Doğal sayı nedir? Tarih, kapsam, özellikler. Doğal sayılar Çarpmanın bileşenlerinin adları nelerdir?
En basit sayı doğal sayı. Onlar kullanılır Gündelik Yaşam saymak için öğeler, yani sayılarını ve sıralarını hesaplamak için.
Doğal sayı nedir: doğal sayılar için kullanılan sayıları adlandırın Öğeleri saymak veya tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek içinöğeler.
tamsayılarbirden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar
en küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken sıfır kullanılmadığı için sıfır bir doğal sayıdır.
doğal sayı dizisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıları yazın:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Doğal sayılarda her sayı bir öncekinden bir fazladır.
Doğal dizide kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur, en büyük doğal sayı yoktur.
Herhangi bir kategorideki 10 birim en yüksek mertebeden 1 birim oluşturduğundan ondalık sayı. konumsal yani bir basamağın değerinin sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani kaydedildiği kategoriden.
Doğal sayıların sınıfları.
Herhangi bir doğal sayı, 10 Arap rakamı kullanılarak yazılabilir:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. 3 ilk sağdaki sayılar birim sınıfı, sonraki 3 binler sınıfı, ardından milyonlar, milyarlar ve milyarlar sınıfıdır.vesaire. Sınıfın basamaklarından her birine onun adı verilir.deşarj.
Doğal sayıların karşılaştırılması.
2 doğal sayıdan, sayımda daha önce aranan sayı daha azdır. Örneğin, sayı 7 az 11 (şöyle yazılır:7 < 11 ). Bir sayı ikinciden büyük olduğunda, şöyle yazılır:386 > 99 .
Basamak tablosu ve sayı sınıfları.
1. sınıf birim |
1. birim hane 2. sıra on 3. sıra yüzlerce |
2. sınıf bin |
binlerin 1. basamak birimleri 2. basamak on binlerce 3. sıra yüz binlerce |
3. sınıf milyonlar |
1. haneli birimler milyon 2. basamak on milyon 3. basamak yüz milyon |
4. sınıf milyarlar |
1. basamak birimler milyar 2. basamak on milyarlarca 3. basamak yüz milyar |
5. sınıf ve üzeri sayılar büyük sayılardır. 5. sınıf birimler - trilyonlar, 6. sınıf - katrilyon, 7. sınıf - kentilyon, 8. sınıf - sekstilyon, 9. sınıf - etilyonlarca Doğal sayıların temel özellikleri.
Doğal sayılarla ilgili işlemler. 4. Doğal sayıların bölünmesi, çarpmanın tersi bir işlemdir. Eğer b ∙ c \u003d bir, O Bölme formülleri: bir: 1 = bir a: a = 1, a ≠ 0 0: bir = 0, bir ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ bir Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler. Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir notasyon sayısal ifade. Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Eşittir işaretinin 2 sayısal ifadeyi birleştirdiği girişler: sayısal eşitlikler. Eşitliğin bir sol tarafı, bir de sağ tarafı vardır. Aritmetik işlemlerin gerçekleştirilme sırası. Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir. Sayısal bir ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluştuğunda, sırayla gerçekleştirilirler. soldan sağa. İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, önce eylemler gerçekleştirilir ikinci derece ve sonra - birinci derecenin eylemleri. İfadede parantez olduğu zaman önce parantez içindeki işlemler yapılır. Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Sayfada gezinme:
Tanım. tamsayılar- saymak için kullanılan sayılar şunlardır: 1, 2, 3, ..., n, ...
Doğal sayılar kümesi genellikle sembolü ile gösterilir. N(lat. doğal- doğal).
Ondalık sayı sistemindeki doğal sayılar on basamak kullanılarak yazılır:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Doğal sayılar kümesi sıralı set, yani herhangi bir doğal sayı m ve n için aşağıdaki bağıntılardan biri doğrudur:
- veya m = n (m eşittir n ),
- veya m > n (m, n'den büyüktür),
- veya m< n (m меньше n ).
- En az doğal sayı - birim (1)
- En büyük doğal sayı yoktur.
- Sıfır (0) bir doğal sayı değildir.
