Alkulukujen historia. Numeroiden tositarina

Alkulukujen ominaisuuksia tutkivat ensin antiikin Kreikan matemaatikot. Pythagoraan koulukunnan matemaatikot (500 - 300 eKr.) olivat ensisijaisesti kiinnostuneita alkulukujen mystisista ja numerologisista ominaisuuksista. He olivat ensimmäiset, jotka keksivät ideoita täydellisistä ja ystävällisistä numeroista.

Täydellisellä luvulla on omien jakajiensa summa, joka on yhtä suuri kuin itsensä. Esimerkiksi luvun 6 oikeat jakajat ovat 1, 2 ja 3. 1 + 2 + 3 = 6. Numeron 28 jakajat ovat 1, 2, 4, 7 ja 14. Lisäksi 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Lukuja kutsutaan ystävällisiksi, jos yhden luvun oikeiden jakajien summa on yhtä suuri kuin toisen luvun ja päinvastoin - esimerkiksi 220 ja 284. Voidaan sanoa, että täydellinen luku on ystävällinen itselleen.

Eukleideen elementtien aikaan vuonna 300 eaa. Useita tärkeitä faktoja alkuluvuista on jo todistettu. Kirjassa IX Elements Euclid osoitti, että alkulukuja on ääretön määrä. Tämä on muuten yksi ensimmäisistä esimerkeistä ristiriitaisen todisteen käyttämisestä. Hän myös todistaa aritmeettisen peruslauseen - jokainen kokonaisluku voidaan esittää yksilöllisesti alkulukujen tulona.

Hän osoitti myös, että jos luku 2n-1 on alkuluku, niin luku 2n-1 * (2n-1) on täydellinen. Toinen matemaatikko Euler pystyi osoittamaan vuonna 1747, että kaikki jopa täydelliset luvut voidaan kirjoittaa tähän muotoon. Tähän päivään mennessä ei tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.

Vuonna 200 eaa. Kreikkalainen Eratosthenes keksi Eratosthenesin seulaksi kutsutun algoritmin alkulukujen löytämiseksi.

Ja sitten tapahtui suuri tauko alkulukujen tutkimuksen historiassa, joka liittyy keskiaikaan.

Seuraavat löydöt teki matemaatikko Fermat jo 1600-luvun alussa. Hän todisti Albert Girardin oletuksen, että mikä tahansa alkuluku muotoa 4n+1 voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti kahden neliön summaksi, ja myös muotoili lauseen, että mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa neljän neliön summana.

Hän kehitti uuden menetelmän suurten lukujen laskentaan ja osoitti sen numerolla 2027651281 = 44021? 46061. Hän todisti myös Fermatin pienen lauseen: jos p on alkuluku, niin mille tahansa kokonaisluvulle a on totta, että a p = a modulo p.

Tämä väite todistaa puolet "kiinalaiseksi olettamukseksi" kutsutusta ja 2000 vuoden takaa: kokonaisluku n on alkuluku silloin ja vain jos 2 n -2 on jaollinen n:llä. Hypoteesin toinen osa osoittautui vääräksi - esimerkiksi 2 341 - 2 on jaollinen luvulla 341, vaikka luku 341 on yhdistelmä: 341 = 31? yksitoista.

Fermat'n pieni lause toimi perustana monille muille lukuteorian tuloksille ja menetelmille, joilla testattiin, ovatko luvut alkulukuja - joista monet ovat edelleen käytössä.

Fermat oli paljon kirjeenvaihtoa aikalaistensa kanssa, erityisesti Maren Mersenne -nimisen munkin kanssa. Yhdessä kirjeessään hän oletti, että muotoa 2 n +1 olevat luvut ovat aina alkulukuja, jos n on kahden potenssi. Hän testasi tätä arvoille n = 1, 2, 4, 8 ja 16 ja oli varma, että tapauksessa, jossa n ei ole kahden potenssi, luku ei välttämättä ollut alkuluku. Näitä lukuja kutsutaan Fermatin luvuiksi, ja vasta 100 vuotta myöhemmin Euler osoitti, että seuraava luku, 2 32 + 1 = 4294967297, on jaollinen luvulla 641, joten se ei ole alkuluku.

Myös muotoa 2 n - 1 olevat luvut ovat olleet tutkimuksen kohteena, koska on helppo osoittaa, että jos n on yhdistelmä, niin luku itse on myös yhdistelmä. Näitä lukuja kutsutaan Mersennen numeroiksi, koska hän tutki niitä laajasti.

Mutta kaikki luvut muotoa 2 n - 1, jossa n on alkuluku, eivät ole alkulukuja. Esimerkiksi 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Tämä löydettiin ensimmäisen kerran vuonna 1536.

Useiden vuosien ajan tällaiset luvut tarjosivat matemaatikoille suurimmat tunnetut alkuluvut. Cataldi todisti M 19:n vuonna 1588, ja se oli 200 vuoden ajan suurin tunnettu alkuluku, kunnes Euler osoitti, että M 31 oli myös alkuluku. Tämä ennätys kesti toiset sata vuotta, ja sitten Lucas osoitti, että M 127 on prime (ja tämä on jo 39 numeroa), ja sen jälkeen tutkimus jatkui tietokoneiden myötä.

Vuonna 1952 lukujen M 521, M 607, M 1279, M 2203 ja M 2281 ensiluokkaisuus todistettiin.

Vuoteen 2005 mennessä oli löydetty 42 Mersennen alkulukua. Suurin niistä, M 25964951, koostuu 7816230 numerosta.

Eulerin työllä oli valtava vaikutus lukuteoriaan, mukaan lukien alkuluvut. Hän laajensi Fermat'n pientä lausetta ja esitteli ?-funktion. Kertoi 5. Fermat-luvun 2 32 +1, löysi 60 paria ystävällisiä lukuja ja muotoili (mutta ei pystynyt todistamaan) neliöllisen vastavuoroisuuden lain.

Hän oli ensimmäinen, joka otti käyttöön matemaattisen analyysin menetelmät ja kehitti analyyttisen lukuteorian. Hän osoitti, että ei vain harmoninen sarja? (1/n), mutta myös muodon sarja

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Myös alkulukujen käänteissummalla saatu tulos hajoaa. Harmonisen sarjan n ehdon summa kasvaa suunnilleen log(n) ja toinen sarja poikkeaa hitaammin log[ log(n) ]:na. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi kaikkien tähän päivään mennessä löydettyjen alkulukujen käänteislukujen summa antaa vain 4, vaikka sarja kuitenkin poikkeaakin.

Ensi silmäyksellä näyttää siltä, ​​​​että alkuluvut jakautuvat melko satunnaisesti kokonaislukujen kesken. Esimerkiksi 100 luvun joukossa välittömästi ennen 10000000 on 9 alkulukua, ja 100 luvun joukossa välittömästi tämän arvon jälkeen on vain 2. Mutta suurilla segmenteillä alkuluvut jakautuvat melko tasaisesti. Legendre ja Gauss käsittelivät jakeluaan liittyviä kysymyksiä. Gauss kertoi kerran ystävälleen, että hän laskee aina seuraavien 1000 luvun alkulukujen määrän missä tahansa vapaassa 15 minuutissa. Elämänsä loppuun mennessä hän oli laskenut kaikki alkuluvut kolmeen miljoonaan. Legendre ja Gauss laskivat yhtä lailla, että suurelle n:lle alkutiheys on 1/log(n). Legendre arvioi alkulukujen lukumäärän välillä 1 - n as

?(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Ja Gauss on kuin logaritminen integraali

?(n) = ? 1/log(t)dt

Integrointivälillä 2 - n.

Väite alkulukujen 1/log(n) tiheydestä tunnetaan alkujakaumalauseena. He yrittivät todistaa sen koko 1800-luvun, ja edistystä saavuttivat Chebyshev ja Riemann. He yhdistivät sen Riemannin hypoteesiin, joka on vielä todistamaton hypoteesi Riemannin zeta-funktion nollien jakautumisesta. Alkulukujen tiheyden osoittivat samanaikaisesti Hadamard ja Vallée-Poussin vuonna 1896.

