Magkaparehong mga kadahilanan ng agnas ng mga numero. Ano ang mga pangunahing numero? Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?
Pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan- Ito ay isang karaniwang problema na kailangan mong malutas. Maaaring kailanganin ang Prime factorization kapag naghahanap ng GCD (Greatest Common Factor) at LCM (Least Common Multiple), at kapag sinusuri kung ang mga numero ay coprime.
Ang lahat ng mga numero ay maaaring nahahati sa dalawang pangunahing uri:
- Prime number ay isang numero na nahahati lamang sa sarili nito at 1.
- Composite number ay isang numero na may mga divisors maliban sa sarili nito at 1.
Upang suriin kung ang isang numero ay prime o composite, maaari kang gumamit ng isang espesyal na talahanayan ng mga prime number.
Pangunahing talahanayan ng mga numero
Para sa kadalian ng pagkalkula, lahat mga pangunahing numero ay nakolekta sa isang mesa. Nasa ibaba ang isang talahanayan ng mga prime number mula 1 hanggang 1000.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Prime factorization
Upang i-factor ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, maaari kang gumamit ng isang talahanayan ng mga prime na numero at mga palatandaan ng divisibility ng mga numero. Hanggang sa maging katumbas ng 1 ang numero, kailangan mong pumili ng prime number kung saan hinahati ang kasalukuyang numero at isagawa ang dibisyon. Kung hindi posible na makahanap ng isang kadahilanan na hindi katumbas ng 1 at ang numero mismo, kung gayon ang numero ay prime. Tingnan natin kung paano ito ginagawa gamit ang isang halimbawa.
I-factor ang numerong 63140 sa prime factor.
Upang hindi mawala ang mga kadahilanan, isusulat namin ang mga ito sa isang hanay, tulad ng ipinapakita sa larawan. Ang solusyon na ito ay medyo compact at maginhawa. Tingnan natin ito nang mas malapitan.
Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga pangunahing divisors nito:
28 = 2 2 7
Tinatawag ang kanang bahagi ng mga resultang pagkakapantay-pantay prime factorization bilang 15 at 28.
Upang i-factor ang isang naibigay na composite number sa prime factor ay nangangahulugan na kinakatawan ang numerong ito bilang isang produkto ng prime factor nito.
Ang pagkabulok ng isang naibigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan ay isinasagawa bilang mga sumusunod:
- Una kailangan mong piliin ang pinakamaliit na prime number mula sa talahanayan ng mga prime number na naghahati sa ibinigay na composite number nang walang natitira, at isagawa ang dibisyon.
- Susunod, kailangan mong piliin muli ang pinakamaliit na prime number kung saan ang nakuha na quotient ay hahatiin nang walang natitira.
- Ang pangalawang aksyon ay paulit-ulit hanggang sa makuha ang isa sa quotient.
Bilang halimbawa, i-factorize natin ang numerong 940 sa prime factor. Hanapin ang pinakamaliit na prime number na naghahati sa 940. Ang numerong ito ay 2:
Ngayon pipiliin namin ang pinakamaliit na prime number na nahahati sa 470. Ang numerong ito ay 2 muli:
Ang pinakamaliit na prime number na nahahati sa 235 ay 5:
Ang numerong 47 ay prime, na nangangahulugang ang pinakamaliit na prime number na maaaring hatiin ng 47 ay ang numero mismo:
Kaya, nakukuha natin ang bilang na 940, na isinasali sa mga pangunahing kadahilanan:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Kung ang pagkabulok ng isang numero sa pangunahing mga kadahilanan ay nagresulta sa ilang magkatulad na mga kadahilanan, kung gayon para sa kaiklian, maaari silang isulat sa anyo ng isang kapangyarihan:
940 = 2 2 5 47
Ito ay pinaka-maginhawa upang isulat ang agnas sa mga pangunahing kadahilanan tulad ng sumusunod: una naming isulat ang pinagsama-samang numero at gumuhit ng isang patayong linya sa kanan nito:
Sa kanan ng linya ay isinusulat namin ang pinakamaliit na prime divisor kung saan hinahati ang ibinigay na composite number:
Ginagawa namin ang dibisyon at isulat ang nagresultang quotient sa ilalim ng dibidendo:
Kumilos kami gamit ang quotient sa parehong paraan tulad ng ibinigay na composite number, ibig sabihin, pipiliin namin ang pinakamaliit na prime number kung saan ito ay nahahati nang walang natitira at ginagawa ang dibisyon. At inuulit namin ito hanggang sa makakuha kami ng unit sa quotient:
Pakitandaan na kung minsan ay medyo mahirap i-factor ang isang numero sa mga prime factor, dahil sa panahon ng factorization maaari tayong makatagpo ng malaking bilang na mahirap agad na matukoy kung ito ay prime o composite. At kung ito ay pinagsama-sama, kung gayon hindi laging madaling mahanap ang pinakamaliit na prime divisor nito.
