Історія обчислень. Хто відкрив число Пі? Історія обчислень Чому дорівнює пі 3
Вже багато століть і навіть, як не дивно, тисячоліть люди розуміють важливість і цінність для математичної науки постійної, рівної відношенню довжини кола до її ж діаметру. Число Пі досі невідоме, але до нього мали відношення найкращі математики протягом всієї нашої історії. Більшість із них хотіли висловити його раціональним числом.
1. Дослідники та справжні шанувальники числа Пі організували клуб, для вступу до якого потрібно знати напам'ять досить велику кількість його знаків.
2. З 1988 року святкується «День числа Пі», який припадає на 14 березня. Готують салати, торти, печива, тістечка з його зображенням.
3. Число Пі вже переклали на музику, при цьому воно дуже непогано звучить. Йому навіть звели пам'ятник в американському Сіетлі перед будівлею міського Музею мистецтв.
У той далекий час число Пі намагалися вирахувати за допомогою геометрії. Те, що це число постійно для різних кіл, знали ще геометри в Стародавньому Єгипті, Вавилоні, Індії і Стародавню Грецію, які стверджували у своїх роботах, що воно лише трохи більше трьох.
В одній із священних книг джайнізму (давня індійська релігія, яка виникла в VI ст. До н. Е..) Згадується, що тоді число Пі вважалося рівним кореню квадратному з десяти, що в результаті дає 3,162... .
Давньогрецькі математики проводили вимірювання кола методом побудови відрізка, а для того, щоб виміряти коло, їм доводилося будувати рівновеликий квадрат, тобто фігуру, рівну йому за площею.
Коли ще знали десяткових дробів, великий Архімед знайшов значення числа Пі з точністю 99,9%. Він відкрив спосіб, який став основою багатьох наступних обчислень, вписував у коло і описував навколо неї правильні багатокутники. В результаті Архімед розрахував значення числа Пі як відношення 22/7 ≈ 3,142857142857143.
У Китаї, математик та придворний астроном, Цзу Чунчжі у V столітті до н. е. позначив більш точне значення числа Пі, розрахувавши його до семи цифр після коми та визначив його значення між числами 3, 1415926 та 3,1415927. Понад 900 років знадобилося вченим, щоб продовжити цей цифровий ряд.
Середньовіччя
Відомий індійський вчений Мадхава, який жив на рубежі XIV - XV століть, що став засновником Керальської школи астрономії та математики, вперше в історії почав працювати над розкладанням тригонометричних функцій до лав. Щоправда, збереглися лише дві його праці, але в інші відомі лише посилання та цитати його учнів. У науковому трактаті "Махаджьянаяна", який приписують Мадхаві, зазначено, що число Пі дорівнює 3,14159265359. А в трактаті «Садратнамалу» наведено число з ще більшою кількістю точних знаків після коми: 3,14159265358979324. У цих числах останні цифри не відповідають правильному значенню.
У XV столітті самаркандський математик та астроном Ал-Каші обчислив число Пі з шістнадцятьма знаками після коми. Його результат вважався найточнішим протягом наступних 250 років.
У. Джонсон, математик з Англії, одним із перших зміг позначити відношення довжини кола до її діаметра буквою π. Пі - це перша літера грецького слова "περιφέρεια" - коло. Але цьому позначенню вдалося стати загальноприйнятим лише після того, як ним скористався в 1736 більш відомий вчений Л. Ейлер.
Висновок
Сучасні вчені продовжують працювати над подальшими обчисленнями значень числа Пі. Для цього вже використовують суперкомп'ютери. У 2011 р. учений із Сігер Кондо, співпрацюючи з американським студентом Олександром Йі, зробили правильний розрахунок послідовності з 10 трильйонів цифр. Але досі так і неясно, хто відкрив число Пі, хто вперше замислився над цією проблемою і зробив перші розрахунки цього, по-справжньому містичного числа.
Число π показує, у скільки разів довжина кола більша за її діаметр. Неважливо, якого розміру коло, - як зауважили щонайменше ще 4 тис. років тому, співвідношення завжди залишається одним і тим самим. Питання лише, чому воно дорівнює.
Щоб вирахувати його приблизно, достатньо звичайної нитки. Грек Архімед у III столітті до н. застосовував хитріший спосіб. Він креслив усередині та зовні кола правильні багатокутники. Складаючи довжини сторін багатокутників, Архімед все точніше визначав вилку, в якій знаходиться число π, і зрозумів, що приблизно воно дорівнює 3,14.