Alkulukuteoriassa on vielä monia ratkaisemattomia kysymyksiä, joista osa on satoja vuosia vanhoja:

• Kaksoisalkulukuhypoteesi kertoo äärettömästä määrästä alkulukupareja, jotka eroavat toisistaan ​​2
• Goldbachin olettamus: mikä tahansa parillinen luku, joka alkaa 4:stä, voidaan esittää kahden alkuluvun summana
• Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n 2 + 1?
• Onko aina mahdollista löytää alkuluku välillä n 2 ja (n + 1) 2? (sen tosiasian, että n:n ja 2n:n välillä on aina alkuluku, todisti Chebyshev)
• Onko Fermat-alkulukujen määrä ääretön? Onko Fermat-alkulukuja 4:n jälkeen?
• onko olemassa peräkkäisten alkulukujen aritmeettista etenemistä mille tahansa pituudelle? esimerkiksi pituudelle 4: 251, 257, 263, 269. Suurin löydetty pituus on 26.
• Onko aritmeettisessa progressiossa ääretön määrä kolmen peräkkäisen alkuluvun joukkoja?
• n 2 - n + 41 – alkuluku 0:lle? n? 40. Onko tällaisia ​​alkulukuja ääretön määrä? Sama kysymys kaavalle n 2 - 79 n + 1601. Ovatko nämä luvut 0:n alkulukuja? n? 79.
• Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n# + 1? (n# on tulos kertomalla kaikki n:ää pienemmät alkuluvut)
• Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n# -1?
• Onko olemassa ääretön määrä n-muotoisia alkulukuja? + 1?
• Onko olemassa ääretön määrä n-muotoisia alkulukuja? - 1?
• jos p on alkuluku, eikö 2 p -1 aina sisällä alkuneliöitä sen tekijöiden joukossa?
• sisältääkö Fibonacci-sekvenssi äärettömän määrän alkulukuja?

Suurimmat kaksoisalkuluvut ovat 2003663613? 2 195000 ± 1. Ne koostuvat 58711 numerosta, ja ne löydettiin vuonna 2007.

Suurin faktoriaalinen alkuluku (tyyppiä n! ± 1) on 147855! - 1. Se koostuu 142891 numerosta ja löydettiin vuonna 2002.

Suurin alkuluku (muotoa n# ± 1) on 1098133# + 1.

Voit auttaa ja siirtää varoja sivuston kehittämiseen



Kunnallinen oppilaitos "Chastoozerskin lukio"

Tutkimustyö aiheesta:

"Luvut hallitsevat maailmaa!"

Työ valmistui:

6 luokan oppilas.

Valvoja: ,

matematiikan opettaja.

Kanssa. Chastoozerye.

I. Johdanto. -3 sivua

II. Pääosa. -4 sivua

· Matematiikka muinaisten kreikkalaisten keskuudessa. - 4 sivua

· Pythagoras Samoksen. -6 sivua

· Pythagoras ja numerot. -8 s.

2. Numerot ovat yksinkertaisia ​​ja yhdistettyjä. -10 s.

3. Goldbachin ongelma. -12 s.

4. Jakautuvuuden merkit. -13 s.

5. Luonnollisten lukujen omituiset ominaisuudet.-15pp.

6. Numerotemppuja. -18 s.

III. Johtopäätös. -22 s.

IV. Bibliografia. -23 s.

I. Johdanto.

Merkityksellisyys:

Tutkiessaan aihetta "Lukujen jaottelu" matematiikan tunneilla opettaja ehdotti raportin laatimista alku- ja yhdistelmälukujen löytämisen historiasta. Viestiä valmistellessa minua kiinnostivat Pythagoraan sanat ”Luvut hallitsevat maailmaa!”

Kysymyksiä on herännyt:

· Milloin numerotiede syntyi?

· Kuka osallistui lukutieteen kehitykseen?

· Numeroiden merkitys matematiikassa?

Päätin tutkia yksityiskohtaisesti ja tehdä yhteenvedon materiaalista numeroista ja niiden ominaisuuksista.

Tutkimuksen tarkoitus: tutkia alku- ja yhdistelmälukuja ja näyttää niiden rooli matematiikassa.

Tutkimuksen kohde: alku- ja yhdistelmäluvut.

Hypoteesi: Jos Pythagoraan sanoin: ”Luvut hallitsevat maailmaa,

mikä on heidän roolinsa matematiikassa.

Tutkimustavoitteet:

I. Kerää ja tiivistä kaikenlaista tietoa alku- ja yhdistelmäluvuista.

II. Näytä numeroiden merkitys matematiikassa.

III. Näytä luonnollisten lukujen mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Tutkimusmenetelmät:

· Kirjallisuuden teoreettinen analyysi.

· Tietojen systematisointi- ja käsittelymenetelmä.

II. Pääosa.

1. Lukutieteen syntyhistoria.

· Matematiikka muinaisten kreikkalaisten keskuudessa.

Sekä Egyptissä että Babylonissa numeroita käytettiin pääasiassa käytännön ongelmien ratkaisemiseen.

Tilanne muuttui, kun kreikkalaiset ottivat matematiikan käyttöön. Heidän käsissään matematiikka muuttui käsityöstä tieteeksi.

Kreikkalaiset heimot alkoivat asettua Välimeren pohjois- ja itärannalle noin neljätuhatta vuotta sitten.

Suurin osa kreikkalaisista asettui Balkanin niemimaalle - missä Kreikan valtio on nyt. Loput asettuivat Välimeren saarille ja Vähä-Aasian rannikolle.

Kreikkalaiset olivat erinomaisia ​​merimiehiä. Heidän kevyet, teräväkärkiset aluksensa kulkivat Välimerellä kaikkiin suuntiin. He toivat astioita ja koruja Babylonista, pronssisia aseita Egyptistä, eläinten nahkoja ja leipää Mustanmeren rannoilta. Ja tietysti, kuten muutkin kansat, laivat toivat tietoa Kreikkaan tavaroiden mukana. Mutta kreikkalaiset eivät ole vain

oppinut muilta kansoilta. Hyvin pian he ohittivat opettajansa.

Kreikkalaiset mestarit rakensivat hämmästyttävän kauniita palatseja ja temppeleitä, jotka myöhemmin toimivat mallina kaikkien maiden arkkitehdeille tuhansien vuosien ajan.

Kreikkalaiset kuvanveistäjät loivat upeita patsaita marmorista. Eikä vain "todellinen" matematiikka alkanut kreikkalaisista tiedemiehistä, vaan myös monet muut tieteet, joita opiskelemme koulussa.

Tiedätkö, miksi kreikkalaiset olivat matematiikassa edellä muita kansakuntia? Koska he olivat hyviä väittelemään.

Miten keskustelu voi auttaa tiedettä?

Muinaisina aikoina Kreikka koostui monista pienistä valtioista. Lähes jokainen kaupunki ympäröivine kylineen oli erillinen osavaltio. Joka kerta kun jokin tärkeä valtion kysymys piti ratkaista, kaupunkilaiset kokoontuivat aukiolle keskustelemaan siitä. He väittelivät, kuinka se voitaisiin tehdä paremmin, ja sitten äänestivät. On selvää, että he olivat hyviä väittelijöitä: sellaisissa kokouksissa heidän täytyi kumota vastustajansa, perustella ja todistaa olevansa oikeassa. Muinaiset kreikkalaiset uskoivat, että väittely auttaa löytämään parhaan. Oikein päätös. He jopa keksivät seuraavan sanonnan: "Totuus syntyy kiistassa."

Ja tieteessä kreikkalaiset alkoivat tehdä samoin. Kuin kansankokouksessa. He eivät vain opetelleet sääntöjä ulkoa, vaan etsivät syitä: miksi oli oikein tehdä näin eikä toisin. Kreikkalaiset matemaatikot yrittivät selittää jokaisen säännön ja todistaa, että se ei ollut totta. He riitelivät keskenään. He perustelivat ja yrittivät löytää perusteluissa virheitä.

He todistavat yhden säännön - päättely johtaa toiseen, monimutkaisempaan, sitten kolmanteen, neljänteen. Lait tehtiin säännöistä. Ja lakitiede on matematiikkaa.

Heti kun kreikkalainen matematiikka syntyi, se lähti heti eteenpäin harppauksin. Häntä auttoivat upeat kävelysaappaat, joita muilla kansoilla ei ennen ollut. Niitä kutsuttiin "päättelyksi" ja "todisteeksi".

· Pythagoras Samoksen.

Ensimmäinen, joka puhui numeroista, oli kreikkalainen Pythagoras, joka syntyi Samoksen saarella 6. vuosisadalla jKr.

Siksi häntä kutsutaan usein Samoksen Pythagoraksi. Kreikkalaiset kertoivat tästä ajattelijasta monia legendoja.