Komşu doğal sayılardan n sayısının solundaki sayıya denir. önceki sayı n ve sağdaki numara aranır takip eden.
Doğal sayılar üzerinde işlemler
Doğal sayılarla ilgili kapalı işlemler (doğal sayılarla sonuçlanan işlemler) aşağıdaki aritmetik işlemleri içerir:
- Ek
- Çarpma işlemi
- üs alma a b , burada a, kuvvetin tabanı ve b, üsdür. Taban ve üs doğal sayı ise sonuç doğal sayı olur.
Ayrıca iki operasyon daha düşünülüyor. Biçimsel bir bakış açısından, sonuçları her zaman bir doğal sayı olmayacağından, doğal sayılar üzerinde işlemler değildirler.
- Çıkarma(Aynı zamanda eksilen çıkandan büyük olmalıdır)
- Bölüm
Sınıflar ve rütbeler
Boşaltma - bir sayı girişindeki bir basamağın konumu (konumu).
En düşük rütbe sağdakidir. Yüksek sıra en soldakidir.
Örnek:
5 - birimler, 0 - onlar, 7 - yüzler,
2 - binler, 4 - onbinler, 8 - yüzbinler,
3 - milyon, 5 - on milyon, 1 - yüz milyon
Okuma kolaylığı için doğal sayılar sağdan başlayarak üç basamaklı gruplara ayrılır.
Sınıf- sağdan başlayarak sayının bölündüğü üç basamaklı bir grup. Son sınıf üç, iki veya bir basamak olabilir.
- Birinci sınıf, birimler sınıfıdır;
- İkinci sınıf, binler sınıfıdır;
- Üçüncü sınıf, milyonlar sınıfıdır;
- Dördüncü sınıf, milyarlar sınıfıdır;
- Beşinci sınıf, trilyonlar sınıfıdır;
- Altıncı sınıf, katrilyon (katrilyon) sınıfıdır;
- Yedinci sınıf, kentilyonlar (kentilyonlar) sınıfıdır;
- Sekizinci sınıf, sekstilyon sınıfıdır;
- Dokuzuncu sınıf septillon sınıfıdır;
Örnek:
34 - milyar 456 milyon 196 bin 45
Doğal sayıların karşılaştırılması
Farklı basamak sayılarına sahip doğal sayıların karşılaştırılması
Doğal sayılardan basamağı fazla olan daha büyüktür.Basamak sayıları aynı olan doğal sayıların karşılaştırılması
En önemli basamaktan başlayarak sayıları parça parça karşılaştırın. Aynı adın en yüksek basamağında daha fazla birime sahip olandan daha fazlası
Örnek:
3466 > 346 - 3466 sayısı 4 basamaktan ve 346 sayısı 3 basamaktan oluştuğu için.
34666 < 245784 - çünkü 34666 5 basamaklıdır ve 245784 6 basamaklıdır.
Örnek:
346 667 670 52 6 986
346 667 670 56 9 429
Basamak sayıları aynı olan ikinci doğal sayı 6 > 2 olduğu için daha büyüktür.
Matematikte birkaç farklı sayı kümesi vardır: gerçek, karmaşık, tamsayı, rasyonel, irrasyonel, ... Gündelik Yaşam doğal sayıları sayarken ve arama yaparken nesnelerin sayısını belirterek karşılaştığımız için çoğunlukla kullanırız.
Temas halinde
Hangi sayılara doğal denir
On basamaktan, kesinlikle mevcut herhangi bir sınıf ve rütbe toplamını yazabilirsiniz. Doğal değerler hangileri kullanılır:
- Herhangi bir öğeyi sayarken (birinci, ikinci, üçüncü, ... beşinci, ... onuncu).
- Öğe sayısını belirtirken (bir, iki, üç ...)
N değerleri her zaman tam sayı ve pozitiftir. Tamsayı değerleri kümesi sınırlı olmadığından en büyük N yoktur.
Dikkat! Doğal sayılar, nesneleri sayarak veya miktarlarını belirleyerek elde edilir.
Kesinlikle herhangi bir sayı ayrıştırılabilir ve bit terimleriyle gösterilebilir, örneğin: 8.346.809=8 milyon+346 bin+809 birim.
