularning matematikada tutgan o‘rnini ko‘rsatish.

O'rganish ob'ekti: tub va kompozit sonlar.

Gipoteza: Agar Pifagor ta'biri bilan aytganda, "Raqamlar dunyoni boshqaradi,

unda matematikada ularning roli qanday.

Tadqiqot maqsadlari:

I. tub va qo‘shma sonlar haqidagi barcha turdagi ma’lumotlarni to‘plash va umumlashtirish.

II. Matematikadan raqamlarning ma'nosini ko'rsating.

III. Natural sonlarning qiziqarli xossalarini ko'rsating.

Tadqiqot usullari:

· Adabiyotlarni nazariy tahlil qilish.

· Ma'lumotlarni tizimlashtirish va qayta ishlash usuli.

II. Asosiy qism.

1. Sonlar fanining vujudga kelish tarixi.

· Qadimgi yunonlar orasida matematika.

Misrda ham, Bobilda ham raqamlar asosan amaliy masalalarni hal qilish uchun ishlatilgan.

Yunonlar matematikani o'zlashtirganlarida vaziyat o'zgardi. Ularning qo'lida matematika hunarmandchilikdan fanga aylandi.

Yunon qabilalari O'rta er dengizining shimoliy va sharqiy qirg'oqlariga taxminan to'rt ming yil oldin joylasha boshlagan.

Yunonlarning aksariyati Bolqon yarim orolida - hozirgi Gretsiya davlati joylashgan joyda joylashdilar. Qolganlari O'rta er dengizi orollari va Kichik Osiyo qirg'oqlari bo'ylab joylashdilar.

Yunonlar ajoyib dengizchilar edi. Ularning yengil, o‘tkir burunli kemalari O‘rta er dengizi bo‘ylab har tomonga suzib yurardi. Bobildan idish-tovoq va taqinchoqlar, Misrdan bronza qurollar, Qora dengiz sohillaridan hayvonlar terisi va non olib kelishgan. Va, albatta, boshqa xalqlar singari, kemalar ham Yunonistonga tovarlar bilan birga bilim olib keldi. Ammo yunonlar shunchaki emas

boshqa xalqlardan o'rgangan. Tez orada ular o'z o'qituvchilarini ortda qoldirdilar.

Yunon ustalari ajoyib go'zallikdagi saroylar va ibodatxonalar qurdilar, keyinchalik ular ming yillar davomida barcha mamlakatlar me'morlari uchun namuna bo'lib xizmat qildi.

Yunon haykaltaroshlari marmardan ajoyib haykallar yaratdilar. Va nafaqat "haqiqiy" matematika yunon olimlari, balki biz maktabda o'rganadigan boshqa ko'plab fanlar bilan boshlangan.

Bilasizmi, nega yunonlar matematikada barcha xalqlardan oldinda edi? Chunki ular janjallashishni yaxshi bilishardi.

Munozara fanga qanday yordam beradi?

Qadimda Gretsiya ko'plab kichik davlatlardan iborat edi. Atrofdagi qishloqlari bo'lgan deyarli har bir shahar alohida davlat edi. Har safar muhim davlat masalasini hal qilish kerak bo‘lganda, shaharliklar maydonga to‘planib, uni muhokama qilishardi. Ular buni qanday qilib yaxshiroq qilish haqida bahslashdilar va keyin ovoz berishdi. Ular yaxshi bahs yuritishlari aniq: bunday uchrashuvlarda ular raqiblarini rad etishlari, mulohaza yuritishlari, haqligini isbotlashlari kerak edi. Qadimgi yunonlar argument eng yaxshisini topishga yordam beradi, deb ishonishgan. Eng to'g'ri qaror. Ular hatto quyidagi iborani ham o'ylab topishdi: "Haqiqat tortishuvda tug'iladi".

Ilm-fanda esa yunonlar ham shunday qila boshladilar. Xalq yig‘ilishidagi kabi. Ular faqat qoidalarni yodlab olishmadi, balki sabablarni izlashdi: nima uchun buni shunday qilish to'g'ri edi va boshqacha emas. Yunon matematiklari har bir qoidani tushuntirishga va uning to'g'ri emasligini isbotlashga harakat qildilar. Ular bir-birlari bilan bahslashardi. Ular mulohaza yuritishdi va fikrlashda xatolar topishga harakat qilishdi.

Ular bitta qoidani isbotlaydilar - fikrlash boshqa, murakkabroq, keyin uchinchi, to'rtinchi qoidaga olib keladi. Qonunlar qoidalardan yaratilgan. Qonunlar fani esa matematikadir.

Yunon matematikasi tug'ilishi bilanoq darhol sakrash va chegaralar bilan oldinga siljidi. Unga boshqa xalqlarda bo'lmagan ajoyib etiklar yordam berdi. Ularni "fikrlash" va "isbot" deb atashgan.

· Samoslik Pifagor.

Raqamlar haqida birinchi bo'lib eramizning VI asrida Samos orolida tug'ilgan yunon Pifagori gapirdi.

Shuning uchun uni ko'pincha Samos Pifagori deb atashadi. Yunonlar bu mutafakkir haqida ko'plab afsonalar aytishgan.

Pifagor erta ilm-fanga moyilligini ko'rsatdi va otasi Mnesarx uni Suriyaga, Tirga olib bordi, shunda Xaldey donishmandlari unga o'rgatishlari mumkin edi. U Misr ruhoniylarining sirlarini o'rganadi. Ularning doirasiga kirish va tashabbuskor bo'lish istagi bilan alangalangan Pifagor Misrga sayohatga tayyorgarlik ko'rishni boshlaydi. U bir yilni Finikiyada, ruhoniylar maktabida o'tkazadi. Keyin u Misrga, Heliopolisga tashrif buyuradi. Ammo mahalliy ruhoniylar do'stona munosabatda bo'lishmadi.

Qat'iyat ko'rsatib, o'ta og'ir kirish imtihonlaridan o'tib, Pifagor o'z maqsadiga erishadi - kastaga qabul qilinadi.U Misrda 21 yil yashagan, Misr yozuvining barcha turlarini mukammal o'rgangan, ko'plab papiruslarni o'qigan. Misrliklarga matematikada ma'lum bo'lgan faktlar uni o'zining matematik kashfiyotlariga olib boradi.

Donishmand: “Dunyoda shunday narsalar borki, ularga intilish kerak. Bu, birinchidan, go'zal va ulug'vor, ikkinchidan, hayot uchun foydali, uchinchidan, zavq bag'ishlaydi. Holbuki, zavq ikki xil bo'ladi: biri bizning ochko'zligimizni hashamat bilan qondiradigan - halokatli; ikkinchisi solih va hayot uchun zarurdir”.

Talabalar va Pifagor tarafdorlari falsafasida raqamlar markaziy o'rinni egalladi:

« Raqam va o'lchov bo'lmagan joyda tartibsizlik va ximeralar bor "

"Eng dono narsa bu raqam"

"Raqamlar dunyoni boshqaradi."

Shuning uchun ko'pchilik Pifagorni raqamlashning otasi deb biladi - sir bilan qoplangan, undagi voqealarni tasvirlaydigan, o'tmish va kelajakni ochib beradigan, odamlar taqdirini bashorat qiladigan murakkab fan.

· Pifagorlar va raqamlar.

Qadimgi yunonlar va ular bilan birga Pifagor va Pifagoriyaliklar raqamlarni qum yoki hisoblash taxtasida - abakda ko'rinadigan toshlar shaklida o'ylashgan.

Toshli raqamlar muntazam geometrik figuralar shaklida joylashtirilgan, bu raqamlar tasniflangan va bugungi kunda figurali sonlar deb ataladigan raqamlar shunday paydo bo'lgan: chiziqli raqamlar (ya'ni tub sonlar) - bittaga va o'ziga bo'linadigan raqamlar va shuning uchun. , chiziqli nuqtalar ketma-ketligi sifatida ifodalanadi

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" eni="312" balandligi="85 src=">

uchta omil ko'paytmasi bilan ifodalangan qattiq sonlar

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

kvadrat raqamlar:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" eni="323" balandligi="150 src=">

Va. va boshqalar. "Majoziy raqamlardan" iborasi Raqamni kvadrat yoki kub shaklida».

Pifagor o'zini tekis figuralar bilan cheklamadi. Ballardan u piramidalar, kublar va boshqa jismlarni qo'shib, piramidal, kub va boshqa raqamlarni o'rganishni boshladi (1-rasmga qarang). Aytgancha, ism raqamlar kubi Biz uni bugungi kunda ham ishlatamiz.

Ammo Pifagor turli raqamlardan olingan raqamlardan qoniqmadi. Axir, u raqamlar dunyoni boshqaradi, deb e'lon qildi. Shuning uchun u adolat, komillik, do'stlik kabi tushunchalarni tasvirlash uchun raqamlardan qanday foydalanishni aniqlashi kerak edi.

Mukammallikni tasvirlash uchun Pifagor raqamlarning bo'luvchilari ustida ishlay boshladi (u bo'luvchi 1ni oldi, lekin raqamning o'zini olmadi). U sonning barcha boʻluvchilarini qoʻshib, agar yigʻindi sonidan kam boʻlsa, yetarli emas, koʻp boʻlsa, ortiqcha deb eʼlon qilingan. Va faqat yig'indi raqamga to'liq teng bo'lganda, u mukammal deb e'lon qilindi. Do'stlik raqamlari xuddi shunday tasvirlangan - ikkita raqam, agar ularning har biri boshqa raqamning bo'luvchilari yig'indisiga teng bo'lsa, do'stona deb nomlanadi. Masalan, 6 soni (6=1+2+3) mukammal, 28 soni (1+2+4+7+17) mukammal. Keyingi mukammal raqamlar 496, 8128, .