Pythagoras osoitti jo varhain kykynsä tieteeseen, ja isä Mnesarchus vei hänet Syyriaan, Tyrokseen, jotta kaldealaiset viisaat voisivat opettaa häntä siellä. Hän oppii Egyptin pappien mysteereistä. Pythagoras alkaa valmistautua Egyptin matkaan, koska hän haluaa päästä heidän piiriinsä ja tulla vihityksi. Hän viettää vuoden Foinikiassa, pappien koulussa. Sitten hän vierailee Egyptissä, Heliopoliksessa. Mutta paikalliset papit olivat epäystävällisiä.

Pythagoras on osoittanut sinnikkyyttä ja läpäissyt äärimmäisen vaikeat pääsykokeet - hänet hyväksytään kastiin. Hän vietti 21 vuotta Egyptissä, opiskeli täydellisesti kaikenlaista egyptiläistä kirjoitusta ja luki monia papyruksia. Egyptiläisten tuntemat matematiikan tosiasiat johtavat hänen omiin matemaattisiin löytöihinsä.

Viisas sanoi: ”Maailmassa on asioita, joihin sinun täytyy pyrkiä. Se on ensinnäkin kaunista ja loistokasta, toiseksi hyödyllistä elämää varten, kolmanneksi iloa tuottavaa. Nautinto on kuitenkin kahdenlaista: toinen, joka tyydyttää ahmattiuutemme ylellisyydellä, on tuhoisa; toinen on vanhurskas ja tarpeellinen elämään."

Numeroilla oli keskeinen paikka Pythagoraan opiskelijoiden ja kannattajien filosofiassa:

« Missä ei ole lukua ja mittaa, on kaaosta ja kimeeriä."

"Viisas asia on numero"

"Luvut hallitsevat maailmaa."

Siksi monet pitävät Pythagorasta numeroinnin isänä - monimutkaisena tieteenä, joka on mysteerin peitossa, joka kuvaa sen tapahtumia, paljastaa menneisyyden ja tulevaisuuden, ennustaa ihmisten kohtalon.

· Pythagoras ja numerot.

Muinaiset kreikkalaiset, ja heidän kanssaan Pythagoras ja Pythagoralaiset, ajattelivat numeroita näkyvästi hiekalle tai laskentalaudalle asetettuina kivinä - abakuksena.

Kiviluvut asetettiin säännöllisten geometristen kuvioiden muodossa, nämä luvut luokiteltiin, ja näin syntyivät luvut, joita nykyään kutsutaan kuviollisiksi luvuiksi: lineaariluvut (eli alkuluvut) - luvut, jotka ovat jaollisia yhdellä ja itsellään ja siksi , joka esitetään sekvenssinä pisteet rivissä

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

kiinteät luvut ilmaistuna kolmen tekijän tulolla

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

neliönumerot:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

Ja. jne. Kuvannollisista numeroista ilmaus " Neliö tai kuutio numero».

Pythagoras ei rajoittunut litteisiin hahmoihin. Pisteistä hän alkoi lisätä pyramideja, kuutioita ja muita kappaleita sekä tutkia pyramidi-, kuutio- ja muita lukuja (ks. kuva 1). Nimi muuten numeroiden kuutio Käytämme sitä edelleen tänään.

Mutta Pythagoras ei ollut tyytyväinen lukuihin, jotka saatiin eri luvuista. Loppujen lopuksi hän julisti, että numerot hallitsevat maailmaa. Siksi hänen oli keksittävä, kuinka käyttää numeroita kuvaamaan sellaisia ​​käsitteitä kuin oikeudenmukaisuus, täydellisyys ja ystävyys.

Täydellisyyden kuvaamiseksi Pythagoras alkoi työstää lukujen jakajia (hän ​​otti jakajan 1, mutta ei ottanut itse numeroa). Hän lisäsi kaikki luvun jakajat, ja jos summa oli pienempi kuin luku, se julistettiin riittämättömäksi, ja jos suurempi, se julistettiin liian suureksi. Ja vasta kun summa oli täsmälleen yhtä suuri kuin luku, se julistettiin täydelliseksi. Ystävyysluvut kuvattiin samalla tavalla - kahta numeroa kutsuttiin ystävällisiksi, jos jokainen niistä oli yhtä suuri kuin toisen luvun jakajien summa. Esimerkiksi luku 6 (6=1+2+3) on täydellinen, numero 28 (1+2+4+7+17) on täydellinen. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, .

2. Numerot ovat yksinkertaisia ​​ja yhdistettyjä.

Moderni matematiikka muistaa ystävälliset tai täydelliset luvut hymyillen lapsuuden harrastuksena.

Ja Pythagoraan esittämät alku- ja yhdistelmälukujen käsitteet ovat edelleen vakavan tutkimuksen kohteena, josta matemaatikot saavat korkeita tieteellisiä palkintoja.

Laskelmien kokemuksen perusteella ihmiset tiesivät, että jokainen luku on joko alkuluku tai useiden alkulukujen tulo. Mutta he eivät tienneet kuinka todistaa sitä. Pythagoras tai joku hänen seuraajistaan ​​löysi todisteen tälle väitteelle.

Alkulukujen roolia matematiikassa on nyt helppo selittää: ne ovat rakennuspalikoita, joista muita lukuja rakennetaan kertolaskulla.

Kuvioiden löytäminen lukusarjasta on matemaatikoille erittäin miellyttävä tapahtuma: näitä kuvioita voidaan käyttää hypoteesien rakentamiseen, todisteiden ja kaavojen testaamiseen. Yksi alkulukujen ominaisuuksista, joka kiinnostaa matemaatikkoja, on se, että he kieltäytyvät tottelemasta mitään kaavaa.

Ainoa tapa määrittää, onko luku 100 895 598 169 ensisijainen, on käyttää melko työlästä "Eratosthenesin seulaa".

Taulukossa on yksi tämän seulan vaihtoehdoista.

Tässä taulukossa kaikki alle 48:aa pienemmät alkuluvut on ympyröity. Ne löytyvät näin: 1:llä on yksi jakaja - itse, joten 1:tä ei pidetä alkulukuna. 2 on pienin (ja ainoa parillinen) alkuluku. Kaikki muut parilliset luvut ovat jaollisia kahdella, mikä tarkoittaa, että niillä on vähintään kolme jakajaa; siksi ne eivät ole yksinkertaisia ​​ja ne voidaan yliviivata. Seuraava ylittämätön luku on 3; sillä on täsmälleen kaksi jakajaa, joten se on alkuluku. Kaikki muut luvut, jotka ovat kolmen kerrannaisia ​​(eli ne, jotka voidaan jakaa kolmella ilman jäännöstä), on yliviivattu. Nyt ensimmäinen numero, jota ei ole yliviivattu, on 5; se on yksinkertainen, ja kaikki sen kerrannaiset voidaan yliviivata.

Jatkamalla monikertojen yliviivausta, voit poistaa kaikki alkuluvut, jotka ovat pienempiä kuin 48.

3. Goldbachin ongelma.

Mikä tahansa luku voidaan saada alkuluvuista kertomalla. Mitä tapahtuu, jos lisäät alkuluvut?

Venäjällä 1700-luvulla asunut matemaatikko Goldbach päätti lisätä parittomat alkuluvut vain pareittain. Hän löysi hämmästyttävän asian: joka kerta, kun hän pystyi esittämään parillisen luvun kahden alkuluvun summana. (Kuten Goldbachin aikana, pidämme 1:tä alkulukuna).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5 jne.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Goldbach kirjoitti havainnostaan ​​suurelle matemaatikolle

XVIII vuosisadalla Leonhard Eulerille, joka oli Pietarin tiedeakatemian jäsen. Testattuaan useita parillisia lukuja Euler oli vakuuttunut, että ne olivat kaikki kahden alkuluvun summa. Mutta parillisia lukuja on äärettömän paljon. Siksi Eulerin laskelmat antoivat vain toivoa, että kaikilla luvuilla oli Goldbachin havaitsema ominaisuus. Yritykset todistaa, että näin tulee aina olemaan, eivät kuitenkaan ole johtaneet mihinkään.

Matemaatikot pohtivat Goldbachin ongelmaa kaksisataa vuotta. Ja vain venäläinen tiedemies Ivan Matveevich Vinogradov onnistui ottamaan ratkaisevan askeleen. Hän totesi, että mikä tahansa riittävän suuri luonnollinen luku on

kolmen alkuluvun summa. Mutta luku, josta Vinogradovin lausunto pitää paikkansa, on käsittämättömän suuri.

4. Jakautuvuuden merkit.

489566: 11 = ?

Jotta voit selvittää, onko tietty luku alkuluku vai yhdistelmä, sinun ei aina tarvitse katsoa alkulukutaulukkoa. Usein tähän riittää jaettavissa olevien merkkien käyttäminen.

· Testaa jaollisuus 2:lla.