N'yi ayarla
N kümesi kümenin içindedir gerçek, tamsayı ve pozitif. Küme diyagramında, doğal küme onların bir parçası olduğu için birbirlerinin içinde olacaklardır.
Doğal sayılar kümesi N harfi ile gösterilir. Bu kümenin bir başı vardır ama sonu yoktur.
Sıfırın dahil edildiği genişletilmiş bir N kümesi de vardır.
en küçük doğal sayı
Çoğu matematik okulunda, N'nin en küçük değeri birim olarak sayılır, nesnelerin olmaması boş kabul edildiğinden.
Ancak yabancı matematik okullarında, örneğin Fransızca'da doğal kabul edilir. Seride sıfırın bulunması ispatı kolaylaştırır. bazı teoremler.
Sıfır içeren bir N değerleri kümesine genişletilmiş denir ve N0 (sıfır indeksi) sembolü ile gösterilir.
doğal sayılar dizisi
Bir N satırı, tüm N basamak kümesinin bir dizisidir. Bu dizinin sonu yok.
Doğal dizinin özelliği, bir sonraki sayının bir öncekinden bir farklılık göstermesi, yani artmasıdır. Ama anlamlar olumsuz olamaz.
Dikkat! Sayma kolaylığı için sınıflar ve kategoriler vardır:
- Birimler (1, 2, 3),
- Onlarca (10, 20, 30),
- Yüzlerce (100, 200, 300),
- Bin (1000, 2000, 3000),
- On binlerce (30.000),
- Yüz binlerce (800.000),
- Milyonlarca (4000000) vb.
Tüm N
Tüm N'ler gerçek, tamsayı, negatif olmayan değerler kümesindedir. Onlar onların ayrılmaz parça.
Bu değerler sonsuza gider, milyonlarca, milyarlarca, kentilyonlar vb. sınıflara ait olabilirler.
Örneğin:
- Beş elma, üç yavru kedi,
- On ruble, otuz kalem,
- Yüz kilo, üç yüz kitap,
- Bir milyon yıldız, üç milyon insan vs.
N'deki sıra
Farklı matematik okullarında, N dizisinin ait olduğu iki aralık bulunabilir:
sıfırdan artı sonsuza, uçlar dahil ve birden artı sonsuza, uçlar dahil, yani hepsi olumlu bütün cevaplar.
N hane çift veya tek olabilir. Tuhaflık kavramını düşünün.
Tek (herhangi tek olanlar 1, 3, 5, 7, 9 sayılarıyla biter.) iki ile kalan vardır. Örneğin, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
N bile ne anlama geliyor?
Herhangi bir çift sınıf toplamı sayılarla biter: 0, 2, 4, 6, 8. N çiftini 2'ye bölerken kalan olmaz, yani sonuç tam bir cevaptır. Örneğin, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
Önemli! Sayısal bir N dizisi yalnızca çift veya tek değerlerden oluşamaz, çünkü bunlar değişmek zorundadır: bir çift sayıyı her zaman tek bir sayı takip eder, ardından tekrar bir çift sayı gelir ve bu böyle devam eder.
N özellik
Diğer tüm kümeler gibi N'nin de kendine has özellikleri vardır. N serisinin (genişletilmemiş) özelliklerini göz önünde bulundurun.
- En küçük olan ve başka bir değeri takip etmeyen değer birdir.
- N bir dizidir, yani bir doğal değerdir başka birini takip eder(biri hariç - bu ilk).
- N basamak ve sınıf toplamı üzerinde hesaplama işlemleri yaptığımızda (toplama, çarpma), o zaman cevap her zaman doğal çıkar Anlam.
- Hesaplamalarda permütasyon ve kombinasyon kullanabilirsiniz.
- Sonraki her değer bir öncekinden daha az olamaz. Ayrıca N serisinde, aşağıdaki yasa işleyecektir: A sayısı B'den küçükse, o zaman sayı serisinde her zaman eşitliğin doğru olduğu bir C olacaktır: A + C \u003d B.