2. Raqamlar oddiy va birikmadir.

Zamonaviy matematika bolalikdagi sevimli mashg'ulot sifatida do'stona yoki mukammal raqamlarni tabassum bilan eslaydi.

Pifagor tomonidan kiritilgan tub va kompozit raqamlar tushunchalari hali ham jiddiy tadqiqotlar mavzusi bo'lib, ular uchun matematiklar yuqori ilmiy mukofotlarga sazovor bo'lishadi.

Hisob-kitoblar tajribasidan odamlar har bir son yoki tub son yoki bir nechta tub sonlarning ko'paytmasi ekanligini bilishgan. Ammo ular buni qanday isbotlashni bilishmadi. Pifagor yoki uning izdoshlaridan biri bu gapning isbotini topdi.

Endi matematikada tub sonlarning rolini tushuntirish oson: ular ko'paytirish yordamida boshqa raqamlar qurilgan qurilish bloklari.

Raqamlar qatorida naqshlarning topilishi matematiklar uchun juda yoqimli hodisadir: axir, bu naqshlardan farazlarni qurish, dalillar va formulalarni tekshirish uchun foydalanish mumkin. Matematiklarni qiziqtiradigan tub sonlarning xususiyatlaridan biri shundaki, ular har qanday naqshga bo'ysunishdan bosh tortadilar.

100,895,598,169 sonining asosiy ekanligini aniqlashning yagona yo'li juda mashaqqatli "Eratosthen elak" dan foydalanishdir.

Jadvalda ushbu elak uchun variantlardan biri ko'rsatilgan.

Ushbu jadvalda 48 dan kichik barcha tub sonlar doira ichida joylashgan. Ular quyidagicha topiladi: 1 ning bitta bo'luvchisi bor - o'zi, shuning uchun 1 tub son hisoblanmaydi. 2 - eng kichik (va faqat juft) tub son. Boshqa barcha juft sonlar 2 ga bo'linadi, ya'ni ularning kamida uchta bo'luvchisi bor; shuning uchun ular oddiy emas va ularni kesib tashlash mumkin. Keyingi kesilmagan raqam 3; uning aniq ikkita bo'luvchisi bor, shuning uchun u tubdir. Uchga karrali bo'lgan barcha boshqa raqamlar (ya'ni, 3 ga qoldiqsiz bo'linishi mumkin bo'lganlar) chiziladi. Endi chizilmagan birinchi raqam 5; bu oddiy va uning barcha ko'paytmalarini kesib tashlash mumkin.

Ko'paytmalarni kesib tashlashni davom ettirish orqali siz 48 dan kichik barcha tub sonlarni yo'q qilishingiz mumkin.

3. Goldbax muammosi.

Har qanday sonni tub sonlardan ko'paytirish yo'li bilan olish mumkin. Agar tub sonlarni qo'shsangiz nima bo'ladi?

XVIII asrda Rossiyada yashagan matematik Goldbax toq tub sonlarni faqat juft-juft qilib qo‘shishga qaror qildi. U hayratlanarli narsani kashf etdi: har safar u juft sonni ikkita tub sonning yig'indisi sifatida ifodalay oldi. (Goldbax davridagidek, biz 1 ni tub son deb hisoblaymiz).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. va hokazo.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" eni="156" balandligi="191 src=">

Goldbax o'z kuzatishlari haqida buyuk matematikga yozgan

XVIII asr Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining a'zosi bo'lgan Leonhard Eulerga. Yana ko'plab juft sonlarni sinab ko'rgandan so'ng, Eyler ularning barchasi ikkita tub sonning yig'indisi ekanligiga amin bo'ldi. Lekin cheksiz ko'p juft sonlar mavjud. Shuning uchun Eylerning hisob-kitoblari barcha raqamlar Goldbax payqagan xususiyatga ega ekanligiga umid baxsh etdi. Biroq, bu har doim shunday bo'lishini isbotlashga urinishlar hech narsaga olib kelmadi.

Matematiklar ikki yuz yil davomida Goldbax muammosi ustida fikr yuritdilar. Va faqat rus olimi Ivan Matveevich Vinogradov hal qiluvchi qadamni qo'yishga muvaffaq bo'ldi. U har qanday etarlicha katta natural son ekanligini aniqladi

uchta tub sonning yig'indisi. Ammo Vinogradovning bayonoti haqiqat bo'lgan raqamni tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada ko'p.

4. Bo‘linuvchanlik belgilari.

489566: 11 = ?

Berilgan son tub yoki kompozit ekanligini bilish uchun har doim tub sonlar jadvaliga qarash shart emas. Ko'pincha buning uchun bo'linish belgilaridan foydalanish kifoya.

· 2 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Agar natural son juft raqam bilan tugasa, u holda son juft bo‘ladi va 2 ga qoldiqsiz bo‘linadi.

· 3 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda raqam 3 ga bo'linadi.

· 4 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Kamida uchta raqamdan iborat natural son, agar bu sonning oxirgi ikki raqamidan hosil boʻlgan son 4 ga boʻlinadigan boʻlsa, 4 ga boʻlinadi.

· 5 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Agar natural son 0 yoki 5 bilan tugasa, bu son 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.

· 7 ga (13 ga) bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Agar natural son 7 ga (13 ga) bo'linadi, agar uchta raqamning yuzlarini tashkil etuvchi raqamlarning algebraik yig'indisi (birlik raqamidan boshlab) toq yuzlar uchun "+" belgisi bilan va juftlar uchun "minus" belgisi bilan olingan bo'lsa. yuzlar, bo'linadi, biz oxirgi yuzdan boshlab va + va - belgilarini almashtirib, yuzlarning algebraik yig'indisini tuzamiz: + 254 = 679. 679 soni 7 ga bo'linadi, ya'ni bu raqam ham 7 ga bo'linadi. .

· 8 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Oxirgi uchta raqamdan hosil boʻlgan son 8 ga boʻlinsa, kamida toʻrtta raqamdan iborat natural son 8 ga boʻlinadi.

· 9 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 9 ga bo'linadi.

· 10 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Agar natural son 0 bilan tugasa, u 10 ga bo'linadi.

· Bo'linish testi 11.

Natural son 11 ga bo'linadi, agar raqamlarning algebraik yig'indisi, agar raqamlar toq joylarda bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan olinadi (birlik raqamidan boshlanadi), agar raqamlar juft joyda bo'lsa, minus belgisi bilan olinadi. ga bo'linadi, 7 - 1 + 5 = 11, 11 ga bo'linadi).

· 25 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Kamida uchta raqamdan iborat natural son, agar bu sonning oxirgi ikki raqamidan hosil boʻlgan son 25 ga boʻlinadigan boʻlsa, 25 ga boʻlinadi.

· 125 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish.

Kamida to'rtta raqamdan iborat natural son, agar bu sonning oxirgi uchta raqamidan hosil bo'lgan son 125 ga bo'linadigan bo'lsa, 125 ga bo'linadi.

5. Natural sonlarning qiziq xossalari.

Natural sonlar juda ko'p qiziqarli xususiyatlarga ega bo'lib, ular ustida arifmetik amallar bajarilganda aniqlanadi. Ammo bu xususiyatlarni isbotlashdan ko'ra ularni payqash osonroq. Keling, bir nechta bunday xususiyatlarni keltiramiz.

1) Keling, tasodifiy bir nechta natural sonni olaylik, masalan, 6 va uning barcha bo'luvchilarini yozamiz: 1, 2, 3.6. Ushbu raqamlarning har biri uchun uning nechta bo'luvchisi borligini yozing. 1 ning faqat bitta bo'luvchisi (raqamning o'zi), 2 va 3 ning har birida ikkita bo'luvchi va 6 sonining 4 ta bo'luvchisi borligi sababli biz 1, 2, 2, 4 raqamlarini olamiz. Ularning ajoyib xususiyati bor: agar siz bu raqamlarni ko'tarsangiz kubga aylantirib, javoblarni qo'shsangiz, avval ushbu raqamlarni qo'shib, so'ngra yig'indini kvadratiga aylantirsak, xuddi shunday miqdorga ega bo'lasiz, boshqacha qilib aytganda,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" eni="554" balandligi="140 src=">

Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, chapda ham, o'ngda ham javob bir xil, ya'ni 324.

Qaysi raqamni olsak, biz sezgan mulk bajariladi. Ammo buni isbotlash juda qiyin.

2) . Har qanday to'rt xonali sonni, masalan, 2519 ni olaylik va uning raqamlarini avval kamayish tartibida, keyin esa o'sish tartibida joylashtiramiz: va katta sondan kichikini ayiramiz: =8262. Olingan son bilan ham shunday qilamiz: 86=6354. Va yana bir shunga o'xshash qadam: 65 = 3087. Keyingi, = 8352, = 6174. Ayirishdan charchamadingizmi? Yana bir qadam tashlaylik: =6174. Yana 6174 bo'lib chiqdi.

Endi biz, dasturchilar aytganidek, "aylanada"miz: biz qancha marta ayirsak ham, 6174 dan boshqa hech narsa olmaymiz. Balki, 2519 asl raqam shunday tanlangani haqiqatdir? Ma’lum bo‘lishicha, buning hech qanday aloqasi yo‘q: qaysi to‘rt xonali raqamni qabul qilmaylik, yetti qadamdan ko‘p bo‘lmagandan so‘ng, albatta, xuddi shu 6174 raqamini olamiz.

3) . Keling, umumiy markazga ega bo'lgan bir nechta aylana chizamiz va ichki doira ustiga istalgan to'rtta natural sonni yozamiz. Har bir qo‘shni sonlar juftligi uchun kattasidan kichigini ayirib, natijani keyingi aylanaga yozing. Ma'lum bo'lishicha, agar siz buni etarlicha marta takrorlasangiz, doiralardan birida barcha raqamlar nolga teng bo'ladi va shuning uchun siz noldan boshqa hech narsa olishni davom ettirasiz. Rasmda ichki doiraga 25, 17, 55, 47 raqamlari yozilgan holat uchun bu ko'rsatilgan.