Jos luonnollinen luku päättyy parilliseen numeroon, niin luku on parillinen ja jaollinen 2:lla ilman jäännöstä.

· Testaa jaollisuus 3:lla.

Jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin luku on jaollinen kolmella.

· Testaa jaollisuus 4:llä.

Luonnollinen luku, jossa on vähintään kolme numeroa, on jaollinen neljällä, jos luvun kahdesta viimeisestä numerosta muodostuva luku on jaollinen neljällä.

· Testaa jaollisuus 5:llä.

Jos luonnollinen luku päättyy 0:een tai 5:een, niin se luku on jaollinen 5:llä ilman jäännöstä.

· Testaa jaollisuus 7:llä (13:lla).

Luonnollinen luku on jaollinen 7:llä (13:lla), jos kolminumeroisten (alkaen yksiköiden numerosta) kasvot muodostavien lukujen algebrallinen summa otetaan parittomien kasvojen kohdalla +-merkillä ja parillisten kasvojen miinusmerkillä. kasvot, jaetaan luvulla, muodostamme kasvojen algebrallisen summan, alkaen viimeisestä kasvosta ja vuorotellen + ja - merkkejä: + 254 = 679. Luku 679 on jaollinen 7:llä, mikä tarkoittaa, että tämä luku on myös jaollinen 7:llä .

· Testaa jaollisuus 8:lla.

Luonnollinen luku, jossa on vähintään neljä numeroa, on jaollinen 8:lla, jos viimeisestä kolmesta numerosta muodostuva luku on jaollinen 8:lla.

· Testaa jaollisuus 9:llä.

Jos luvun numeroiden summa on jaollinen 9:llä, itse luku on jaollinen 9:llä.

· Testaa jaollisuus 10:llä.

Jos luonnollinen luku päättyy nollaan, se on jaollinen 10:llä.

· Jakokoe 11.

Luonnollinen luku on jaollinen 11:llä, jos sen numeroiden algebrallinen summa, joka otetaan plusmerkillä, jos numerot ovat parittomissa paikoissa (alkaen ykkösistä), ja otetaan miinusmerkillä, jos numerot ovat parillisissa paikoissa. jaollinen, 7 – 1 + 5 = 11, jaollinen luvulla 11).

· Testaa jaollisuus 25:llä.

Luonnollinen luku, jossa on vähintään kolme numeroa, on jaollinen 25:llä, jos luvun kahdesta viimeisestä numerosta muodostuva luku on jaollinen 25:llä.

· Testaa jaollisuus 125:llä.

Luonnollinen luku, joka sisältää vähintään neljä numeroa, on jaollinen 125:llä, jos luvun kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen luvulla 125.

5. Luonnollisten lukujen omituiset ominaisuudet.

Luonnollisilla luvuilla on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia, jotka paljastuvat, kun niille suoritetaan aritmeettisia operaatioita. Mutta on silti helpompi huomata nämä ominaisuudet kuin todistaa ne. Esittelemme useita tällaisia ​​​​ominaisuuksia.

1) Otetaan satunnaisesti jokin luonnollinen luku, esimerkiksi 6, ja kirjoitetaan kaikki sen jakajat: 1, 2, 3.6. Kirjoita kullekin näistä luvuista, kuinka monta jakajaa sillä on. Koska luvulla 1 on vain yksi jakaja (itse luku), 2:lla ja 3:lla on kumpikin kaksi jakajaa ja 6:lla on 4 jakajaa, saamme luvut 1, 2, 2, 4. Niillä on merkittävä ominaisuus: jos nostat nämä luvut kuutiota ja laskemalla yhteen vastaukset, saat täsmälleen saman summan, jonka saisimme lisäämällä ensin nämä luvut ja sitten neliöimällä summan, toisin sanoen

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Laskelmat osoittavat, että sekä vasemmalla että oikealla vastaus on sama, nimittäin 324.

Mitä tahansa numeroa otammekin, huomaamamme omaisuus toteutuu. Mutta tätä on aika vaikea todistaa.

2) . Otetaan mikä tahansa nelinumeroinen luku, esimerkiksi 2519, ja järjestetään sen numerot ensin laskevaan ja sitten nousevaan järjestykseen: ja vähennetään suuremmasta luvusta pienempi: =8262. Tehdään sama tuloksena saadun luvun kanssa: 86=6354. Ja vielä yksi samanlainen vaihe: 65 = 3087. Seuraavaksi = 8352, = 6174. Etkö ole kyllästynyt vähentämään? Otetaan vielä yksi askel: =6174. Jälleen se osoittautui 6174:ksi.

Nyt olemme, kuten ohjelmoijat sanovat, "silmukassa": riippumatta siitä kuinka monta kertaa vähennämme nyt, emme saa mitään muuta kuin 6174. Ehkä tosiasia on, että alkuperäinen numero 2519 valittiin näin? Osoittautuu, että sillä ei ole mitään tekemistä sen kanssa: riippumatta siitä, minkä nelinumeroisen luvun otamme, enintään seitsemän askeleen jälkeen saamme varmasti saman numeron 6174.

3) . Piirretään useita ympyröitä, joilla on yhteinen keskus, ja kirjoitetaan mikä tahansa neljä luonnollista lukua sisäympyrään. Vähennä jokaisesta vierekkäisestä numeroparista pienempi suuremmasta ja kirjoita tulos seuraavaan ympyrään. Osoittautuu, että jos toistat tämän tarpeeksi monta kertaa, yhdellä ympyröistä kaikki luvut ovat yhtä suuria kuin nolla, ja siksi et saa jatkossakin vain nollia. Kuvassa tämä on tapaus, jossa numerot 25, 17, 55, 47 on kirjoitettu sisäympyrään.

4) . Otetaan mikä tahansa luku (jopa tuhatnumeroinen luku), joka on kirjoitettu desimaalilukujärjestelmään. Nelitetään kaikki sen luvut ja lasketaan ne yhteen. Tehdään sama summan kanssa. Osoittautuu, että useiden vaiheiden jälkeen saamme joko luvun 1, jonka jälkeen muita numeroita ei ole, tai 4, jonka jälkeen meillä on numerot 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 ja taas me saada 4. Tämä tarkoittaa, että tässäkään ei voida välttää sykliä.

5. Luodaan tällainen ääretön taulukko. Ensimmäiseen sarakkeeseen kirjoitetaan numerot 4, 7, 10, 13, 16, ... (jokainen seuraava on 3 enemmän kuin edellinen). Numerosta 4 piirretään viiva oikealle lisäämällä numeroita 3:lla jokaisessa vaiheessa. Numerosta 7 piirretään viiva lisäämällä numeroita 5:llä, numerosta 10 - 7:llä jne. Seuraava taulukko on. saatu:

Jos otat minkä tahansa luvun tästä taulukosta, kerrot sen kahdella ja lisäät tuotteeseen 1, saat aina yhdistelmäluvun. Jos teemme saman luvulla, joka ei sisälly tähän taulukkoon, saamme alkuluvun. Otetaan esimerkiksi luku 45 taulukosta Luku 2*45+1=91 on yhdistelmä, se on yhtä kuin 7*13. Mutta numero 14 ei ole taulukossa, ja luku 2*14+1=29 on alkuluku.

Intialainen opiskelija Sundaram keksi vuonna 1934 tämän upean tavan erottaa alkuluvut yhdistelmäluvuista. Numeroiden havainnot paljastavat muitakin merkittäviä väitteitä. Numeroiden maailman ominaisuudet ovat todella ehtymättömät.

Numerotemppuja.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Loppujen lopuksi, jos kirjoitat kolminumeroisen luvun viereen saman numeron uudelleen, alkuperäinen numero kerrotaan 1001:llä (esimerkiksi 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">

Ja nelinumeroiset luvut toistetaan kerran ja jaetaan luvulla 73 137. Ratkaisu on tasa-arvo

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Huomaa, että numeroiden 0, 1, 4, 5, 6 ja 9 kuutiot päättyvät samaan numeroon (esimerkiksi https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24" " height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Lisäksi sinun on muistettava seuraava taulukko, joka näyttää, mistä seuraavien numeroiden viidennen potenssin alkaminen alkaa:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Tämä tarkoittaa, että sinun on lisättävä numero 3 viisinumeroiseen numeroon alun perin kirjoitettu taululle edessä, ja vähennä 3 tuloksena olevasta numerosta.

Jotta yleisö ei arvaa temppua, voit pienentää minkä tahansa luvun ensimmäistä numeroa useilla yksiköillä ja pienentää vastaavaa numeroa yhteensä samalla yksiköiden määrällä. Esimerkiksi kuvassa kolmannen termin ensimmäistä numeroa vähennetään kahdella ja summan vastaavaa numeroa vähennetään samalla määrällä.