Subukan natin, halimbawa, na i-factor ang numerong 5106 sa prime factor:
Nang maabot ang quotient 851, mahirap agad na matukoy ang pinakamaliit na divisor nito. Bumaling kami sa talahanayan ng mga pangunahing numero. Kung mayroong isang numero sa loob nito na naglalagay sa atin sa kahirapan, kung gayon ito ay mahahati lamang sa sarili at isa. Ang numerong 851 ay wala sa talahanayan ng mga pangunahing numero, na nangangahulugang ito ay pinagsama-sama. Ang natitira na lang ay hatiin ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap sa mga prime number: 3, 7, 11, 13, ..., at iba pa hanggang sa makakita tayo ng angkop na prime divisor. Sa pamamagitan ng malupit na puwersa, nakita natin na ang 851 ay nahahati sa bilang na 23.
Aralin sa ika-6 na baitang sa paksa
"Prime factorization"
Layunin ng aralin:
Pang-edukasyon:
Bumuo ng isang pag-unawa sa pagkabulok ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan, ang kakayahang praktikal na gamitin ang kaukulang algorithm.
Upang bumuo ng mga kasanayan sa paggamit ng mga palatandaan ng divisibility kapag nabubulok ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Pang-edukasyon:
Bumuo ng mga kasanayan sa computational, ang kakayahang mag-generalize, mag-analisa, matukoy ang mga pattern, at maghambing.
Pang-edukasyon:
Upang linangin ang atensyon, isang kultura ng pag-iisip ng matematika, at isang seryosong saloobin sa gawaing pang-edukasyon.
Nilalaman ng aralin:
1. Oral na pagbibilang.
2. Pag-uulit ng materyal na sakop.
3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.
4. Pag-aayos ng materyal.
5. Pagninilay.
6. Pagbubuod ng aralin.
Sa panahon ng mga klase
Pagganyak (pagpapasya sa sarili) para sa mga aktibidad na pang-edukasyon.
Hello guys. Ang paksa ng ating aralin ay "Pag-factor ng mga numero sa prime factor." Bahagyang pamilyar ka na rito. At upang mas maitakda ang layunin ng aralin, gagawa tayo ng kaunti pasalita.
Sundin ang mga hakbang (pasalita) .
Kalkulahin:
1. 15 x(325 -325) + 236x1 – 30:1 206
2. 207 – (0 x4376 -0:585) + 315: 315 208
3. (60 – 0:60) + (150:1 -48x0) 210
4. (707:707 +211x1):1 -0:123 212
Pag-uulit ng natutunang materyal
Ipagpatuloy ang resultang hilera para sa 3 numero
(206; 208;210; 212;214;216;218)
Pumili ng mga divisible na numero mula sa kanila
hanggang: 2 (206; 208;210; 212;214;216;218)
ni 3: (210;216)
sa 9: (216)
sa 5: (210)
ng 4: (208; 212; 216)
Bumuo ng mga palatandaan ng divisibility
Mga Tanong: 1. Anong mga numero ang tinatawag na prime?
2. Anong mga numero ang tinatawag na composite?
3. Anong uri ng numero ang 1?
4. Pangalanan ang lahat ng prime number sa unang dalawang sampu.
5. Ilan ang mga prime number sa kabuuan?
6. Ang numero 32 ba ay prime?
7. Ang numero ba ay 73 prime?
Paliwanag ng bagong materyal.
Malutas natin ang isang napaka-kagiliw-giliw na problema.
Noong unang panahon may gulo at isang lola. May manok silang Ryaba. Ang inahing manok ay naglalagay ng bawat ikapitong itlog ay ginto, at bawat ikatlong ay pilak. Posible kaya ito?
(Sagot: hindi, dahil ang 21 na itlog ay maaaring ginto o pilak) Bakit?
Ano ang dapat nating matutunan sa klase ngayon? (I-decompose ang anumang numero sa prime factor)
Bakit sa tingin mo kailangan natin ito? (upang malutas ang mas kumplikadong mga halimbawa at bawasan din ang mga fraction)
Ngayon ang paksa ng ating aralin ay tutulong sa atin na mas maunawaan at malutas ang mga ganitong problema.
Lutasin ang problema: Kailangan mong pumili ng isang hugis-parihaba na plot ng lupa na may lawak na 18 metro kuwadrado. m., Ano ang maaaring maging mga sukat ng lugar na ito kung dapat silang ipahayag sa natural na mga numero?
Solusyon: 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3
2. 18= 2 x 9 = 2x3x3
3. 18=3 x 6 = 3 x2x 3
Magtrabaho nang magkapares.