4) . O'nlik sanoq sistemasida yozilgan istalgan sonni (hatto ming xonali sonni) olaylik. Keling, uning barcha raqamlarini kvadratga aylantiramiz va ularni qo'shamiz. Keling, miqdor bilan ham xuddi shunday qilaylik. Ma'lum bo'lishicha, bir necha qadamlardan so'ng biz 1 raqamini olamiz, undan keyin boshqa raqamlar bo'lmaydi yoki 4, shundan so'ng bizda 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 va yana bizda raqamlar mavjud. olish 4. Bu erda ham tsikldan qochish yo'qligini anglatadi.

5. Shunday cheksiz jadval tuzamiz. Birinchi ustunda biz 4, 7, 10, 13, 16, ... raqamlarini yozamiz (har bir keyingi raqam oldingisidan 3 taga ko'p). 4 raqamidan o'ngga chiziq chizamiz, har qadamda raqamlarni 3 ga oshiramiz.7 raqamidan raqamlarni 5 ga, 10 raqamidan - 7 ga va hokazolarni ko'paytiramiz. Quyidagi jadval. olingan:

Agar siz ushbu jadvaldan biron bir raqamni olsangiz, uni 2 ga ko'paytirsangiz va mahsulotga 1 qo'shsangiz, har doim kompozit raqam olasiz. Agar biz ushbu jadvalga kiritilmagan son bilan ham xuddi shunday qilsak, biz tub sonni olamiz. Masalan, jadvaldan 45 raqamini olaylik.2*45+1=91 soni kompozit, u 7*13 ga teng. Lekin 14 soni jadvalda yo'q, 2*14+1=29 soni esa tub son.

Bosh sonlarni kompozit sonlardan ajratishning bu ajoyib usuli 1934 yilda hindistonlik talaba Sundaram tomonidan ixtiro qilingan. Raqamlarni kuzatish boshqa ajoyib bayonotlarni ochib beradi. Raqamlar olamining xossalari haqiqatda bitmas-tuganmas.

Raqamli nayranglar.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Axir, agar siz uch xonali raqam yoniga yana bir xil raqamni yozsangiz, asl raqam 1001 ga ko'paytiriladi (masalan, 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" kengligi="304" balandligi="74">

To'rt xonali sonlar esa bir marta takrorlanadi va 73 137 ga bo'linadi Yechim tenglikda

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" eni="615" balandligi="40 src=">

E'tibor bering, 0, 1, 4, 5, 6 va 9 raqamlari kublari bir xil raqam bilan tugaydi (masalan, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24" " balandlik = "24 src=">.jpg" eni="389" balandligi="33">

Bundan tashqari, quyidagi raqamlarning beshinchi kuchi qaerdan boshlanishini ko'rsatadigan quyidagi jadvalni eslab qolishingiz kerak:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Bu besh xonali raqamga 3 raqamini qo'shish kerakligini bildiradi. dastlab old tomonidagi doskaga yozilgan va natijada olingan sondan 3 ni ayirish.

Tomoshabinlarning hiyla-nayrangni taxmin qilishiga yo'l qo'ymaslik uchun siz har qanday raqamlarning birinchi raqamini bir necha birliklarga kamaytirishingiz va mos keladigan raqamni bir xil miqdordagi birliklarga kamaytirishingiz mumkin. Masalan, rasmda uchinchi sondagi birinchi raqam 2 ga kamayadi va yig'indidagi mos keladigan raqam bir xil miqdorga kamayadi.

Xulosa.

Tut va kompozit sonlar haqidagi materiallarni to'plagan va umumlashtirgandan so'ng, men quyidagi xulosaga keldim:

1. Raqamlarni o‘rganish qadimgi davrlarga borib taqaladi va boy tarixga ega.

2. Matematikada tub sonlarning o‘rni katta: ular boshqa barcha sonlar ko‘paytirish yordamida qurilgan qurilish bloklaridir.

3. Natural sonlar juda ko'p qiziqarli xususiyatlarga ega. Raqamlar olamining xossalari haqiqatda bitmas-tuganmas.

4. Men tayyorlagan materialdan matematika darslarida va matematika to‘garagi darslarida bemalol foydalanish mumkin. Ushbu material sizga turli xil olimpiadalarga chuqurroq tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.

Raqamlar haqida faktlar. Bu tub sonlar va boshqalar. Biz ba'zi raqamlarni, masalan, Pi va boshqa bir qator raqamlarni alohida materiallarga kiritdik. Shuning uchun ularni ham o'qishni maslahat beramiz. Mana bir nechtasi raqamlar haqida qiziqarli faktlar, bu sizni qiziqtirishi mumkin.

Salbiy raqamlar haqida faktlar

Hozirgi kunda salbiy raqamlar ko'pchilikka ma'lum, ammo bu har doim ham shunday emas edi. Salbiy raqamlar birinchi marta 3-asrda Xitoyda qo'llanilgan, ammo ular bema'nilik hisoblangani uchun faqat istisno hollarda foydalanishga ruxsat berilgan. Biroz vaqt o'tgach, Hindistonda qarzlarni ko'rsatish uchun salbiy raqamlar ishlatila boshlandi.

Shunday qilib, "Matematika" asarida to'qqiz kitob, eramizning 179 yilda nashr etilgan. Miloddan avvalgi Xan sulolasi davrida va 263 yilda Liu Xuy tomonidan sharhlangan Xitoy tayoqchalarni hisoblash tizimi manfiy sonlar uchun qora tayoqlardan, musbat raqamlar uchun qizil tayoqlardan foydalangan. Bundan tashqari, Liu Xui manfiy raqamlarni ko'rsatish uchun egilgan hisoblash tayoqchalaridan foydalangan.

Hozirda manfiy sonlarni bildirishda qoʻllanilayotgan “-” belgisi Hindistondagi qadimiy baxshaliy qoʻlyozmada birinchi boʻlib uchragan, biroq uning qachon tuzilgani borasida olimlar oʻrtasida yakdil fikr yoʻq, ixtilof milodiy 200 yildan 600 yilgacha boʻlgan. e.

Salbiy raqamlar Hindistonda eramizning 630-yillarida allaqachon ma'lum bo'lgan. e.. Ular matematik Brahmagupta (598-668) tomonidan ishlatilgan.

Salbiy raqamlar birinchi marta Evropada miloddan avvalgi 275 yilda ishlatilgan. Miloddan avvalgi yunon matematigi Iskandariyalik Diofant tomonidan foydalanishga kiritilgan, ammo G'arbda ular 1545 yilda italyan matematigi Girolamo Kardano (1501) tomonidan yozilgan "Ars Magna" ("Buyuk san'at") kitobi paydo bo'lgunga qadar absurd deb hisoblangan. -1576).

Bosh son faktlari

2 va 5 raqamlari 2 va 5 bilan tugaydigan tub sonlar qatoridagi yagona raqamlardir.

Raqamlar haqida boshqa faktlar

18 raqami raqamlar yig'indisi o'zidan 2 marta kichik bo'lgan yagona raqam (0 dan tashqari).

2520 - 1 dan 10 gacha bo'lgan barcha raqamlarga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik raqam.

Tailand tilida "besh" raqami "ha" deb talaffuz qilinadi. Binobarin, uchta beshdan tashkil topgan son – 555, inson kulgisini bildiruvchi jarangli ibora – “Ha, ha, ha” tarzida talaffuz qilinadi.

Biz hammamiz bilamizki, palindromik so'zlar mavjud. Ya'ni, chapdan o'ngga va o'ngdan chapga o'qilishi mumkin bo'lganlar va ularning ma'nosi o'zgarmaydi. Shu bilan birga, palindromik raqamlar ham mavjud (palindromonlar). Ular o'qiladigan va har ikki yo'nalishda bir xil qiymatga ega bo'lgan oyna raqamini ifodalaydi, masalan, 1234321.

Googol so'zi (Google brendining kelib chiqishi) 1 raqamidan keyin 100 nolni bildiradi.

Rim raqamlarida yozib bo'lmaydigan yagona raqam "Nol". Shuningdek, zamonaviy matematikada nol o'z talqinida o'ziga xos xususiyatlarga ega. Shunday qilib, rus matematikasida u natural sonlar qatori sifatida tasniflanmaydi, lekin xorijiy fanda shunday.

Tub sonlar - ikkita kichik sonning ko'paytmasi sifatida tasvirlab bo'lmaydigan birdan katta butun sonlar. Demak, 6 tub son emas, chunki uni 2x3 koʻpaytmasi sifatida koʻrsatish mumkin, 5 esa tub son, chunki uni ikkita sonning koʻpaytmasi sifatida koʻrsatishning yagona yoʻli 1x5 yoki 5x1. Agar sizda bir nechta tangalar bo'lsa, lekin ularning barchasini to'rtburchaklar shaklida joylashtira olmaysiz, lekin ularni faqat to'g'ri chiziqda joylashtirsangiz, sizning tangalaringiz soni tub sondir.

Cheksiz sonli tub sonlar

Ba'zi odamlar tub sonlarni chuqur o'rganishga arzimaydi, deb o'ylashadi, lekin ular matematika uchun asosdir. Har bir raqam tub sonlar bir-biriga ko'paytiriladigan tarzda o'ziga xos tarzda ifodalanishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, tub sonlar "ko'payish atomlari", kichik zarralar bo'lib, ulardan katta narsalarni qurish mumkin.