Johtopäätös.

Kerättyään ja tiivistettyään materiaalia alku- ja yhdistelmäluvuista, päädyin seuraavaan johtopäätökseen:

1. Numeroiden tutkimus juontaa juurensa muinaisiin ajoiin ja sillä on rikas historia.

2. Alkulukujen rooli matematiikassa on suuri: ne ovat rakennuspalikoita, joista kaikki muut luvut rakennetaan kertolaskulla.

3. Luonnollisilla luvuilla on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Numeroiden maailman ominaisuudet ovat todella ehtymättömät.

4. Valmistamani materiaalia voidaan turvallisesti käyttää matematiikan tunneilla ja matematiikan ympyrän tunneilla. Tämä materiaali auttaa sinua valmistautumaan syvemmin erilaisiin olympialaisiin.

Faktaa numeroista. Nämä ovat alkulukuja ja monia muita. Olemme sisällyttäneet joitain lukuja, kuten Pi ja useita muita, erillisiin materiaaleihin. Suosittelemme siis lukemaan myös ne. Tässä on muutamia hauskoja faktoja numeroista, joka todennäköisesti kiinnostaa sinua.

Faktaa negatiivisista luvuista

Nykyään monet tuntevat negatiiviset luvut, mutta näin ei aina ollut. Negatiivisia lukuja käytettiin ensimmäisen kerran Kiinassa 3. vuosisadalla, mutta niitä saa käyttää vain poikkeustapauksissa, koska niitä pidettiin hölynpölynä. Hieman myöhemmin negatiivisia lukuja alettiin käyttää Intiassa osoittamaan velkoja.

Siten teoksessa "Matematiikka" yhdeksässä kirjassa, joka julkaistiin vuonna 179 jKr. eKr., Han-dynastian aikana ja jota Liu Hui kommentoi vuonna 263, kiinalainen laskentatikkujärjestelmä käytti mustia tikkuja negatiivisille luvuille ja punaisia ​​positiivisille luvuille. Liu Hui käytti myös vinoja laskentatikkuja ilmaisemaan negatiivisia lukuja.

"-"-merkki, jota nykyään käytetään merkitsemään negatiivisia lukuja, nähtiin ensimmäisen kerran muinaisessa Bakhshali-käsikirjoituksessa Intiassa, mutta tutkijat eivät ole yksimielisiä siitä, milloin se on laadittu, ja erimielisyydet vaihtelivat vuodesta 200 jKr. vuoteen 600 jKr. e.

Negatiiviset luvut tunnettiin Intiassa jo vuonna 630 jKr. e.. Niitä käytti matemaatikko Brahmagupta (598-668).

Negatiivisia lukuja käytettiin ensimmäisen kerran Euroopassa noin vuonna 275 jKr. eKr. Kreikkalainen matemaatikko Diophantus Aleksandrialainen otti ne käyttöön, mutta lännessä niitä pidettiin absurdeina, kunnes ilmestyi kirja "Ars Magna" ("Suuri taide"), jonka kirjoitti vuonna 1545 italialainen matemaatikko Girolamo Cardano (1501). -1576).

Alkuluvun tosiasiat

Numerot 2 ja 5 ovat ainoita alkulukujen sarjassa, joka päättyy numeroihin 2 ja 5.

Muita faktoja numeroista

Luku 18 on ainoa luku (0:n lisäksi), jonka numeroiden summa on 2 kertaa pienempi kuin itseään.

2520 on pienin luku, joka voidaan jakaa ilman jäännöstä kaikilla luvuilla 1-10.

Numero "viisi" lausutaan "ha" thain kielellä. Siksi kolmesta viidestä muodostuva luku - 555 - lausutaan slangilauseena, joka ilmaisee ihmisen naurua - "Ha, ha, ha".

Me kaikki tiedämme, että palindromisia sanoja on olemassa. Eli ne, jotka voidaan lukea vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle ja niiden merkitys ei muutu. On kuitenkin myös palindromisia numeroita (palindromoneja). Ne edustavat peilinumeroa, joka luetaan ja jolla on sama arvo molempiin suuntiin, esimerkiksi 1234321.

Sana Googol (Google-brändin alkuperä) edustaa numeroa 1, jota seuraa 100 nollaa.

Ainoa numero, jota ei voi kirjoittaa roomalaisilla numeroilla, on "nolla". Lisäksi modernissa matematiikassa nollalla on joitain erityispiirteitä sen tulkinnassa. Siten venäläisessä matematiikassa sitä ei luokitella luonnollisten lukujen sarjaksi, mutta ulkomaisessa tieteessä se on.

Alkuluvut ovat yhtä suurempia kokonaislukuja, joita ei voida esittää kahden pienemmän luvun tulona. Joten 6 ei ole alkuluku, koska se voidaan esittää luvun 2x3 tulona, ​​ja 5 on alkuluku, koska ainoa tapa esittää se kahden luvun tulona on 1x5 tai 5x1. Jos sinulla on useita kolikoita, mutta et voi järjestää niitä kaikkia suorakaiteen muotoon, vaan voit järjestää ne vain suoraksi, kolikoiden lukumäärä on alkuluku.

Ääretön määrä alkulukuja

Jotkut ihmiset ajattelevat, että alkulukuja ei kannata tutkia syvällisesti, mutta ne ovat olennaisia ​​​​matematiikan kannalta. Jokainen luku voidaan esittää ainutlaatuisella tavalla alkulukuina kerrottuna toisillaan. Tämä tarkoittaa, että alkuluvut ovat "kertolaskuatomeja", pieniä hiukkasia, joista voidaan rakentaa jotain suurta.

Koska alkuluvut ovat kertomalla saatujen kokonaislukujen rakennuspalikoita, monet kokonaislukuongelmat voidaan pelkistää alkulukuongelmiksi. Samoin jotkut kemian ongelmat voidaan ratkaista käyttämällä järjestelmään osallistuvien kemiallisten alkuaineiden atomikoostumusta. Näin ollen, jos alkulukuja olisi äärellinen määrä, voitaisiin yksinkertaisesti tarkistaa yksitellen tietokoneella. Kuitenkin käy ilmi, että on olemassa ääretön määrä alkulukuja, joita matemaatikot ymmärtävät tällä hetkellä huonosti.

Kreikkalainen matemaatikko Euclid osoitti, että alkulukuja on ääretön määrä. Jos sinulla on tietty määrä alkulukuja, kuten p1,...pn, voit harkita lukua p1×...×pn + 1, joka on yksi enemmän kuin kaikki alkuluvut kerrottuna keskenään. Tämä luku ei voi olla minkä tahansa luettelosi lukujen p1,...pn tulo, mutta se on ehdottomasti suurempi kuin 1. Kaikkien alkutekijöiden on siis oltava alkulukuja, joita ei ole luettelossasi. Lisäämällä uusia alkulukuja luetteloosi ja toistamalla samat vaiheet, voit aina löytää ainakin yhden uuden alkuluvun. Siksi alkulukuja täytyy olla ääretön määrä.

Opintojen historia

Kukaan ei tiedä varmasti, missä yhteiskunnassa alkulukuja otettiin ensimmäisen kerran huomioon. Niitä on tutkittu niin kauan, että tiedemiehillä ei ole tietueita noista ajoista. On ehdotuksia, että joillakin varhaisilla sivilisaatioilla oli jonkinlainen käsitys alkuluvuista, mutta ensimmäiset todelliset todisteet tästä ovat peräisin Egyptin papyruskirjoituksista, jotka tehtiin yli 3500 vuotta sitten.

Muinaiset kreikkalaiset olivat todennäköisesti ensimmäisiä, jotka tutkivat alkulukuja tieteellisesti kiinnostavana aiheena, ja he uskoivat, että alkuluvut olivat tärkeitä puhtaasti abstraktille matematiikan kannalta. Eukleideen lausetta opetetaan edelleen kouluissa, vaikka se on yli 2000 vuotta vanha.