Методом багатокутників користувалися ще майже 2 тис. років після Архімеда, це дозволило дізнатися значення числа π до 38-ї цифри після коми. Ще один-два знаки – і можна з точністю до атома розрахувати довжину кола з діаметром як у Всесвіту.
Поки одні вчені використовували геометричний метод, інші здогадалися, що π можна розраховувати, складаючи, віднімаючи, ділячи чи множивши інші числа. Завдяки цьому "хвіст" виріс до кількох сотень цифр після коми.
З появою перших обчислювальних машин і особливо сучасних комп'ютерів точність підвищилася на порядки – у 2016 році швейцарець Петер Трюб визначив значення числа π до 22,4 трлн знаків після коми. Якщо надрукувати цей результат у рядок 14-му кеглі нормальної ширини, то запис вийде трохи коротше, ніж середня відстань від Землі до Венери.
У принципі, ніщо не заважає домогтися ще більшої точності, але для наукових розрахунків у цьому давно немає потреби - хіба що для тестування комп'ютерів, алгоритмів і для досліджень в математиці. А дослідити є що. Навіть про саме число π відомо не все. Доведено, що воно записується у вигляді нескінченного неперіодичного дробу , тобто цифр після коми немає межі, і вони не складаються в повторювані блоки. Але з чи однаковою частотою з'являються цифри та їх комбінації, неясно. Зважаючи на все, це так, але поки що ніхто не навів суворого доказу.
Подальші обчислення проводяться здебільшого зі спортивного інтересу – і з тієї ж причини люди намагаються запам'ятати якнайбільше цифр після коми. Рекорд належить індійцю Раджвіру Міне, який у 2015 році назвав на згадку 70 тис. знаків, сидячи із зав'язаними очима майже десять годин.
Напевно, щоб перевершити його результат, потрібний особливий талант. Але просто здивувати друзів гарною пам'яттю здатний кожен. Головне - використовувати одну з мнемонічних технік, яка потім може стати у нагоді і для чогось ще.
Структурувати дані
Найочевидніший спосіб – розбити число на однакові блоки. Наприклад, можна уявити π як телефонну книгу з десятизначними номерами, а можна як химерний підручник історії (і майбутнього), де перераховані роки. Багато так не запам'ятаєш, але щоб справити враження, вистачить і пари десятків знаків після коми.
Перетворити число на історію
Вважається, що найзручніший спосіб запам'ятати цифри - придумати історію, де їм буде відповідати кількість букв у словах (нуль було б логічно замінити пробілом, але тоді більшість слів зіллється; натомість краще використовувати слова з десяти букв). За цим принципом побудовано фразу "Можна мені велику упаковку кавових зерен?" англійською мовою:
May - 3,
have - 4
large - 5
container - 9
coffee - 6
beans - 5
У дореволюційній Росії вигадали схожу пропозицію: "Хто і жартома і скоро побажає(ъ) Пі дізнатися число, вже знає(ъ)". Точність – до десятого знака після коми: 3,1415926536. Але простіше запам'ятати сучасніший варіант: "Вона і була, і буде шанована на роботі". Є й вірш: "Це знаю і пам'ятаю прекрасно - пи, багато знаки мені зайві, марні". А радянський математик Яків Перельман написав цілий менімонічний діалог:
Що я знаю про кола? (3,1415)
Ось і знаю я число, іменоване пі - молодець! (3,1415927)
Вчи і знай у числі відомому за цифрою цифру, як удачу помічати! (3,14159265359)
Американський математик Майкл Кіт взагалі написав цілу книгу Not A Wake, у тексті якої міститься інформація про перші 10 тис. цифр числа π.
Замінити цифри буквами
Комусь легше запам'ятати безладні літери, ніж випадкові цифри. У цьому випадку цифри замінюються першими літерами алфавіту. Перше слово у назві оповідання Cadaeic Cadenza Майкла Кіта з'явилося саме таким чином. Загалом у цьому творі закодовано 3835 знаків числа пі – правда, тим самим способом, що у книзі Not a Wake.
У російській для подібних цілей можна використовувати літери від А до І (остання відповідатиме нулю). Наскільки зручно буде запам'ятовувати складені комбінації - питання відкрите.