Tut sonlar ko'paytirish yo'li bilan olinadigan butun sonlarning qurilish bloklari bo'lganligi sababli, ko'p sonli masalalarni tub son masalalariga keltirish mumkin. Xuddi shunday, kimyodagi ba'zi masalalarni tizimda ishtirok etuvchi kimyoviy elementlarning atom tarkibi yordamida hal qilish mumkin. Shunday qilib, agar sonli tub sonlar bo'lsa, kompyuterda birma-bir tekshirish mumkin edi. Biroq, ma'lum bo'lishicha, cheksiz miqdordagi tub sonlar mavjud bo'lib, ular hozirda matematiklar tomonidan yaxshi tushunilmagan.

Yunon matematigi Evklid tub sonlarning cheksiz ko'pligini isbotladi. Agar sizda p1,...pn kabi ma'lum miqdordagi tub sonlar mavjud bo'lsa, p1×...×pn + 1 sonini ko'rib chiqishingiz mumkin, bu barcha tub sonlarning bir-biriga ko'paytirilganidan bittaga ko'p. Bu raqam sizning ro'yxatingizdagi p1,...pn raqamlarining ko'paytmasi bo'lishi mumkin emas, lekin u aniq 1 dan katta. Demak, barcha tub omillar ro'yxatingizda bo'lmagan tub sonlar bo'lishi kerak. Roʻyxatingizga yangi tub sonlarni qoʻshish va bir xil amallarni takrorlash orqali siz har doim kamida bitta yangi tub sonni topishingiz mumkin. Demak, tub sonlar cheksiz ko'p bo'lishi kerak.

Tadqiqotlar tarixi

Hech kim aniq raqamlar qaysi jamiyatda birinchi marta hisoblanganligini aniq bilmaydi. Ular shu qadar uzoq vaqt davomida o'rganilganki, olimlar o'sha davrlarga oid hech qanday yozuvga ega emaslar. Ba'zi ilk tsivilizatsiyalar tub sonlar haqida qandaydir tushunchaga ega bo'lgan degan taxminlar mavjud, ammo buning birinchi haqiqiy dalili 3500 yil oldin qilingan Misr papirus yozuvlarida keltirilgan.

Qadimgi yunonlar, ehtimol, ilmiy qiziqish mavzusi sifatida tub sonlarni birinchi bo'lib o'rganishgan va ular tub sonlar sof mavhum matematika uchun muhim deb hisoblashgan. Evklid teoremasi 2000 yildan ortiq boʻlsa ham maktablarda oʻqitiladi.

Yunonlardan keyin 17-asrda yana tub sonlarga jiddiy eʼtibor berildi. O'shandan beri ko'plab mashhur matematiklar tub sonlarni tushunishimizga muhim hissa qo'shdilar. Per de Ferma ko'plab kashfiyotlar qildi va 1994 yilda Endryu Uayls tomonidan yechilgan tub sonlar bilan bog'liq 350 yillik muammo Fermaning oxirgi teoremasi bilan mashhur. Leonhard Eyler 18-asrda koʻplab teoremalarni isbotladi va 19-asrda Karl Fridrix Gauss, Pafnutiy Chebishev va Bernxard Rimann tomonidan, ayniqsa tub sonlarni taqsimlash boʻyicha katta yutuqlarga erishildi. Bularning barchasi haligacha hal qilinmagan Riemann gipotezasi bilan yakunlandi, bu ko'pincha butun matematikada hal qilinmagan eng muhim muammo deb ataladi. Riemann gipotezasi tub sonlarning ko'rinishini juda aniq bashorat qilish imkonini beradi, shuningdek, ular matematiklar uchun nima uchun juda qiyin ekanligini qisman tushuntiradi.

Amaliy ilovalar

Oddiy raqamlar matematika sohasida ham, undan tashqarida ham juda ko'p foydalanishga ega. Bugungi kunda asosiy raqamlar deyarli har kuni qo'llaniladi, garchi ko'pchilik buni bilishmaydi. Olimlar uchun tub sonlar juda muhim, chunki ular ko'payish atomlaridir. Agar odamlar tub sonlar haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'lsa, ko'paytirishga oid ko'plab mavhum muammolarni hal qilish mumkin edi. Matematiklar ko'pincha bitta masalani bir nechta kichiklarga ajratadilar va agar ular yaxshi tushunilgan bo'lsa, bunda tub sonlar yordam berishi mumkin edi.

Matematikadan tashqari, tub sonlarning asosiy qo'llanilishi kompyuterlarni o'z ichiga oladi. Kompyuterlar barcha ma'lumotlarni butun son sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan nollar va birliklar ketma-ketligi sifatida saqlaydi. Ko'pgina kompyuter dasturlari ma'lumotlarga bog'langan raqamlarni ko'paytiradi. Bu shuni anglatadiki, yuzadan pastda tub sonlar yotadi. Biror kishi har qanday onlayn xaridni amalga oshirganda, u xaker uchun qiyin, ammo xaridor uchun oson bo'lgan raqamlarni ko'paytirish usullari mavjudligidan foydalanadi. Bu asosiy raqamlar hech qanday maxsus xususiyatlarga ega emasligi sababli ishlaydi - aks holda tajovuzkor bank kartasi ma'lumotlarini olishi mumkin.

Yangi tub sonlarni topish

Bosh raqamlarni topishning bir usuli - kompyuterda qidirish. Raqamning 2, 3, 4 va boshqalar koeffitsienti ekanligini qayta-qayta tekshirib, uning tub ekanligini osongina aniqlash mumkin. Agar u kichikroq sonning omili bo'lmasa, u tub hisoblanadi. Bu, aslida, sonning tub ekanligini aniqlashning juda ko'p vaqt talab qiladigan usuli. Biroq, buni aniqlashning yanada samarali usullari mavjud. Har bir raqam uchun ushbu algoritmlarning samaradorligi 2002 yildagi nazariy yutuq natijasidir.

Juda ko'p tub sonlar bor, shuning uchun agar siz katta sonni olib, unga bitta qo'shsangiz, tub songa qoqilib ketishingiz mumkin. Aslida, ko'pgina kompyuter dasturlari tub sonlarni topish unchalik qiyin emasligiga tayanadi. Bu shuni anglatadiki, agar siz 100 ta raqamdan tasodifiy raqam tanlasangiz, kompyuteringiz bir necha soniya ichida kattaroq tub sonni topadi. Koinotdagi atomlardan ko'ra 100 xonali tub sonlar ko'p bo'lganligi sababli, hech kim bu sonning tub ekanligini aniq bilmasligi mumkin.

Odatda, matematiklar shaxsiy tub sonlarni kompyuterda izlamaydilar, lekin ular maxsus xususiyatlarga ega tub sonlarga juda qiziqadi. Ikkita muammo ma'lum: kvadratdan bitta katta bo'lgan cheksiz sonli tub sonlar bormi (masalan, bu guruh nazariyasida muhim) va bir-biridan farq qiluvchi cheksiz son juft tub sonlar bormi? tomonidan 2.

Bosh sonlar sirlari

Bosh sonlar uch ming yildan ortiq vaqtdan beri o'rganilgan va oddiy tavsifga ega bo'lishiga qaramay, ajablanarlisi shundaki, tub sonlar haqida hali ham kam narsa ma'lum. Masalan, matematiklar bir-biridan farq qiluvchi tub sonlarning yagona juftligi 2 va 3 ekanligini bilishadi. Biroq, 2 ga farq qiluvchi cheksiz son juft tub sonlar bor-yo‘qligi ma’lum emas. ammo bu hali isbotlanmagan. Bu maktab yoshidagi bolaga tushuntirilishi mumkin bo'lgan muammo, ammo eng buyuk matematik aqllar bu muammoni 100 yildan ortiq vaqt davomida boshdan kechirmoqda.

Amaliy va nazariy nuqtai nazardan tub sonlar haqidagi eng qiziqarli savollarning aksariyati nechta tub sonning qaysi xususiyatiga ega ekanligi bilan bog'liq. Eng oddiy savolga - ma'lum o'lchamdagi qancha tub sonlar bor - javobni nazariy jihatdan Riemann gipotezasini yechish orqali olish mumkin. Riemann gipotezasini isbotlash uchun qo'shimcha rag'bat - Kley matematika instituti tomonidan taqdim etilgan 1 million dollarlik mukofot, shuningdek, barcha davrlarning eng taniqli matematiklari orasida sharafli o'rin.

Endi bu savollarning ko'piga to'g'ri javob qanday bo'lishini taxmin qilishning yaxshi usullari mavjud. Hozirgi vaqtda matematiklarning taxminlari barcha raqamli tajribalardan o'tadi va ularga tayanish uchun nazariy asoslar mavjud. Biroq, sof matematika va kompyuter algoritmlarining ishlashi uchun bu taxminlarning haqiqatda to'g'ri bo'lishi juda muhimdir. Matematiklarni faqat inkor etib bo'lmaydigan dalillar bilan to'liq qondirish mumkin.

Amaliy qo'llash uchun eng katta qiyinchilik bu sonning barcha asosiy omillarini topish qiyinligi. Agar siz 15 raqamini olsangiz, 15=5x3 ekanligini tezda aniqlashingiz mumkin. Ammo agar siz 1000 xonali raqamni olsangiz, uning barcha asosiy omillarini hisoblash uchun hatto dunyodagi eng kuchli superkompyuter ham bir milliard yildan ko'proq vaqt oladi. Internet xavfsizligi ko'p jihatdan bunday hisob-kitoblarning murakkabligiga bog'liq, shuning uchun aloqa xavfsizligi uchun kimdir oddiygina asosiy omillarni topishning tezkor usulini topa olmasligini bilish muhimdir.