Kreikkalaisten jälkeen alkulukuihin kiinnitettiin jälleen vakavaa huomiota 1600-luvulla. Siitä lähtien monet kuuluisat matemaatikot ovat edistäneet merkittävästi alkulukujen ymmärtämistä. Pierre de Fermat teki monia löytöjä ja on kuuluisa Fermatin viimeisestä lauseesta, 350 vuotta vanhasta alkulukujen ongelmasta, jonka Andrew Wiles ratkaisi vuonna 1994. Leonhard Euler todisti monia lauseita 1700-luvulla, ja 1800-luvulla suuria läpimurtoja tekivät Carl Friedrich Gauss, Pafnutius Chebyshev ja Bernhard Riemann erityisesti alkulukujakauman suhteen. Kaikki tämä huipentui edelleen ratkaisemattomaan Riemannin hypoteesiin, jota usein kutsutaan koko matematiikan tärkeimmäksi ratkaisemattomaksi ongelmaksi. Riemannin hypoteesi mahdollistaa erittäin tarkasti alkulukujen esiintymisen ennustamisen ja selittää osittain myös sen, miksi ne ovat niin vaikeita matemaatikoille.

Käytännön sovellukset

Alkuluvuilla on valtava määrä käyttötarkoituksia sekä matematiikan alalla että sen ulkopuolella. Alkulukuja käytetään nykyään lähes joka päivä, vaikka useimmat ihmiset eivät tiedä siitä. Alkuluvut ovat niin tärkeitä tutkijoille, koska ne ovat kertolaskuatomeja. Monet kertolaskua koskevat abstraktit ongelmat voitaisiin ratkaista, jos ihmiset tietäisivät enemmän alkuluvuista. Matemaatikot jakavat usein yhden ongelman useisiin pieniin, ja alkuluvut voisivat auttaa tässä, jos ne ymmärrettäisiin paremmin.

Matematiikan ulkopuolella alkulukujen pääasialliset käyttötarkoitukset liittyvät tietokoneisiin. Tietokoneet tallentavat kaiken datan nollien ja ykkösten sarjana, joka voidaan ilmaista kokonaislukuna. Monet tietokoneohjelmat kertovat tietoihin sidotut numerot. Tämä tarkoittaa, että juuri pinnan alla on alkulukuja. Kun henkilö tekee minkä tahansa verkko-ostoksen, hän käyttää hyväkseen sitä, että on olemassa tapoja kertoa lukuja, joita hakkerin on vaikea tulkita, mutta ostajan helppo. Tämä toimii, koska alkuluvuilla ei ole erityisiä ominaisuuksia - muuten hyökkääjä voi saada pankkikorttitiedot.

Uusien alkulukujen löytäminen

Yksi tapa löytää alkulukuja on tietokonehaku. Tarkistamalla toistuvasti, onko luku kertoimella 2, 3, 4 ja niin edelleen, voidaan helposti määrittää, onko se alkuluku. Jos se ei ole pienen luvun tekijä, se on alkuluku. Tämä on itse asiassa erittäin aikaa vievä tapa selvittää, onko luku alkuluku. On kuitenkin olemassa tehokkaampia tapoja määrittää tämä. Näiden algoritmien tehokkuus jokaiselle numerolle on tulos vuonna 2002 tehdystä teoreettisesta läpimurrosta.

Alkulukuja on melko paljon, joten jos otat suuren luvun ja lisäät siihen yhden, voit törmätä alkuluvun. Itse asiassa monet tietokoneohjelmat luottavat siihen, että alkulukuja ei ole liian vaikea löytää. Tämä tarkoittaa, että jos valitset satunnaisesti 100-numeroisen luvun, tietokoneesi löytää suuremman alkuluvun muutamassa sekunnissa. Koska universumissa on enemmän 100-numeroisia alkulukuja kuin atomeja, on todennäköistä, että kukaan ei tiedä varmasti, että luku on alkuluku.

Tyypillisesti matemaatikot eivät etsi yksittäisiä alkulukuja tietokoneelta, mutta he ovat erittäin kiinnostuneita alkuluvuista, joilla on erityisiä ominaisuuksia. On olemassa kaksi tunnettua ongelmaa: onko olemassa ääretön määrä alkulukuja, jotka ovat yhtä suurempia kuin neliö (esimerkiksi tällä on merkitystä ryhmäteoriassa), ja onko olemassa ääretön määrä alkulukupareja, jotka eroavat toisistaan mennessä 2.

Alkulukujen salaisuudet

Huolimatta siitä, että alkulukuja on tutkittu yli kolmen vuosituhannen ajan ja niillä on yksinkertainen kuvaus, alkuluvuista tiedetään edelleen yllättävän vähän. Esimerkiksi matemaatikot tietävät, että ainoat alkulukuparit, jotka eroavat yhdellä, ovat 2 ja 3. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa ääretön määrä alkulukupareja, jotka eroavat kahdella. Oletetaan, että on olemassa, mutta tätä ei ole vielä todistettu. Tämä on ongelma, joka voidaan selittää kouluikäiselle lapselle, mutta suurimmat matemaattiset mielet ovat ihmetellyt sitä yli 100 vuoden ajan.

Monet kiinnostavimmista alkulukua koskevista kysymyksistä, sekä käytännön että teoreettisesta näkökulmasta, koskevat kuinka monella alkuluvulla on mikä ominaisuus. Vastaus yksinkertaisimpaan kysymykseen - kuinka monta alkulukua on tietyn kokoisia - voidaan teoriassa saada ratkaisemalla Riemannin hypoteesi. Lisäkannustin Riemannin hypoteesin todistamiseen on Clay Mathematics Instituten tarjoama miljoonan dollarin palkinto sekä kunniapaikka kaikkien aikojen merkittävimpien matemaatikoiden joukossa.

Nyt on olemassa hyviä tapoja arvata, mikä on oikea vastaus moniin näistä kysymyksistä. Tällä hetkellä matemaatikoiden arvaukset läpäisevät kaikki numeeriset kokeet, ja niihin on teoreettisia perusteita luottaa. Kuitenkin puhtaan matematiikan ja tietokonealgoritmien toiminnan kannalta on erittäin tärkeää, että nämä arvaukset ovat todella oikeita. Matemaatikot voivat olla täysin tyytyväisiä vain kiistattomiin todisteisiin.

Suurin haaste käytännön soveltamiselle on luvun kaikkien alkutekijöiden löytämisen vaikeus. Jos otat luvun 15, voit nopeasti määrittää, että 15 = 5x3. Mutta jos otat 1000-numeroisen luvun, kaikkien sen alkutekijöiden laskeminen kestää jopa maailman tehokkaimmalla supertietokoneella yli miljardi vuotta. Internetin turvallisuus riippuu suurelta osin tällaisten laskelmien monimutkaisuudesta, joten viestinnän turvallisuuden kannalta on tärkeää tietää, ettei kukaan voi yksinkertaisesti keksiä nopeaa tapaa löytää tärkeimmät tekijät.

Nykyaikainen tutkimus

Vaikka tämä aihe on vanha ja koskettanut monia kuuluisia matemaatikoita kautta historian, se on edelleen ajankohtainen. Tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa ääretön määrä alkulukupareja, kuten 3 ja 5, jotka eroavat kahdella. Tämä on tunnettu ratkaisematon ongelma. Matemaatikko Ethan Zhang teki suuren läpimurron tässä ongelmassa. Vuoden 2013 alussa tiedemiehet eivät tienneet, oliko alkulukupareja ääretön määrä 1 kvintiljoonan etäisyydellä toisistaan ​​vai mitä tahansa lukua, joka on yli 1 kvintiljoona, riippumatta sen suuruudesta. Zhangin työhön perustuvan teoreettisen kehityksen ansiosta matemaatikot tietävät, että on olemassa ääretön määrä alkulukuja, jotka eroavat toisistaan ​​enintään 246:lla. Luku 246 on paljon suurempi kuin kaksi, mutta se on huomattavasti pienempi kuin ääretön.

Sen sijaan, että etsisit lähellä olevia alkulukuja, voit etsiä niitä, jotka ovat kaukana toisistaan ​​numerorivillä. Huomattava teoreettinen läpimurto tässä ongelmassa tehtiin ensimmäistä kertaa yli 75 vuoteen vuoden 2014 alussa, kun Oxford Institute of Mathematics -instituutin tutkijat ratkaisivat yhden Erdősin ongelmista. Kaksi muuta mielenkiintoista ratkaisua Erdősin alkulukuihin liittyviin ongelmiin tekivät Bob Hough ja Terence Tao, joiden työ rakentui Kaisa Matomakin ja Maxime Rajwillin vuonna 2014 tekemään toiseen läpimurtoon. Harald Gelfgott ja David Platt osoittivat lopulta Goldbachin heikon hypoteesin, mikä huipentui sadan vuoden eri löydöksiin. Matemaatikot ovat tottuneet odottamaan kymmenen vuotta saavuttaakseen suuren tuloksen alkulukujen alalla, mutta tällä kertaa he ovat saaneet puoli tusinaa tällaisia ​​tuloksia viimeisen kolmen vuoden aikana.