Придумати образи для комбінацій цифр
Щоб досягти по-справжньому визначних результатів, попередні методи не годяться. Рекордсмени використовують техніку візуалізації: зображення запам'ятати легше, ніж цифри. Спочатку потрібно зіставити кожну цифру із відповідною літерою. Вийде, що кожному двозначному числу (від 00 до 99) відповідає дволітерне поєднання.
Припустимо, оді н- це "н", подружжя ре - "р", пя ть - "т". Тоді число 14 – це “нр”, а 15 – “нт”. Тепер ці пари слід доповнити іншими літерами, щоб вийшло слова, наприклад, " но ра" та " ні ть". Усього знадобиться сто слів - начебто багато, але за ними стоять всього десять літер, тому запам'ятати не так вже й складно.
Число π з'явиться як послідовність образів: три цілих, нора, нитка тощо. Щоб краще запам'ятати цю послідовність, зображення можна намалювати або надрукувати на принтері і поставити перед очима. Деякі люди просто розкладають відповідні предмети по кімнаті та згадують числа, розглядаючи інтер'єр. Регулярні тренування за цим методом дозволять запам'ятати сотні і навіть тисячі знаків після коми - або будь-яку іншу інформацію, адже візуалізувати можна не лише цифри.
Марат Кузаєв, Христина Недкова
14 бер 2012
14 березня математики відзначають одне з найнезвичайніших свят - Міжнародний день числа "Пі".Ця дата обрана невипадково: числове вираз π (Пі) – 3,14 (3 місяць (березень) 14 число).
Вперше з цим незвичайним числом школярі стикаються вже в молодших класах щодо кола та кола. Число π – математична константа, яка виражає відношення довжини кола до довжини її діаметра. Тобто якщо взяти коло з діаметром рівним одиниці, то довжина кола і дорівнюватиме числу «Пі». Число π має нескінченну математичну тривалість, але у повсякденних обчисленнях використовують спрощене написання числа, залишаючи лише два знаки після коми - 3,14.
1987 року цей день відзначався вперше. Фізик Ларрі Шоу із Сан-Франциско зауважив, що в американській системі запису дат (місяць/число) дата 14 березня – 3/14 збігається з числом π (π = 3,1415926…). Зазвичай святкування розпочинаються о 1:59:26 дня (π = 3,14 15926 …).
Історія числа «Пі»
Передбачається, що історія числа π починається у Стародавньому Єгипті. Єгипетські математики визначали площу кола діаметром D як (D-D/9) 2 . З цього запису видно, що тоді число π прирівнювали до дробу (16/9) 2 , чи 256/81, тобто. π 3,160...
У VI ст. до н.е. в Індії в релігійній книзі джайнізму є записи, що свідчать про те, що число π у той час приймали рівним квадратному кореню з 10, що дає дріб 3,162...
У ІІІ ст. до н.е. Архімед у своїй невеликій роботі "Вимір кола" обґрунтував три положення:
- Кожне коло рівновелике прямокутному трикутнику, катети якого відповідно дорівнюють довжині кола та його радіусу;
- Площі кола відносяться до квадрата, побудованого на діаметрі, як 11 до 14;
- Відношення будь-якого кола до її діаметра менше 3 1/7 і більше 3 10/71.
Останнє положення Архімед обґрунтував послідовним обчисленням периметрів правильних вписаних та описаних багатокутників при подвоєнні числа їхніх сторін. За точними розрахунками Архімеда відношення кола до діаметра укладено між числами 3*10 / 71і 3*1/7, а це означає, що число «пі» дорівнює 3,1419... Справжнє значення цього відношення 3,1415922653...
У V ст. до н.е. китайський математик Цзу Чунчжи знайшов точне значення цього числа: 3,1415927...
У першій половині XV ст. астроном та математикал-Каші обчислив π з 16 десятковими знаками.
Через півтора століття в Європі Ф.Вієтнайшов число π тільки з 9 правильними десятковими знаками: він зробив 16 подвоєння сторін багатокутників. Ф.Вієтпервим зауважив, що π можна знайти, використовуючи межі деяких рядів. Це відкриття мало велике значення, воно дозволило обчислити з якою завгодно точністю.
У 1706 р англійський математик У.Джонсон ввів позначення ставлення довжини кола до діаметра і позначив його сучасним символом першою літерою грецького слова periferia-коло.
Протягом тривалого часу вчені всього світу намагалися розгадати таємницю цього загадкового числа.
У чому складність обчислення значення ?