Ano'ng nagawa natin? (Iniharap bilang isang produkto o naka-factor). Posible bang ipagpatuloy ang agnas? Ngunit bilang? Ano ang nakuha mo?
Tanong: Paano ang mga multiplier na ito?
Ang lahat ng mga kadahilanan ay mga pangunahing numero.
Buksan ang aklat-aralin Ano ang dapat kong gawin? Sino ang makapagpapaliwanag sa akin kung paano ito ginagawa? (Pagtalakay sa dalawa)
Gamit ang nasuri na halimbawa, ide-decompose namin ang numero 84 sa mga pangunahing kadahilanan (decomposition algorithm):
84 2 756 2 - ipinapakita ng guro sa pisara.
42 2 378 2
21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2 ∙3∙7
7 7 63 3
1 21 3 756= 2x2x3x3x3x3
Factor 756 sa mga pangunahing kadahilanan nito. Ikumpara sa aking solusyon. Ano ang napansin mo?
Sa pahina 194, hanapin ang sagot sa sumusunod na tanong?
Ang anumang numero ay maaaring palawakin sa isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan
ang tanging paraan.
Pagpapatibay ng materyal na natutunan .
1. I-factor ang mga numero sa prime factor: 20; 188; 254.
susuriin natin Slide 12
20 2 188 2 254 2
10 2 94 2 127 127
5 5 47 47 1 1
1 1 1
№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.
Ang lahat ay inaalok ng mga card. Ang mga mag-aaral ay magpapasya at suriin ang orihinal, na nasa desk ng guro. Kung nagawa nang tama, bigyan ang iyong sarili ng plus sign sa talahanayan ng buod. (Lutasin ng 3)
Card No. 2. I-factor ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan: 30; 136; 438.
Card No. 3. I-factor ang mga numero sa prime factor: 40; 125; 326.
Card No. 4. I-factor ang mga numero sa prime factor: 50; 78; 285.
Card No. 5. I-factor ang mga numero sa prime factor: 60; 654; 99.
Numero ng card 6. I-factor ang mga numero sa prime factor: 70; 65; 136.
Matapos makumpleto ang gawain ay susuriin namin.
№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.
№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163
№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3∙5∙9.
№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11
№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.
Bottom line.
Ano ang ibig sabihin ng pag-factor ng isang numero sa prime factor?
(Palawakin natural na numero sa pamamagitan ng mga pangunahing kadahilanan - nangangahulugan ito na kumakatawan sa isang numero bilang isang produkto ng mga pangunahing numero.)
2) Mayroon bang kakaibang pagkabulok ng natural na bilang sa prime factor?
(Gaano man natin mabulok ang isang natural na numero sa mga pangunahing kadahilanan, nakukuha natin ang tanging agnas nito; hindi isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga salik.)
Takdang aralin.
i-factor ang anumang 4 na numero sa prime factor.
(maliban sa 0 at 1) ay may hindi bababa sa dalawang divisors: 1 at mismo. Tinatawag ang mga numero na walang ibang divisors simple lang numero. Ang mga numero na may iba pang mga divisors ay tinatawag pinagsama-sama(o kumplikado) numero. Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number. Ang mga sumusunod ay prime number na hindi hihigit sa 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Pagpaparami- isa sa apat na pangunahing mga operasyon sa aritmetika, isang binary mathematical na operasyon kung saan ang isang argument ay idinaragdag nang kasing dami ng iba. Sa aritmetika, ang multiplikasyon ay isang maikling anyo ng pagdaragdag ng isang tiyak na bilang ng magkaparehong termino.
Halimbawa, ang notasyong 5*3 ay nangangahulugang “magdagdag ng tatlong singko,” ibig sabihin, 5+5+5. Ang resulta ng pagpaparami ay tinatawag trabaho, at ang mga numerong paramihin ay mga multiplier o mga kadahilanan. Ang unang kadahilanan ay kung minsan ay tinatawag na " multiplikado».
Ang bawat pinagsama-samang numero ay maaaring i-factor sa mga pangunahing kadahilanan. Sa anumang paraan, ang parehong pagpapalawak ay nakuha, kung hindi mo isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan isinulat ang mga kadahilanan.
Pag-factor ng isang numero (Factorization).
Factorization (factorization)- enumeration of divisors - isang algorithm para sa factorization o pagsubok sa primality ng isang numero sa pamamagitan ng ganap na pag-enumerate ng lahat ng posibleng potensyal na divisors.
Iyon ay, sa mga simpleng termino, ang factorization ay ang pangalan ng proseso ng mga numero ng factoring, na ipinahayag sa wikang siyentipiko.
Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag isinasali sa mga pangunahing kadahilanan:
1. Suriin kung ang iminungkahing numero ay prime.
2. Kung hindi, kung gayon, ginagabayan ng mga palatandaan ng dibisyon, pumili kami ng isang divisor mula sa mga pangunahing numero, na nagsisimula sa pinakamaliit (2, 3, 5 ...).
3. Uulitin namin ang pagkilos na ito hanggang sa maging prime number ang quotient.
Ang bawat natural na numero, maliban sa isa, ay may dalawa o higit pang mga salik. Halimbawa, ang bilang na 7 ay nahahati lamang ng 1 at 7 nang walang natitira, iyon ay, mayroon itong dalawang divisors. At ang numero 8 ay may mga divisors 1, 2, 4, 8, iyon ay, kasing dami ng 4 na divisors nang sabay-sabay.
Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng prime at composite na mga numero?
Ang mga numero na may higit sa dalawang divisors ay tinatawag na composite numbers. Ang mga numero na mayroon lamang dalawang divisors: isa at ang numero mismo ay tinatawag na prime number.
Ang numero 1 ay may isang dibisyon lamang, lalo na ang numero mismo. Ang isa ay hindi prime o composite na numero.
- Halimbawa, ang numero 7 ay prime at ang numero 8 ay composite.
Unang 10 pangunahing numero: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Ang numero 2 ay ang tanging even na prime number, lahat ng iba pang prime number ay odd.
Ang bilang na 78 ay pinagsama-sama, dahil bilang karagdagan sa 1 at mismo, ito ay nahahati din ng 2. Kapag hinati sa 2, makakakuha tayo ng 39. Ibig sabihin, 78 = 2*39. Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila na ang bilang ay isinaalang-alang sa mga kadahilanan ng 2 at 39.
Ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa dalawang salik, na ang bawat isa ay higit sa 1. Ang trick na ito ay hindi gagana sa isang prime number. Kaya ito napupunta.
Pag-factor ng isang numero sa mga pangunahing kadahilanan
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring i-factor sa dalawang salik. Kunin natin, halimbawa, ang bilang na 210. Ang numerong ito ay maaaring mabulok sa dalawang salik na 21 at 10. Ngunit ang mga bilang na 21 at 10 ay pinagsama-sama rin, ating i-decompose ang mga ito sa dalawang salik. Nakukuha namin ang 10 = 2*5, 21=3*7. At bilang isang resulta, ang numero 210 ay nabulok sa 4 na mga kadahilanan: 2,3,5,7. Ang mga numerong ito ay prime na at hindi na mapapalawak. Ibig sabihin, isinaalang-alang namin ang numerong 210 sa mga pangunahing kadahilanan.
Kapag isinasali ang mga pinagsama-samang numero sa mga pangunahing kadahilanan, kadalasang isinusulat ang mga ito sa pataas na pagkakasunud-sunod.
Dapat tandaan na ang anumang pinagsama-samang numero ay maaaring mabulok sa mga pangunahing kadahilanan at sa isang natatanging paraan, hanggang sa permutasyon.
- Karaniwan, kapag nabubulok ang isang numero sa mga pangunahing kadahilanan, ginagamit ang mga pamantayan sa divisibility.
I-factor natin ang numerong 378 sa prime factor
Isusulat namin ang mga numero, na pinaghihiwalay ang mga ito sa isang patayong linya. Ang numerong 378 ay nahahati sa 2, dahil nagtatapos ito sa 8. Kapag hinati, nakukuha natin ang bilang na 189. Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 189 ay nahahati sa 3, na nangangahulugang ang numerong 189 mismo ay nahahati sa 3. Ang resulta ay 63.
Ang bilang na 63 ay nahahati din ng 3, ayon sa divisibility. Nakukuha natin ang 21, ang numerong 21 ay maaaring hatiin muli ng 3, makakakuha tayo ng 7. Ang pito ay nahahati lamang sa sarili, makakakuha tayo ng isa. Nakumpleto nito ang paghahati. Sa kanan pagkatapos ng linya ay ang pangunahing mga kadahilanan kung saan ang bilang na 378 ay nabubulok.
378|2
189|3
63|3
21|3
- Rene Descartes: maikling talambuhay at mga kontribusyon sa agham
- Ano ang kaalaman? Mga uri ng kaalaman. Ang kaalaman ay buhay! Kung walang kinakailangang kaalaman, imposibleng mabuhay kahit saan. Ano ang kahulugan ng kapaki-pakinabang na kaalaman?
- Mga aklat sa mahika: pagbubukas ng belo ng mga lihim
- Pagpapakahulugan sa Pangarap: bakit nangangarap ka ng isang Tuta, upang makita ang isang Tuta sa isang panaginip, ano ang ibig sabihin ng Dream Puppy?