Alkuluvut tulevaisuudessa

Nyt on mahdotonta sanoa, kuinka alkulukuja käytetään tulevaisuudessa. Puhdas matematiikka (kuten alkulukujen tutkimus) on toistuvasti löytänyt sovelluksia, jotka saattoivat tuntua täysin epätodennäköisiltä, ​​kun teoriaa kehitettiin ensimmäisen kerran. Kerta toisensa jälkeen ideat, jotka on pidetty akateemisen mielenkiinnon trendeinä ja todelliseen maailmaan sopimattomina, ovat osoittautuneet yllättävän hyödyllisiksi tieteelle ja teknologialle. Godfrey Harold Hardy, kuuluisa 1900-luvun alun matemaatikko, väitti, että alkuluvuilla ei ole todellista käyttöä. Neljäkymmentä vuotta myöhemmin löydettiin alkulukujen mahdollisuudet tietokoneviestinnässä, ja ne ovat nyt elintärkeitä Internetin jokapäiväisessä käytössä.

Koska alkuluvut ovat kokonaislukuihin liittyvien ongelmien ytimessä ja kokonaislukuja kohdataan koko ajan tosielämässä, alkuluvuilla tulee olemaan laajaa käyttöä tulevaisuuden maailmassa. Tämä on erityisen totta, koska internet tunkeutuu elämään ja teknologialla ja tietokoneilla on suurempi rooli kuin koskaan ennen.

Uskotaan, että tietyt lukuteorian ja alkulukujen näkökohdat menevät paljon tieteen ja tietokoneiden soveltamisalan ulkopuolelle. Musiikissa alkuluvut selittävät, miksi joidenkin monimutkaisten rytmikakvioiden toistaminen kestää kauan. Tätä käytetään joskus modernissa klassisessa musiikissa tietyn ääniefektin saavuttamiseksi. Fibonacci-sekvenssiä esiintyy luonnossa säännöllisesti, ja oletetaan, että cicadas kehittyi talvehtimaan yksinkertaisen määrän vuosia saadakseen evoluutionedun. On myös ehdotettu, että alkulukujen lähettäminen radioaaltojen kautta olisi paras tapa yrittää kommunikoida vieraiden elämänmuotojen kanssa, koska alkuluvut ovat täysin riippumattomia kielen käsitteistä, mutta ovat riittävän monimutkaisia, jotta niitä ei voida sekoittaa lopputulokseen. jotain puhtaassa muodossaan fyysistä luonnollista prosessia.

Kunnan budjettikoulutuslaitos

Abakanin kaupunki

"Yleinen koulu nro 19"

Matematiikka

Alkuluvut ovat helppoja

Lysova

Elmira,

6 B-luokka

Valvoja:

Bykovskaja

Irina Sergeevna,

matematiikan opettaja

KOODI ______________________________________

Matematiikka

ALKUNUMEROT OVAT YKSINKERTAISTA

SISÄLLYSLUETTELO:

Johdanto

Luku 1 . alkuluvut

1.1. Alkuluvun määritelmä.

1.2. Alkulukusarjan ääretön.

1.3. Suurin alkuluku.

1.4. Menetelmät alkulukujen määrittämiseen (hakuun).

Kappale 2. Alkulukuteorian soveltaminen

2.1. Esimerkkejä kuuluisien Neuvostoliiton tiedemiesten alkulukuteorian väitteistä.

2.2.Esimerkkejä useista alkulukuteorian ongelmista.

2.3. Sovellettavat tehtävät (nro 1, nro 2)

2.4. Alkulukulakien soveltamista koskevat tehtävät (nro 3, nro 4)

2.5. Maagiset neliöt.

2.6.Alkulukulain soveltaminen eri aloilla

Johtopäätös

Sovellus

"Maailmassa vallitsee harmonia,

ja tämä harmonia ilmaistaan ​​numeroina"

Pythagoras.

JOHDANTO

Matematiikka on ihmeellistä. Todellakin, onko kukaan koskaan nähnyt numeroa omin silmin (ei kolmea puuta eikä kolmea omenaa, vaan itse numeron 3). Toisaalta numero on täysin abstrakti käsite. Mutta toisaalta, kaikki mitä maailmassa tapahtuu, voidaan mitata tavalla tai toisella ja siksi esittää numeroina

Matematiikan tunneilla opiskellessani aihetta "Alku- ja yhdistelmäluvut" kiinnostuin alkuluvuista, niiden esiintymishistoriasta ja niiden saamismenetelmistä. Käännyin kirjastoon ja Internetiin, josta ostin tarvittavan kirjallisuuden. Tutkittuani sitä perusteellisesti tajusin, että alkuluvuista on paljon mielenkiintoista tietoa. Alkuluvut, jotka otettiin käyttöön noin kaksi ja puoli tuhatta vuotta sitten, ovat löytäneet odottamattomia käytännön sovelluksia vasta viime aikoina. Huomasin, että niitä on olemassaAlkulukujen lait ilmaistaan ​​kaavan avulla, mutta lukuteoriassa on useita ongelmia.Huolimatta siitä, että elämme nyt tietokoneiden ja nykyaikaisimpien tietoohjelmien aikakautta, monia alkulukujen arvoituksia ei ole vielä ratkaistu.Avointen lakien tuntemus mahdollistaa laadullisesti uusien ratkaisujen luomisen monilla alueilla, jotka kiinnostavat sekä tutkijoita että tavallisia kansalaisia. Aihe kiinnosti minuakin.Esine tutkimus on puhtaasti abstrakti käsitealkuluku . Aihe Alkulukujen tutkimus perustui: alkulukujen teoriaan, niiden määrittelymenetelmiin, mielenkiintoisiin löytöihin tällä alalla ja niiden soveltamiseen käytännön tarkoituksiin.

Tarkoitus Tehtäväni on laajentaa alkulukujen ymmärrystä. Päättäväinen seuraavat tehtävät:

tutustua alkulukuteorian kehityksen historiaan,

muodostaa yleiskäsityksen alkulukujen löytämisestä,

oppia Neuvostoliiton tutkijoiden mielenkiintoisia saavutuksia alkulukuteorian alalla,

harkitse joitakin alkulukuteorian ongelmia,

tutustua alkulukuteorian soveltamiseen eri aloilla,

ymmärtää alkulukujen eristämisen periaatteen luonnollisista sarjoista "Eratosthenesin seula" -menetelmällä 100 asti; 1000,

tutkia alkulukujen käyttöä tehtävissä.

minä ALKULUVUT

1. Ensilukukonsepti

Alkuluvut ovat yksi matemaatikoiden ihmeistä. Yksi, kaksi, kolme... Näillä sanoilla astumme numeroiden maahan, sillä ei ole rajoja. Näennäisesti litteät, läheiset luvut, kun niihin tutustuu lähemmin, polttavat meidät niiden sisäisellä kuumuudellaan ja saavat syvyyttä.

Factoring-luvut ovat olleet meille tuttuja peruskoulusta lähtien. Kun etsit yhteistä nimittäjää, sinun on otettava huomioon termien nimittäjät. Factoring on tarpeen fraktioiden pienentämisessä. Yksi aritmeettisen perusväittämistä on, että jokainen luonnollinen luku voidaan kertoa ainutlaatuisella tavalla.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 x 11 x 13

Lukujen laskeminen alkutekijöiksi osoittaa, että jokainen luku on joko alkuluku tai kahden tai useamman alkuluvun tulo. Siksi voidaan sanoa, että alkuluvut ovat luonnollisten lukujen osaelementtejä, kuten tiiliä, joista kertolaskulla kaikki kokonaisluvut muodostuvat.

Alkuluku on luonnollinen luku, jolla on vain kaksi erilaista jakajaa (itse luku ja 1).

Muutamia mielenkiintoisia faktoja.

Numero 1 ei ole alkuluku eikä yhdistelmäluku.

Ainoa parillinen luku, joka kuuluu "alkulukujen" ryhmään, on kakkonen. Mikään muu parillinen luku ei yksinkertaisesti pääse tänne, koska määritelmän mukaan se on itsensä ja yhden lisäksi myös jaollinen kahdella.

Alkuluvut eivät esiinny satunnaisesti luonnollisissa sarjoissa, kuten ne saattavat näyttää ensi silmäyksellä. Kun olet analysoinut ne huolellisesti, voit heti huomata useita mielenkiintoisimpia ominaisuuksianumerot - "kaksoset" - alkuluvut, joiden erotus on 2.Niitä kutsutaan sellaisiksi, koska ne olivat vierekkäin, erotettuina vain parillisesta numerosta (viisi ja seitsemän, seitsemäntoista ja yhdeksäntoista). Jos katsot niitä tarkasti, huomaat, että näiden lukujen summa on aina kolmen kerrannainen. Kaksosparit, joilla on yhteinen alkio, muodostavat alkulukupareja - "kaksoset" (kolme ja viisi, viisi ja seitsemän).