Zamonaviy tadqiqotlar

Garchi bu mavzu qadimgi bo'lsa va tarix davomida ko'plab mashhur matematiklarga ta'sir qilgan bo'lsa ham, u hali ham dolzarbdir. Olimlar bir-biridan 2 ga farq qiladigan 3 va 5 kabi cheksiz sonli juft tub sonlar mavjudligini bilishmaydi. Bu hal qilinmagan muammo. Matematik Etan Chjan bu muammo bo'yicha katta yutuq yaratdi. 2013-yil boshida olimlar bir-biridan 1 kvintillion ichida cheksiz sonli juft tub sonlar mavjudligini yoki kattaligidan qatʼi nazar, 1 kvintilliondan ortiq har qanday son uchun bor-yoʻqligini bilishmagan. Chjan ishiga asoslangan nazariy ishlanmalar tufayli matematiklar bir-biridan 246 dan ko'p bo'lmagan farq qiluvchi cheksiz sonli tub sonlar mavjudligini bilishadi. 246 soni ikkitadan ancha katta, lekin u cheksizlikdan sezilarli darajada kichikroq.

Yaqin-atrofdagi tub sonlarni qidirish o'rniga, siz raqamlar chizig'ida bir-biridan uzoqda joylashgan sonlarni qidirishingiz mumkin. Ushbu muammoda sezilarli nazariy yutuq 75 yildan ko'proq vaqt ichida birinchi marta 2014 yil boshida Oksford matematika instituti tadqiqotchilari Erdosning muammolaridan birini hal qilganda amalga oshirildi. Erdosning tub sonlar bilan bog'liq muammolarining boshqa ikkita qiziqarli echimini Bob Xof va Terens Tao amalga oshirdilar, ularning ishlari 2014 yilda Kaisa Matomaki va Maksim Rajvill tomonidan amalga oshirilgan yana bir yutuq asosida qurilgan. Xarald Gelfgott va Devid Platt nihoyat Goldbaxning zaif gipotezasini isbotlab, yuz yillik turli xil topilmalarni yakunladilar. Matematiklar tub sonlar sohasida katta natijaga erishish uchun o‘n yil kutishga o‘rganib qolgan bo‘lsa, bu safar ular so‘nggi uch yilda yarim o‘nlab shunday natijalarga erishgan.

Kelajakdagi tub sonlar

Kelajakda tub sonlar qanday ishlatilishini hozir aytish mumkin emas. Sof matematika (masalan, tub sonlarni o'rganish) nazariya birinchi marta ishlab chiqilganda butunlay imkonsiz bo'lib tuyulishi mumkin bo'lgan ilovalarni bir necha bor topdi. Vaqti-vaqti bilan ilmiy qiziqish modasi sifatida qabul qilingan, haqiqiy dunyoga mos kelmaydigan g'oyalar fan va texnologiya uchun hayratlanarli darajada foydali bo'lib chiqdi. 20-asr boshidagi mashhur matematik Godfrey Garold Hardy tub sonlarning haqiqiy qo'llanilishi yo'qligini ta'kidladi. Qirq yil o'tgach, kompyuter aloqasi uchun tub raqamlarning imkoniyatlari kashf qilindi va ular endi Internetdan kundalik foydalanish uchun juda muhimdir.

Butun sonlar bilan bog'liq masalalarning markazida tub sonlar joylashganligi va butun sonlar haqiqiy hayotda doimo uchraganligi sababli, tub sonlar kelajakdagi dunyoda keng qo'llaniladi. Bu, ayniqsa, Internet hayot va texnologiyaga kirib borgani va kompyuterlar har qachongidan ham katta rol o'ynaganligi sababli to'g'ri.

Raqamlar nazariyasi va tub sonlarning ayrim jihatlari fan va kompyuterlar doirasidan ancha tashqariga chiqadi, deb ishoniladi. Musiqada tub sonlar nima uchun ba'zi murakkab ritmik naqshlarning takrorlanishi uchun uzoq vaqt kerakligini tushuntiradi. Bu ba'zan zamonaviy klassik musiqada ma'lum bir ovoz effektiga erishish uchun ishlatiladi. Fibonachchi ketma-ketligi tabiatda muntazam ravishda sodir bo'ladi va tsikadalar evolyutsion afzalliklarga ega bo'lish uchun bir necha yil davomida qish uyqusiga ketgan deb taxmin qilinadi. Shuningdek, tub sonlarni radioto‘lqinlar orqali uzatish begona hayot shakllari bilan aloqa o‘rnatishning eng yaxshi usuli bo‘lishi taklif qilinadi, chunki tub sonlar tilning har qanday tushunchasidan mutlaqo mustaqil, lekin ular yetarlicha murakkab bo‘lib, natija bilan aralashtirib bo‘lmaydi. sof shakldagi narsa jismoniy tabiiy jarayon.

Munitsipal byudjet ta'lim muassasasi

Abakan shahri

“19-sonli umumta’lim maktabi”

Matematika

Oddiy raqamlar oson

Lisova

Elmira,

6 B sinf

Nazoratchi:

Bykovskaya

Irina Sergeevna,

matematika o'qituvchisi

KOD __________________________________

Matematika

BOSH SONLAR ODDIY

MUNDARIJA:

Kirish

1-bob . Bosh sonlar

1.1. Bosh sonning ta’rifi.

1.2. tub sonlar qatorining cheksizligi.

1.3. Eng katta tub son.

1.4. tub sonlarni aniqlash (izlash) usullari.

2-bob. Bosh sonlar nazariyasini qo'llash

2.1. Mashhur sovet olimlarining tub sonlar nazariyasining ba'zi bayonotlariga misollar.

2.2.Tub sonlar nazariyasiga oid bir qator masalalarga misollar.

2.3. Amaliy topshiriqlar (1-son, 2-son)

2.4.Tub sonlar qonunlarini qo‘llash bo‘yicha topshiriqlar (3-son, 4-son).

2.5. Sehrli kvadratlar.

2.6.tub sonlar qonunining turli sohalarda qo‘llanilishi

Xulosa

Ilova

“Dunyoda hamjihatlik bor,

va bu uyg'unlik raqamlar bilan ifodalanadi"

Pifagorlar.

KIRISH

Matematika ajoyib. Darhaqiqat, kimdir o'z ko'zlari bilan raqamni ko'rganmi (uchta daraxt va uchta olma emas, balki 3 raqamining o'zi). Bir tomondan, raqam mutlaqo mavhum tushunchadir. Ammo, boshqa tomondan, dunyoda sodir bo'layotgan hamma narsa u yoki bu darajada o'lchanishi mumkin va shuning uchun raqamlar bilan ifodalanishi mumkin.

Matematika darslarida “Bosh va qo‘shma sonlar” mavzusini o‘rganar ekanman, tub sonlar, ularning paydo bo‘lish tarixi va ularni olish usullari bilan qiziqib qoldim. Men kutubxona va Internetga murojaat qildim, u erdan kerakli adabiyotlarni sotib oldim. Uni yaxshilab o‘rganib chiqib, tub sonlar haqida juda ko‘p qiziqarli ma’lumotlar borligini angladim. Taxminan ikki yarim ming yil oldin kiritilgan tub sonlar yaqinda kutilmagan amaliy qo'llanmalarni topdi. Men ularning mavjudligini bilib oldimTub sonlar qonunlari formula orqali ifodalanadi, lekin sonlar nazariyasida bir qator muammolar mavjud.Biz hozir kompyuterlar va eng zamonaviy axborot dasturlari asrida yashayotganimizga qaramay, tub sonlarning ko‘plab topishmoqlari haligacha yechilmagan, hattoki, olimlar ularga qanday yondashishni ham bilishmaydi.Ochiq qonunlarni bilish olimlarni ham, oddiy fuqarolarni ham qiziqtiradigan ko‘plab sohalarda sifat jihatidan yangi yechimlarni yaratish imkonini beradi. Mavzu meni ham qiziqtirdi.Ob'ekt tadqiqot mutlaqo mavhum tushunchadir -Bosh raqam . Mavzu Tub sonlarni o'rganishga quyidagilar asos bo'ldi: tub sonlar nazariyasi, ularni aniqlash usullari, bu sohadagi qiziqarli kashfiyotlar va ularni amaliy maqsadlarda qo'llash.

Maqsad Mening vazifam tub sonlar haqidagi tushunchani kengaytirishdir. Belgilangan quyidagi vazifalar:

tub sonlar nazariyasining rivojlanish tarixi bilan tanishish;

tub sonlarni qanday topish haqida umumiy fikrni shakllantirish,

sovet olimlarining tub sonlar nazariyasi sohasidagi qiziqarli yutuqlarini o'rganish;

tub sonlar nazariyasidagi ba'zi muammolarni ko'rib chiqing,

tub sonlar nazariyasining turli sohalarda qo‘llanilishi bilan tanishish;

100 ga qadar “Eratosfen elak” usuli yordamida tub sonlarni tabiiy qatorlardan ajratib olish tamoyilini tushunish; 1000,

masalalarda tub sonlardan foydalanishni o‘rganish.

I. ASOSIY SONLAR

1. Bosh son tushunchasi

Tub sonlar matematiklarning mo''jizalaridan biridir. Bir, ikki, uch... Bu so‘zlar bilan biz sonlar yurtiga kiramiz, uning chegarasi yo‘q. Ko'rinishidan tekis, yaqin raqamlar, ular bilan yaqinroq tanishgandan so'ng, bizni ichki issiqligi bilan kuydiradi va chuqurlikka ega bo'ladi.

Faktoring raqamlari bilan biz boshlang'ich maktabdan beri tanishmiz. Umumiy maxrajni topishda atamalarning maxrajlarini koeffitsientga kiritish kerak. Kasrlarni kamaytirishda faktorlarga ajratish kerak. Arifmetikaning asosiy qoidalaridan biri shundaki, har bir natural sonni o'ziga xos tarzda faktorlarga ajratish mumkin.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 x 11 x 13

Raqamlarni tub omillarga ajratish har bir sonning tub yoki ikki yoki undan ortiq tub sonlarning ko'paytmasi ekanligini ko'rsatadi. Demak, tub sonlar g‘isht kabi natural sonlarning tashkil etuvchi elementlari bo‘lib, ulardan ko‘paytirish harakati orqali barcha butun sonlar yasaladi, deyishimiz mumkin.