Число π є ірраціональним: його неможливо виразити у вигляді дробу p/q, де p і q цілі числа, дане число не може бути коренем рівняння алгебри. Не можна вказати алгебраїчне або диференціальне рівняння, коренем якого буде π, тому дане число називається трансцендентним і обчислюється шляхом розгляду будь-якого процесу і уточнюється за рахунок збільшення кроків процесу, що розглядається. Численні спроби прорахувати максимальну кількість знаків числа π призвели до того, що сьогодні завдяки сучасній обчислювальній техніці можна розрахувати послідовність з точністю в 10 трильйонів цифр після коми.
Цифри десяткового уявлення числа π досить випадкові. У десятковому розкладанні числа можна знайти будь-яку послідовність цифр. Припускають, що в даному числі у зашифрованому вигляді є всі написані та ненаписані книги, будь-яка інформація, яку тільки можна уявити, знаходиться в числі π.
Можете спробувати самі розгадати таємницю цього числа самостійно. Записати число «Пі» повністю, звичайно, не вийде. Але найцікавішим пропоную розглянути перші 1000 знаків числа π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Запам'ятовуємо число "Пі"
В даний час за допомогою обчислювальної техніки обчислено десять трильйонів знаків числа «Пі». Максимальна кількість цифр, яку змогла запам'ятати людина, становить сто тисяч.
Щоб запам'ятати максимальну кількість знаків числа «Пі», використовують різні віршовані «запам'ятки», в яких слова з певною кількістю букв розташовуються в такій же послідовності, як цифри в числі «Пі»: 3,1415926535897932384626433832795…. Для відновлення числа необхідно підрахувати число символів у кожному із слів та записати по порядку.
Ось і знаю я число, що зветься "Пі". Молодець! (7 цифр)
Ось і Мишко та Анюта прибігли
Пі дізнатися число вони хотіли. (11 цифр)
Це я знаю і пам'ятаю чудово:
Пи багато знаки мені зайві, марні.
Довіримося знанням величезним
Тих, хто порахував, цифр армаду. (21 цифра)
Раз у Колі та Аріни
Розпороли ми перини.
Білий пух літав, кружляв,
Куражився, завмирав,
Заспокоївся,
Нам дав
Головний біль старих.
Ух, небезпечний дух духу! (25 знаків)
Можна використовувати римовані рядки, які допомагають запам'ятати потрібне число.
Щоб нам не помилитися,
Потрібно правильно прочитати:
Дев'яносто два та шість
Якщо дуже постаратися,
Можна відразу пі прочитати:
Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,
Дев'яносто два та шість.
Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,
Дев'ять, два, шість, п'ять, три, п'ять.
Щоб наукою займатися,
Це кожен має знати.
Можна просто постаратися
І частіше повторювати:
«Три, чотирнадцять, п'ятнадцять,
Дев'ять, двадцять шість та п'ять».
Залишились питання? Хочете знати більше про кількість "Пі"?
Щоб отримати допомогу репетитора, зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
Згадали про запитання «Що було б зі світом, якби число Пі дорівнювало 4?» Я вирішив трохи поміркувати на цю тему, використовуючи деякі (нехай і не найбільші) знання у відповідних галузях математики. Кому цікаво – прошу під кат.
Щоб уявити такий світ, потрібно математично реалізувати простір з іншим співвідношенням довжини кола до його діаметра. Це я спробував зробити.
Спроба №1.
Оговоримо відразу, що розглядатиму я тільки двовимірні простори. Чому? Тому що коло, власне, визначено у двовимірному просторі (якщо розглянути розмірність n>2, то відношення міри (n-1)-мірного кола до її радіусу навіть не буде константою).Так що для початку я спробував придумати хоч якийсь простір, де Пі не дорівнює 3.1415… Для цього я взяв метричний простір з метрикою, в якій відстань між двома точками дорівнює максимуму серед модулів різниці координат (тобто відстань Чебишева).
Який же вигляд матиме одиничне коло у цьому просторі? Візьмемо точку з координатами (0,0) за центр цього кола. Тоді безліч точок, відстань (у сенсі заданої метрики) від яких до центру дорівнює 1, є 4 відрізка, паралельних осям координат, що утворюють квадрат зі стороною 2 і центром в нулі.
Так, у деякій метриці це – коло!