- Örneğin A ve B gibi iki doğal ifade alırsak, ifadelerden biri onlar için doğru olacaktır: A \u003d B, A, B'den büyüktür, A, B'den küçüktür.
- A, B'den küçükse ve B, C'den küçükse, o zaman şunu takip eder: A'nın C'den küçük olduğunu.
- A, B'den küçükse, o zaman şunu takip eder: onlara aynı ifadeyi (C) eklersek, o zaman A + C, B + C'den küçüktür. Bu değerler C ile çarpılırsa AC'nin AB'den küçük olduğu da doğrudur.
- B, A'dan büyük ancak C'den küçükse, o zaman: BA daha az S-A.
Dikkat! Yukarıdaki eşitsizliklerin tümü ters yönde de geçerlidir.
Çarpmanın bileşenlerine ne ad verilir?
Pek çok basit ve hatta karmaşık görevde, cevabı bulmak okul çocuklarının yeteneğine bağlıdır.
Çarpmayı hızlı ve doğru bir şekilde yapabilmek ve ters problemleri çözebilmek için çarpmanın bileşenlerini bilmeniz gerekir.
15. 10=150. Bu ifadede 15 ve 10 faktörlerdir, ve 150 bir üründür.
Çarpma, problemleri, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken gerekli olan özelliklere sahiptir:
- Faktörlerin yeniden düzenlenmesi nihai ürünü değiştirmez.
- Bilinmeyen faktörü bulmak için, çarpımı bilinen faktöre bölmeniz gerekir (tüm faktörler için geçerlidir).
Örneğin: 15 . X=150. Çarpımı bilinen bir faktöre bölün. 150:15=10. Bir kontrol yapalım. 15 . 10=150. Hatta bu ilkeye göre karmaşık lineer denklemler(eğer basitleştirirseniz).
Önemli!Ürün ikiden fazla faktörden oluşabilir. Örneğin: 840=2 . 5. 7. 3. 4
Matematikte doğal sayılar nelerdir?
Deşarjlar ve doğal sayıların sınıfları
Çözüm
Özetleyelim. Öğe sayısını sayarken veya belirtirken N kullanılır. Doğal basamak kümelerinin sayısı sonsuzdur, ancak yalnızca tam sayıları ve basamakların ve sınıfların pozitif toplamlarını içerir. Çarpma için de gereklidir şeyleri saymak, problemlerin, denklemlerin ve çeşitli eşitsizliklerin çözülmesinin yanı sıra.
Doğal sayıların tarihi ilkel zamanlarda başladı. Eski zamanlardan beri insanlar nesneleri saydılar. Örneğin ticarette mal hesabı, inşaatta malzeme hesabı gerekiyordu. Evet, günlük hayatta bile bir şeyleri, ürünleri, hayvanları saymak zorunda kaldım. Sayılar ilk başta hayatta, pratikte sadece saymak için kullanılırken daha sonra matematiğin gelişmesiyle birlikte bilimin bir parçası haline geldi.
tamsayılar nesneleri sayarken kullandığımız sayılardır.
Örneğin: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....
Sıfır bir doğal sayı değildir.
Tüm doğal sayılar veya doğal sayılar kümesi diyelim, N simgesiyle gösterilir.
Doğal sayılar tablosu.
doğal sıra.
Ardışık formda artan sırada yazılan doğal sayılar doğal seri veya doğal sayılar dizisi.
Doğal serinin özellikleri:
- En küçük doğal sayı birdir.
- Doğal dizide bir sonraki sayı bir öncekinden birer birer büyüktür. (1, 2, 3, …) Üç nokta veya sayı dizisini tamamlamak mümkün değilse üç nokta kullanılır.
- Doğal serinin maksimum sayısı yoktur, sonsuzdur.
Örnek 1:
İlk 5 doğal sayıyı yazınız.
Çözüm:
Doğal sayılar bir ile başlar.
1, 2, 3, 4, 5
Örnek 2:
Sıfır bir doğal sayı mıdır?
Cevap: hayır.
Örnek 3:
Doğal dizideki ilk sayı nedir?
Cevap: Doğal sayı bir ile başlar.