Tub son - bu faqat ikki xil bo'luvchiga ega bo'lgan natural son (sonning o'zi va 1).

Ba'zi qiziqarli faktlar.

1 raqami tub son ham, qoʻshma son ham emas.

"Asosiy raqamlar" guruhiga kiradigan yagona juft son deuce. Boshqa har qanday juft son bu erga oddiygina etib bo'lmaydi, chunki ta'rifga ko'ra, o'zidan va bittadan tashqari, u ham ikkiga bo'linadi.

Tabiiy qatorlarda tub sonlar tasodifiy ko'rinmaydi, chunki ular birinchi qarashda ko'rinishi mumkin. Ularni diqqat bilan tahlil qilib, siz darhol bir nechta xususiyatlarni ko'rishingiz mumkin, eng qiziqarliraqamlar - "egizaklar" - farqi 2 ga teng tub sonlar.Ular bir-birining yonida bo'lganligi sababli, faqat juft son (besh va etti, o'n yetti va o'n to'qqiz) bilan ajratilganligi uchun shunday nomlangan. Agar siz ularga diqqat bilan qarasangiz, bu raqamlarning yig'indisi har doim uchga karrali ekanligini ko'rasiz. Umumiy elementga ega bo'lgan juft egizaklar tub sonlar juftligini - "egizaklarni" (uch va besh, besh va etti).

1. tub sonlar qatorining cheksizligi.

Barcha natural sonlar orasida tub sonlarning tartibsiz taqsimlanishi uzoq vaqtdan beri hayratlanarli. Ko'rinib turibdiki, biz kichik sondan kattaroq songa o'tsak, tub sonlar tabiiy qatorlarda kamroq va kamroq paydo bo'ladi. Shunday qilib, birinchi savollardan biri: Oxirgi tub son bormi, ya'ni tub sonlar qatorining oxiri bormi? Miloddan avvalgi 300-yillarda mashhur qadimgi yunon matematigi Evklid bu savolga salbiy javob bergan. U har bir tub son ortida undan ham kattaroq tub son borligini, ya’ni cheksiz sonlar borligini isbotladi.

Bu haqiqatning ma'lum bo'lgan eng qadimgi isboti "" da keltirilgan (IX kitob, 20-bayon).

Tasavvur qilaylik, tub sonlar soni chekli. Keling, ularni ko'paytiramiz va bitta qo'shamiz. Olingan son tub sonlarning chekli to'plamiga bo'linmaydi, chunki ularning birortasiga bo'linishning qolgan qismi bittani beradi. Bu raqam ushbu to'plamga kiritilmagan qandaydir tub songa bo'linishi kerakligini anglatadi.

Demak, tub sonlar qatorining chekli ekanligini qabul qila olmaymiz: bu taxmin qarama-qarshilikka olib keladi. Shunday qilib, biz natural sonlar qatorida qancha uzunlikdagi kompozit sonlar ketma-ketligini uchratmasak ham, uning ortida cheksiz kattaroq son borligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.

Matematiklar boshqa dalillarni ham keltirdilar.

1.3.Eng katta tub son.

Har qanday katta tub sonlar borligiga ishonch hosil qilish boshqa narsa, lekin qaysi sonlar tub sonlar ekanligini bilish boshqa narsa. Natural son qanchalik katta bo'lsa, uning tub yoki yo'qligini aniqlash uchun shuncha ko'p hisob-kitoblarni bajarish kerak.

O'sha paytda ma'lum bo'lgan eng katta tub sonlarning yozuvlari uzoq vaqtdan beri saqlanib kelinmoqda. Rekordlardan biri 18-asrda Eyler tomonidan o'rnatildi, u tub sonni topdi 2147483647.

Ma'lum bo'lgan eng katta bosh rekord raqam 2009 yil iyun holatiga ko'ra 2 quvvatiga 43112609 – 1(ochildi AQShning Markaziy Missuri Universitetidan Kuper A). Unda 12 978 189 ta va oddiy. Ushbu olim tufayli Mersenne tub sonlari uzoq vaqtdan beri eng katta ma'lum bo'lgan tub sonlar sifatida rekord o'rnatgan. Ularni aniqlash uchun 75 ta kuchli kompyuter kerak edi.

Shakl raqamlari: 2 quvvatga n minus 1 , bu erda n ham tub son, Mersenne raqamlariga tegishli. Kuper 2013-yilda yangi matematik kashfiyot qildi.U dunyodagi eng uzun tub sonni topishga muvaffaq boʻldi. Bu quyidagicha yozilgan -2 quvvatiga 57885161 - 1. Raqam 17 milliondan ortiq raqamni o'z ichiga oladi. Uni qog'ozga chop etish uchun sizga 13 mingdan ortiq A4 varaq kerak bo'ladi.
Endi Mersen tub sonlari sinfidagi yangi rekord shunday yoziladi2 quvvatiga 57885161 - 1 , unda 17425170 mavjud raqamlar Yangi rekordchining kashfiyoti Kuperga 3 ming dollar miqdoridagi pul mukofotini keltirdi

Elektron chegara fondi, shuningdek, dunyoga 100 million va milliard belgilardan iborat tub raqamlarni taqdim etgan odamlarga 150 va 250 ming AQSh dollari mukofotini berishni va'da qilmoqda.

1. tub sonlarni aniqlash (izlash) usullari.

a) Eratosfen elaklari.

Bosh sonlarni topishning turli usullari mavjud. “Natural sonlar to‘plamidan tub sonlarni yozish” muammosini birinchi bo‘lib hal qilgan kishi qariyb 2300 yil avval yashagan buyuk qadimgi yunon matematigi Eratosfen bo‘lgan. U shunday usulni o‘ylab topdi: u bittadan qaysidir songacha bo‘lgan barcha raqamlarni yozib oldi, so‘ngra tub son ham, qo‘shma son ham bo‘lmagan birini chizib tashladi, so‘ngra bittadan 2 dan keyin keladigan barcha raqamlarni kesib tashladi. ikkining karralari, ya'ni 4,6,8 va boshqalar). 2 dan keyin qolgan birinchi raqam 3 edi. Keyin, ikkitadan keyin uchtadan keyin keladigan barcha raqamlar (3 ga karrali sonlar, ya'ni 6, 9, 12 va boshqalar) chizilgan; oxirida faqat tub sonlar kesishmagan holda qoldi. chiqdi: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Shunday qilib, Eratosthenes har bir tub sonning barcha ko'paytmalarini ajratib olish orqali 1 dan qandaydir aniq songacha bo'lgan barcha tub sonlarni saralash usulini ixtiro qildi. Ushbu usul "Eratosthenes elak" deb ataladi. - ma'lum bir qiymatgacha bo'lgan tub sonlarning dastlabki ro'yxatini topishning eng oddiy usuli.

Yunonlar mum bilan qoplangan planshetlarga yoki papirusga yozuvlar qo'yishgan va raqamlar chizilmagan, balki igna bilan o'yilgan, keyin hisob-kitoblarning oxiridagi stol elakka o'xshardi.

Ular aytganidek, bir qarashda tub sonni tanib olish mumkinmi? Agar siz bir vaqtning o'zida bir nechta raqamni elakka solib qo'ysangiz, ularning orasidagi oddiyi oltin tupdek porlaydimi? Ba'zilar shunday deb o'ylashadi. Masalan, 1 bilan tugaydigan raqamlar ko'pincha siz izlayotgan raqamlardir, masalan, 11, 31, 41. Biroq, soxta oltinni sof oltinga, masalan, 21 yoki 81 kabi xato qilishdan ehtiyot bo'ling. raqamlar hajmi oshadi, oxirida birlik bizni tobora ko'proq yo'ldan ozdirmoqda. Hatto ba'zi qadimgi yunonlar ishonganidek, tub sonlar oxir-oqibat yo'qolib ketadiganga o'xshaydi.

b) “Eratosfen elaklari” usuli yordamida jadvallarni tuzish

a) Eratosfen elakini sonlar nazariyasida nazariy tadqiqot usuli sifatida 1920 yilda norveg matematigi V. Brun kiritgan. Ushbu usul yordamida olimlar 1 dan 12 000 000 gacha tub sonlar jadvallarini tuzdilar.

Bosh sonlar jadvalini tuzishda haqiqiy qahramon Pragadagi Chexiya universiteti professori Yakub Filip Kulik (1793-1863) hisoblanadi.

U o'z ishini chop etishni rejalashtirmaganligi sababli, raqamlarning bo'linuvchilari jadvalini tuzdi birinchi yuz million, aniqrog'i raqamlar 100 320 201 gacha, va Vena Fanlar Akademiyasi kutubxonasiga ushbu sohada ishlaydiganlar foydalanishi uchun joylashtirdi.

Matematika darslarida 1000 ichida darslikning bargida berilgan jadvaldan foydalanamiz.

v) Kompyuter texnikasidan foydalangan holda jadvallar tuzish

Nazariy va amaliy matematikaga kompyuter texnikasining kiritilishi ko‘p mehnat talab qiladigan hisob-kitoblar bilan bog‘liq masalalarni yechishda sezilarli qulaylik yaratdi.

Etarli darajada murakkab kompyuterlarning xotirasi har qanday hajmdagi jadval ma'lumotlarini saqlashi mumkin, ammo shaxsiy kalkulyatorlar hali bunday imkoniyatlarga ega emas. Shuning uchun matematiklar, xususan, raqamlarni tahlil qilish uchun mo'ljallangan ixcham va qulay jadvallarni tuzish muammolari ustida ishlashni davom ettirmoqdalar.

Bu maqsadda kompyuterlardan foydalanish oldinga juda muhim qadam qo'yish imkonini berdi. Masalan, kompilyatsiya qilish uchun kompyuter texnologiyalari jalb qilingan zamonaviy raqamlar jadvali raqamlarni qamrab oladi 10 000 000 gacha. Bu juda katta hajmli kitob.