Порахуємо тут Пі. Радіус дорівнює 1, тоді діаметр, відповідно, дорівнює 2. Можна також розглянути визначення діаметра як найбільшої відстані між двома точками, але навіть так воно дорівнює 2. Залишилося знайти довжину нашого «кола» в даній метриці. Це сума довжин всіх чотирьох відрізків, які у цій метриці мають довжину max(0,2)=2. Отже, довжина кола дорівнює 4*2=8. Ну а тоді Пі тут одно 8/2=4. Вийшло! Але чи треба дуже радіти? Результат цей практично некорисний, адже простір, що розглядається абсолютно абстрактно, в ньому навіть не визначені кути і повороти. Ви можете уявити світ, де за фактом не визначено поворот, і де коло є квадрат? Я намагався чесно, але в мене не вистачило уяви.
Радіус дорівнює 1, а ось із знаходженням довжини цього «кола» є деякі складності. Після деяких пошуків інформації в інтернеті, я дійшов висновку, що в псевдоевклідовому просторі таке поняття, як «число Пі», взагалі не може бути визначене, що, безумовно, погано.
Якщо хтось у коментарях розповість мені, як формально вважати довжину кривої в псевдоевклідовому просторі, я буду дуже радий, бо моїх знань у диференціальній геометрії, топології (а також старанного ковтання) для цього не вистачило.
Висновки:
Не знаю, чи можна писати про висновки після таких не дуже тривалих досліджень, але дещо сказати можна. По-перше, спробувавши уявити простір з іншим числом Пі, я зрозумів, що він буде занадто абстрактним, щоб бути моделлю реального світу. По-друге, коли спробувати придумати більш вдалу модель (схожу на наш, реальний світ), виходить, що число Пі залишиться незмінним. Якщо прийняти за даність можливість негативного квадрата відстані (що для звичайної людини просто абсурд), то Пі не буде визначено зовсім! Все це і наводить на думку, що, можливо, світу з іншим числом Пі взагалі не могло бути? Адже не дарма ж Всесвіт саме такий, який він є. А може, це й реально, тільки звичайної математики, фізики та людської уяви для цього недостатньо. А як ви вважаєте?Upd.Дізнався точно. Довжина кривої в псевдоевклідовом просторі може бути визначена тільки на якомусь його евклідовому підпросторі. Тобто, зокрема, для «кола», що вийшло в спробі N3, зовсім не визначено таке поняття як «довжина». Відповідно, Пі там теж порахувати не можна.
Значення числа(вимовляється «пі») - математична константа, рівна відношенню
Позначається буквою грецького алфавіту пі. Стара назва лудольфове число.
Чому дорівнює число пі?У найпростіших випадках вистачає знати перші 3 знаки (3,14). Але для більш
складних випадків і там, де потрібна більша точність, необхідно знати більше, ніж 3 цифри.
Яке число пі? Перші 1000 знаків числа пі після коми:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...
У звичайних умовах приблизне значення числа пі можна обчислити за пунктами,
наведеним нижче:
- Беремо коло, обмотуємо по краю нитку один раз.
- Вимірюємо довжину нитки.
- Вимірюємо діаметр кола.
- Ділимо довжину нитки на довжину діаметра. Отримали кількість пі.
Властивості числа Пі.
- пі- Ірраціональне число, тобто. значення числа пі не можна точно виразити у вигляді
дроби m/n, де mі nє цілими числами. З цього видно, що десяткове уявлення
числа пі ніколи не закінчується і воно не є періодичним.
- пі- трансцендентне число, тобто. воно не може бути коренем будь-якого багаточлена з цілими
коефіцієнтами. У 1882 році професор Кенігсберзький довів трансцендентність числа пі, а
Пізніше, професором Мюнхенського університету Ліндеманом. Доказ спростив
Фелікс Клейн у 1894 році.
- тому що в евклідовій геометрії площа кола і довжина кола - це функції числа пі,
той доказ трансцендентності піддав кінець суперечці про квадратуру кола, що тривало більше
2,5 тисячі років.
- піє елементом кільця періодів (тобто обчислюваним та арифметичним числом).
Але ніхто не знає, чи належить до кільця періодів.
Формула числа пі.
- Франсуа Вієт:
- Формула Валліса:
- Ряд Лейбниця:
- Інші ряди:
- Астрологічний онлайн сервіс тест «Коли я вийду заміж, як зустріти своє кохання, яким буде мій партнер і який буде шлюб» – розрахувати за датою народження безкоштовно
- Дзеркало (історія винаходу)
- Коротка історія виникнення релігій
- Що таке гора олімп у давньогрецькій міфології, хто там жив Олімп давньогрецька міфологія