Örnek 4:
Doğal dizideki son sayı nedir? En büyük doğal sayı kaçtır?
Cevap: Doğal sayı birden başlar. Sonraki her sayı bir öncekinden daha büyüktür, bu nedenle son sayı mevcut değildir. En büyük sayı yoktur.
Örnek 5:
Doğal dizideki birimin bir önceki numarası var mı?
Cevap: hayır, çünkü bir doğal dizideki ilk sayıdır.
Örnek 6:
Doğal dizideki şu sayılardan sonra bir sonraki sayıyı adlandırın: a) 5, b) 67, c) 9998.
Cevap: a) 6, b) 68, c) 9999.
Örnek 7:
a) 1 ile 5, b) 14 ile 19 arasındaki doğal dizide kaç tane sayı vardır?
Çözüm:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - 1 ile 5 sayıları arasında üç sayı bulunur.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - 14 ile 19 sayıları arasında dört sayı vardır.
Örnek 8:
11 sayısından sonra önceki numarayı adlandırın.
Cevap: 10.
Örnek 9:
Nesneleri saymak için hangi sayılar kullanılır?
Cevap: doğal sayılar
Doğal sayılar en eski matematiksel kavramlardan biridir.
Uzak geçmişte, insanlar sayıları bilmiyorlardı ve nesneleri (hayvanlar, balıklar vb.) Saymaları gerektiğinde, bunu şimdi yaptığımızdan farklı yapıyorlardı.
Nesnelerin sayısı vücudun bölümleriyle, örneğin eldeki parmaklarla karşılaştırıldı ve "Eldeki parmak sayısı kadar fındığım var" dediler.
Zamanla insanlar beş fındık, beş keçi ve beş tavşanın ortak mülkiyet- sayıları beş.
Hatırlamak!
tamsayılar nesneleri sayarken elde edilen 1 ile başlayan sayılardır.
1, 2, 3, 4, 5…
en küçük doğal sayı — 1 .
en büyük doğal sayı bulunmuyor.
Sayarken sıfır sayısı kullanılmaz. Bu nedenle, sıfır bir doğal sayı olarak kabul edilmez.
İnsanlar sayıları yazmayı saymaktan çok sonra öğrendiler. Her şeyden önce, birimi bir çubukla, ardından iki çubukla - 2 numara, üç ile - 3 numara ile temsil etmeye başladılar.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Ardından, modern sayıların öncüleri olan sayıları belirtmek için özel işaretler ortaya çıktı. Sayıları yazmak için kullandığımız sayılar, yaklaşık 1500 yıl önce Hindistan'da ortaya çıktı. Araplar onları Avrupa'ya getirdi, bu yüzden onlara denir Arap rakamları.
Toplam on basamak vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bu rakamlar herhangi bir doğal sayıyı yazmak için kullanılabilir.
Hatırlamak!
doğal seri tüm doğal sayıların dizisi:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Doğal dizide her sayı bir öncekinden 1 fazladır.
Doğal seri sonsuzdur, içinde en büyük doğal sayı yoktur.
Kullandığımız sayma sisteminin adı ondalık konumsal.
Ondalık çünkü her basamağın 10 birimi en anlamlı basamağın 1 birimini oluşturur. Konumsal çünkü bir basamağın değeri, bir sayının gösterimindeki yerine, yani yazıldığı basamaktaki yerine bağlıdır.
Önemli!
Milyardan sonraki sınıflar, sayıların Latince adlarına göre adlandırılır. Sonraki her birim, önceki bin birimi içerir.
- 1.000 milyar = 1.000.000.000.000 = 1 trilyon (“üç”, Latince “üç” anlamına gelir)
- 1.000 trilyon = 1.000.000.000.000.000 = 1 katrilyon (“quadra” Latince “dört” anlamına gelir)
- 1.000 katrilyon = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kentilyon (“quinta” Latince “beş” anlamına gelir)
Ancak fizikçiler, tüm evrendeki tüm atomların (maddenin en küçük parçacıkları) sayısını aşan bir sayı bulmuşlardır.
Bu numaranın özel bir adı var - googol. Bir googol, 100 sıfır içeren bir sayıdır.