Amalda, tub sonlar ro'yxatini olish o'rniga, siz ko'pincha berilgan son tub ekanligini tekshirishni xohlaysiz. Bu masalani hal qiluvchi algoritmlar deyiladi .

Sonning tubligini aniqlash uchun maxsus algoritmlardan foydalanish (son tubmi?) natural sonlar qatorining belgilangan chegaralari doirasida tub sonni izlash imkonini beradi.

e) Asr kashfiyoti - tub sonlar qonuni

Qadim zamonlarda ham olimlarni tabiiy qatorlarda tub sonlar qanday qonunga ko'ra joylashtirilganligi haqidagi savol qiziqtirgan. Rus Pifagori Vladimir Xrenov tub sonlar qonunini kashf etishi bilan ilm-fan olamini hayratda qoldirdi. Bu qonun nafaqat matematikani to'g'ri yo'lga qaytaradi, balki ko'plab tabiat qonunlarini dunyoni haqiqiy bilish nuqtai nazaridan tushuntiradi.rus dahosi,Vladimir Xrenovilmiy kashfiyot qildi , vaqt va makon haqidagi mavjud tushunchani bekor qiladi , Nimatub sonlar tartibsizlik emas.

Oddiy sonlar "6X plyus yoki minus 1" formulasi yordamida olinadi., bu yerda X har qanday natural son.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Bu kashfiyot 2000 yil 30 aprelda qilingan. Bu Masihning tirilishining yubiley Pasxasi edi. Muhim sana. Shu kuni haqiqiy makon va vaqtning haqiqiy modeli ochildi. 2001-yil 7-yanvarda tub sonlar qonuni va u bilan natural qatordagi barcha sonlarning hosil boʻlish qonuniyatlari tasvirlangan. Demak, tub sonlar qonuni kashf etilgandan keyin ebirlik - bo'sh joy standarti,olti - vaqt me'yori va makon va vaqtning ikkita standarti birgalikda tabiatning barcha xilma-xilligini yaratadi va hamma narsaning abadiy ildiz sababidir.. Endi tub sonlar qonuni kashf etilgandan so‘ng ular 7-son sehrining ilmiy asosini tashkil etishi ma’lum bo‘ldi.Ushbu qonun nafaqat ulkan dunyoqarashga ega, balki ushbu nazariyaga asoslangan yangi avlod axborotni himoya qilish texnologiyalarini yaratishga imkon beradi. Yangisini yaratish uchun sizga yangi asosiy raqam kerak bo'ladi. Shuning uchun uni kashf etgan matematiklarga juda katta pul to'lanadi.

ASOSIY SONLAR NAZARIYASINI QO'LLANISH

1. Mashhur sovet olimlarining tub sonlar nazariyasiga oid ayrim bayonotlariga misollar.

Evkliddan beri ikki ming yildan ortiq vaqt o'tgan bo'lsa-da, uning nazariyasiga yangi hech narsa qo'shilmagan. Tabiiy qatordagi tub sonlar nihoyatda injiq tarzda joylashtirilgan. Biroq, bor tub sonlar bilan bog'liq juda ko'p topishmoqlar.

Bosh raqamlarni o'rganish sohasida katta yutuqlar rus va sovet matematiklariga tegishli. Mashhur sovet olimlari bu sohada isbotlagan oddiy va ayni paytda hayratlanarli gaplar meni qiziqtirdi. Men ularni o‘rganib chiqdim va gaplarning haqiqatligini tasdiqlovchi bir qancha misollar keltirdim.

P.L.Chebishev (1821-1894) isbotladi 1 dan katta har qanday natural son bilan uning kattaligi ikki barobar katta son o'rtasida har doim kamida bitta tub son bo'ladi.

Ushbu shartni qanoatlantiradigan quyidagi tub son juftlarini ko'rib chiqing.

Misollar:

va 4 - tub son 3.

va 6 - tub son 5.

10 va 20 - tub sonlar 11; 13; 17; 19.
5 va 10 - 7 bosh son.

7 va 14 - tub sonlar 11; 13.

11 va 22 - tub sonlar 13; 17; 19.

Xulosa: Darhaqiqat, 1 dan katta har qanday natural son bilan uning kattaligidan ikki baravar katta bo'lgan son o'rtasida kamida bitta tub son mavjud.

Kristian Goldbek, Sankt-Peterburg Fanlar akademiyasining a'zosi, deyarli 250 yil oldin buni taklif qilgan 5 dan katta har qanday toq son uchta tub sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Misollar:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Vinogradov IM. (1891-1983), Sovet matematigi bu taklifni faqat 200 yildan keyin isbotladi.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

Ammo bayonot « 2 dan katta har qanday sof juft son ikkita tub sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin » hali isbotlanmagan .

Misollar:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 tub sonlar nazariyasidagi bir qator masalalarga misollar.

Tub sonlarni taqsimlashda naqshlarning yo'qligi muammosi qadimgi yunon matematiklari davridan beri insoniyat ongini egallab kelgan. Evklid tufayli biz cheksiz ko'p tub sonlar borligini bilamiz. Erastofen va Sundaram raqamlarni primallik uchun sinash uchun birinchi algoritmlarni taklif qilishdi. Eyler, Ferma, Legendre va boshqa ko'plab mashhur matematiklar tub sonlar jumbog'ini yechishga harakat qilishgan va hozir ham harakat qilishmoqda. Bugungi kunga qadar ko'plab oqlangan algoritmlar va naqshlar topilgan va taklif qilingan, ammo ularning barchasi faqat tub sonlar yoki maxsus turdagi tub sonlar uchun amal qiladi. Cheksizlikdagi tub sonlarni o'rganishda ilm-fanning ilg'or yutuqlari isboti hisoblanadi. U kiradi , buni isbotlash yoki rad etish uchun Kley matematika instituti 1 000 000 dollar mukofot taklif qilgan.

Eng mashhur tub son muammolari beshinchi qatorda keltirilgan. Bugungi kunda olimlar 23 ta muammo haqida gapiradilar.

Men ulardan 4 tasini ko'rib chiqishga muvaffaq bo'ldim, har bir muammo uchun bir nechta misollar keltirdim.

Landauning birinchi muammosi (Goldbax muammosi):

isbotlash yoki rad etish:

2 dan katta har bir juft son ikkita tub sonning yig'indisi sifatida va 5 dan katta har bir toq son uchta tub sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.

Misollar :

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Landauning ikkinchi muammosi (Goldbax muammosi):

"Bosh egizaklar" ning cheksiz to'plami bormi - farqi 2 ga teng tub sonlar?

a) Quyidagi “egizak” raqamlarni aniqladi:

3 va 5; 5 va 7; 7 va 9; 11 va 13, 17 va 19; 41 va 43;

b). Egizak juftlar umumiy elementga ega bo'lgan egizaklardan iborat. Men egizaklarning quyidagi juftlarini - "doppelgangers" ni topishga muvaffaq bo'ldim.

Yechim:

(3, 5) va (5, 7);

Ma'lumki, tub sonlar cheksiz ko'p. Lekin hech kim bilmaydi, albatta, yoki cheksiz ko'p egizaklar.

Landauning uchinchi muammosi (taxmin)

Shakl raqamlari orasida bu rostmi?n2 va (n + 1)2Har doim tub son bormi?(n - toq raqam)

Yechim:

a) qachon n =3, biz 6 va 8 ni olamiz, ular orasida 7 tub son mavjud.

b) qachon n =5, biz 10 va 12 ni olamiz, ular orasida 11 tub son mavjud.

c) qachon n =9, biz 18 va 20 ni olamiz, ularning orasidagi tub son 19.

4.Landauning to'rtinchi muammosi:

Shaklning cheksiz tub sonlar to'plami bormi? n2 + 1?

Yechim:

da n =1, keyin bizda 3 bor; n =2 bo'lganda, bizda 5 ta bo'ladi; n =3 bo'lsa, bizda 7 bo'ladi

da n =5, u holda bizda 11, n =6 bilan 13; n = 8 bo'lsa, bizda 17 va hokazo.

2.3. Amaliy vazifalar

Vazifa 1. Eratosthenes elakidan foydalanishnechta tub sonni aniqlang1 dan 100 gacha.

Yechim:

Buning uchun biz 1 dan 100 gacha bo'lgan barcha raqamlarni yozamiz. .

Biz tub bo'lmagan raqamlarni kesib tashlaymiz. Keling, 1 ni kesib tashlaylik, chunki u tub son emas. Birinchi tub son 2 ga teng.

Uning tagini chizamiz va 2 ga karrali barcha sonlarni, ya'ni 4, 6, 8... 100 sonlarini kesib tashlaymiz, keyingi tub son 3. Uning tagini chizamiz va 3 ga karrali sonlarni chizamiz. chizilmagan, ya'ni 9 raqamlari? 15, 21...99. Keyin tub son 5ning tagini chizamiz va 5 ga karrali barcha sonlarni kesib tashlaymiz.Raqamlar 25...95. Va shunga o'xshash bitta tub son qolguncha, 97.

Xulosa:1 dan 100 gacha 25 ta bortub sonlar, ya'ni 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97-moddalar (1-ilova).

Vazifa 2. 1000 dan kichik tub sonlar roʻyxatini olish uchun 2, 3, 5, 7, 11 ga boʻlinadigan sonlarni “oʻtdan oʻchirish” kerak... Qaysi sonda toʻxtash mumkin?

Yechim:

Eratosthenes usulidan foydalanib, men shunga o'xshash narsani qildim

1000 gacha bo'lgan kompozit raqamlarni saralash ustida ishlash.

Xulosa: 1000 gacha tub sonlarni olish uchun siz 31 tub sonda to'xtashingiz mumkin (31 ga karrali sonlarni kesib tashlang). (2-ilova)

2.4.Tub sonlar qonunlarini qo`llash bo`yicha topshiriqlar

Masala 3. 19 soni tub ekanligini ko‘rsatish uchun ikkita chekdan qanday foydalaniladi?

Yechim ichida keltirilgan 3-ilova.

Masala 4. 47 soni tub ekanligini ko‘rsatish uchun uchta chekdan qanday foydalaniladi?

Yechim ichida keltirilgan 4-ilova.

2.5 Sehrli kvadratlar.

Ko'pgina qiziqarli matematik masalalar kvadrat matritsalardan - sehrli kvadratlardan foydalanishda tub sonlarga bag'ishlangan bo'lib, ularda istalgan satr, istalgan ustun va ikkita asosiy diagonaldagi elementlarning yig'indisi bir xil sonni beradi.

Ulardan birinchisi mashhur ingliz boshqotirma mutaxassisi Genri Ernest Dyudni tomonidan ixtiro qilingan.

Faqat tub sonlardan tashkil topgan sehrli kvadratlar bormi? Ha chiqadi.

Men 3x3, 4x4, 6x6 oʻlchamdagi sehrli kvadratlarni oʻrgandim.Bu kvadratlarning har bir satri, har bir ustuni va bosh diagonali boʻyicha yigʻindini aniqladim. Yechim ichida keltirilgan 5-ilova.

har bir satr, har bir ustun va har bir asosiy diagonal bo'ylab. 3x3, 4x4, 6x6 matritsali kvadratlarga misollar keltiraman.

1

67

43

37

13

61

73

31

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

3

1

3

9

9

1

9

8

3

9

2

9

1

6

4

3

1

2

5

1

7

4

7

1

7

1

5

9

7

1

9

3

7

3

3

9

Xulosa:

1. 3x3 o‘lchamdagi 1-sehrli kvadratning yig‘indisi 111 ga teng (aytmoqchi, tub son ham emas)

2. 4x4 o'lchamdagi 2 sehrli kvadratning yig'indisi bormi?

3. 6x6 sehrli kvadrat 3 ning yig'indisi bormi?

3.4. tub sonlar qonunining turli sohalarda qo‘llanilishi.

Oddiy raqamlar nafaqat butun dunyo matematiklarining diqqat markazida bo'libgina qolmay, balki kriptografiya uchun asos bo'lgan turli xil raqamlar seriyalarini tuzishda uzoq vaqtdan beri muvaffaqiyatli qo'llanilgan.Qonunlarni bilish mavjud matematik asosda imkonsiz deb hisoblangan ma'lumotlarni uzatishni himoya qilish uchun bunday patentlangan texnik echimlarni taqdim etishga imkon berdi. Shifrlarni yaratish uchun tub sonlar kerak. Ertami-kechmi, har bir kod maxfiylashtiriladi.

Bu erda olimlar eng muhim bo'limlardan biriga murojaat qilishadi informatika - kriptografiyaga. Agar keyingi tub sonni topish shunchalik qiyin bo'lsa, unda bu raqamlardan amalda qayerda va nima uchun foydalanish mumkin? Asosiy raqamlardan eng keng tarqalgan foydalanish kriptografiyada (ma'lumotlarni shifrlash) hisoblanadi. Kriptografiyaning eng xavfsiz va shifrlash qiyin usullari uch yuzdan ortiq raqamga ega tub sonlardan foydalanishga asoslangan.

Men ma'lum bir parolni dekodlashda shifrlovchi duch keladigan muammoni ko'rsatishga harakat qildim. Aytaylik, parol kompozit sonning bo'luvchilaridan biri, deshifrlovchi esa shaxsdir. Keling, birinchi o'nlikdan bir raqamni olaylik, masalan, 8. Har bir (umid qilamanki) odam 8 raqamini aqliy ravishda oddiy omillarga - 8 = 2 * 2 * 2 ga ajratishga qodir. Keling, vazifani murakkablashtiramiz: birinchi yuzlikdan bir raqamni olaylik, masalan, 111. Bu holda, 111 sonning 3 ga bo'linish belgilarini biladigan odamlar tomonidan tez o'z ongida koeffitsientlarga ajratiladi (agar yig'indisi bo'lsa). raqamning raqamlari 3 ga karrali bo'lsa, bu raqam 3 ga bo'linadi) va haqiqatan ham - 111=3*37. Vazifani murakkablashtirish uchun, keling, birinchi mingdan bir raqamni olaylik, masalan, 1207. 1207 raqamini "hamma" ga bo'lish uchun odamga (mashinani qayta ishlashdan foydalanmasdan) kamida qog'oz va qalam kerak bo'ladi. undan oldingi tub sonlar. Va faqat 1207 ni 2 dan 17 kishigacha bo'lgan barcha tub sonlarga ketma-ket bo'lish orqali siz nihoyat bu raqamning ikkinchi butun bo'luvchisini olasiz - 71. Biroq, 71 ning soddaligi uchun ham tekshirilishi kerak.

Raqamlarning bit chuqurligi oshishi bilan, masalan, besh xonali raqam - 10001, mashinada ishlov bermasdan parchalanish (bizning misolimizda, parolni hal qilish) ko'p vaqt talab qilishi aniq bo'ladi. Kompyuter texnologiyalari rivojlanishining hozirgi bosqichi (o'rtacha foydalanuvchi uchun mavjud) oltmish raqamdan iborat raqamlarni bir necha soniya ichida faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Mashinalar yordamisiz berilgan sonni tub omillarga kiritish uchun inson qancha umr ko'rishi kerakligini o'ylab ko'ring!

Bugun, faqat ! Ularning yordami bilan olimlar tobora ko'proq yangi narsalarni topmoqdalar., tub sonlar.

Ochiq qonunlarni bilish quyidagi sohalarda sifat jihatidan yangi yechimlarni yaratishga imkon berishini bilib oldim:

Banklar va korporatsiyalar uchun yuqori darajada xavfsiz operatsion tizim.

Soxta mahsulotlar va qalbaki banknotlarga qarshi kurash tizimi.

Masofadan identifikatsiya qilish va transport vositalarini o'g'irlash bilan kurashish tizimi.

Kompyuter viruslari tarqalishiga qarshi kurash tizimi.

Tabiatning nochiziqli sanoq sistemasiga asoslangan yangi avlod kompyuterlari.

Sezgilar garmoniyasi nazariyasining matematik va biologik asoslanishi.

Nanotexnologiya uchun matematik apparat.

XULOSA.

Ushbu mavzu ustida ishlash jarayonida men tub sonlar haqidagi tushunchamni quyidagi sohalarda kengaytira oldim:

Men tub sonlar nazariyasi rivojining qiziqarli jihatlarini o‘rgandim, olimlarning ushbu sohadagi mening tushunchamga mos bo‘lgan yangi yutuqlari va uni amaliyotda qo‘llashi bilan tanishdim.

tub sonlarni qanday topish haqida umumiy fikrni shakllantirdi, 100 gacha bo'lgan "Eratosfen elak" usuli yordamida tub sonlarni tabiiy qatordan ajratib olish tamoyilini o'zlashtirdi; 1000,

muammolarda tub sonlar nazariyasini qo‘llashni o‘rgangan,

tub sonlar nazariyasining turli sohalarda qo‘llanilishi bilan tanishdi.

Ishni yozishda men tub sonlar qatorini olishning ikkita usulini o'zlashtira oldim:

amaliy usul - elakdan o'tkazish (Eratosthen elak),

analitik usul - formula bilan ishlash (tut sonlar qonuni).

Tadqiqotning bir qismi sifatida:

qiymatlarni almashtirish, to'g'ri matematik ifodalarni olish orqali bir qator matematik bayonotlarni mustaqil ravishda tekshirdi;

"Doubles" va "Egizaklar" qator raqamlarini aniqladi,

Landau muammolarida ko'rsatilgan bir qator raqamli ifodalarni tuzdi,

Men 3x3, 4x4, 6x6 matritsali kvadratlar sehrli ekanligini tekshirdim,

tub sonlar qonuni va gaplardan foydalangan holda ikkita masalani ikki usulda yechdi.

Mavzu ustida ishlash jarayonida men tub sonlar har doim tadqiqotchini chetlab o'tishga tayyor mavjudot bo'lib qolishiga amin bo'ldim. Asosiy sonlar arifmetika hosil bo'ladigan "xom ashyo" bo'lib, bu materialning cheksiz ta'minoti mavjud.

Men so'nggi paytlarda maxfiy tashkilotlarda katta talabga ega bo'lgan kriptografiya sohasidagi mutaxassislarga qiziqib qoldim. Mumkin bo'lgan kalitlar ro'yxatini doimiy ravishda yangilash va tub sonlarni taqsimlashda tobora ko'proq yangi naqshlarni aniqlashga harakat qilish uchun ular tobora ko'proq katta tub sonlarni topadiganlardir. Tub sonlar va kriptografiya - tub sonlar nazariyasini o'rganishdagi keyingi mavzuim.

Menimcha, bu ish darsdan tashqari ishlarda, 6-7-sinf o‘quvchilarining sinfdan tashqari mashg‘ulotlarida, mavzu bo‘yicha ma’ruzalar tayyorlashda 6-sinfda matematika darslari uchun qo‘shimcha material sifatida foydalanish mumkin. Tadqiqot mavzusi juda qiziqarli, dolzarb, o'rganish chegarasi yo'q va talabalarda keng qiziqish uyg'otishi kerak.

Bibliografiya

// . - 1975. - No 5. - B. 5-13.

N. Karpushina. // . - 2010. - 5-son.

Enrike Gracian - "Bosh raqamlar. Cheksizlikka uzoq yo'l" seriyasi "Matematika olami" 3-jild De Agostini 148p, 2014 yil