1. Alkulukusarjan ääretön.

Alkulukujen epäsäännöllinen jakautuminen kaikkien luonnollisten lukujen kesken on ollut silmiinpistävää pitkään. Havaittiin, että kun siirrymme pienestä luvusta suurempaan, alkuluvut esiintyvät yhä harvemmin luonnollisissa sarjoissa. Joten yksi ensimmäisistä kysymyksistä oli: Onko olemassa viimeistä alkulukua, eli onko alkulukusarjalla loppu? Noin 300 eKr. kuuluisa antiikin kreikkalainen matemaatikko Euclid antoi kielteisen vastauksen tähän kysymykseen. Hän osoitti, että jokaisen alkuluvun takana on vielä suurempi alkuluku, eli alkulukuja on ääretön määrä.

Vanhin tunnettu todiste tästä tosiasiasta annettiin kirjassa "" (Kirja IX, lausunto 20).

Kuvitellaan, että alkulukujen määrä on äärellinen. Kerrotaan ne ja lisätään yksi. Tuloksena oleva luku ei ole jaollinen millään äärellisellä alkulukujoukolla, koska jakojäännös millä tahansa niistä antaa yhden. Tämä tarkoittaa, että luvun on oltava jaollinen jollakin alkuluvulla, joka ei sisälly tähän joukkoon.

Emme siis voi hyväksyä sitä, että alkulukujen sarja on äärellinen: tämä oletus johtaa ristiriitaan. Siten riippumatta siitä, kuinka pitkän yhdistelmälukusarjan kohtaamme luonnollisten lukujen sarjassa, voimme olla vakuuttuneita siitä, että sen takana on äärettömän suurempi luku.

Matemaatikko on tarjonnut muitakin todisteita.

1.3.Suurin alkuluku.

Yksi asia on olla varma, että suuria alkulukuja on, mutta toinen asia on tietää, mitkä luvut ovat alkulukuja. Mitä suurempi luonnollinen luku, sitä enemmän laskelmia on tehtävä sen selvittämiseksi, onko se alkuluku vai ei.

Suurimmista tuolloin tunnetuista alkuluvuista on pidetty kirjaa pitkään. Yhden ennätyksistä asetti Euler 1700-luvulla, hän löysi alkuluvun 2147483647.

Suurin tunnettu alkuluku ennätysnumero kesäkuuta 2009 alkaen 2 teholle 43112609 – 1(avattu Cooper Central Missourin yliopistosta Yhdysvalloissa A). Se sisältää 12 978 189 ja on yksinkertainen. Tämän tiedemiehen ansiosta Mersennen alkuluvut ovat pitkään pitäneet ennätystä suurimpana tunnettuna alkulukuna. Niiden tunnistamiseen tarvittiin 75 tehokasta tietokonetta.

Lomakkeen numerot: 2 potenssiin n miinus 1 , jossa n on myös alkuluku, kuuluvat Mersennen lukuihin. Cooper teki uuden matemaattisen löydön vuonna 2013. Hän onnistui löytämään maailman pisimmän alkuluvun. Se on kirjoitettu seuraavasti -2 tehoon 57885161 - 1. Numero sisältää yli 17 miljoonaa numeroa. Tarvitset yli 13 tuhatta A4-sivua tulostaaksesi sen paperille.
Nyt uusi ennätys Mersennen alkulukujen luokassa kirjoitetaan muodossa2 tehoon 57885161 - 1 , se sisältää 17425170 numeroita Uuden ennätyksen haltijan löytäminen toi Cooperille 3 tuhannen dollarin rahapalkinnon

Electronic Frontier Foundation lupaa myös palkita 150 ja 250 tuhatta dollaria ihmisille, jotka esittävät maailman alkulukuja, jotka koostuvat 100 miljoonasta ja miljardista merkistä.

1. Menetelmät alkulukujen määrittämiseen (hakuun).

a) Eratosthenesin seula.

On olemassa useita tapoja löytää alkulukuja. Ensimmäinen henkilö, joka tarttui ongelmaan "alkulukujen kirjoittaminen luonnollisten lukujen joukosta", oli suuri antiikin kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes, joka eli lähes 2300 vuotta sitten. Hän keksi tämän menetelmän: hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja sitten yliviivasi yhden, joka ei ole alkuluku eikä yhdistelmäluku, ja sitten ylitti yhden kautta kaikki luvun 2 jälkeen tulevat luvut (luvut, jotka ovat kahden kerrannaisina, eli 4,6,8 jne.). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kahden jälkeen kaikki kolmen jälkeen tulevat luvut (luvut, jotka olivat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.) yliviivattiin, vain alkuluvut jäivät ylittämättä ulos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Siten Eratosthenes keksi menetelmän, jolla oli mahdollista seuloa kaikki alkuluvut yhdestä johonkin tiettyyn lukuun eristämällä jokaisen alkuluvun kaikki kerrannaiset. Tätä menetelmää kutsutaan "Eratosthenesin seulaksi". - yksinkertaisin tapa löytää alkulukuluettelo tiettyyn arvoon asti.

Kreikkalaiset tekivät muistiinpanoja vahapäällysteisiin tabletteihin tai papyrukseen, ja numeroita ei yliviivattu, vaan neulalla, jolloin laskelmien lopussa oleva taulukko muistutti seulaa.

Onko mahdollista tunnistaa alkuluku, kuten sanotaan, ensi silmäyksellä? Jos kauhaat monta numeroa seulaan kerralla, kiiltääkö niistä yksinkertainen kuin kultahippu? Jotkut ihmiset ajattelevat niin. Esimerkiksi numerot, jotka päättyvät 1, ovat usein niitä, joita etsit, kuten 11, 31, 41. Sinun tulee kuitenkin olla varovainen, ettet sekoittele väärennettyä kultaa puhtaaseen kultaan, kuten esimerkiksi 21 tai 81. numeroiden koko kasvaa, lopussa oleva yksikkö johtaa meitä yhä harhaan. Näyttää jopa siltä, ​​että alkuluvut yksinkertaisesti katoavat lopulta, kuten jotkut muinaiset kreikkalaiset uskoivat.

b) Taulukoiden laatiminen "Eratosthenes-seula" -menetelmällä

a) Eratosthenes-seulan lukuteorian teoreettisena tutkimusmenetelmänä esitteli vuonna 1920 norjalainen matemaatikko V. Brun. Tätä menetelmää käyttäen tutkijat laativat taulukoita alkulukujen välillä 1 ja 12 000 000

Todellinen sankari alkulukutaulukon laatimisessa on Jakub Filip Kulik (1793-1863), Prahan tšekkiläisen yliopiston professori.

Hän, jolla ei ollut aikomusta painaa töitään, laati taulukon lukujen jakajista ensimmäinen sata miljoonaa, tarkemmin numerot 100 320 201 asti, ja asetti sen Wienin tiedeakatemian kirjastoon tällä alalla työskentelevien käyttöön.

Matematiikan tunneilla käytämme oppikirjan kärpäslehdellä olevaa taulukkoa 1000 sisällä.

c) Taulukoiden laatiminen tietotekniikalla

Tietotekniikan käyttöönotto teoreettisessa ja soveltavassa matematiikassa on merkittävästi helpottanut työvaltaisiin laskelmiin liittyvien ongelmien ratkaisemista.

Riittävän monimutkaisten tietokoneiden muistiin voidaan tallentaa kaikenkokoisia taulukkotietoja, mutta henkilökohtaisilla laskimilla ei vielä ole tällaisia ​​​​ominaisuuksia. Siksi matemaatikot jatkavat työskentelyä kompaktien ja kätevien taulukoiden laatimisen ongelmien parissa, jotka on tarkoitettu erityisesti lukujen analysointiin.

Tietokoneiden käyttö tähän tarkoitukseen on mahdollistanut erittäin merkittävän askeleen eteenpäin. Esimerkiksi nykyaikainen lukutaulukko, jonka laatimiseen on käytetty tietotekniikkaa, kattaa numerot 10 000 000 asti. Tämä on melko laaja kirja.

Käytännössä alkulukuluettelon hankkimisen sijaan halutaan usein tarkistaa, onko tietty luku alkuluku. Algoritmeja, jotka ratkaisevat tämän ongelman, kutsutaan .

Erikoisalgoritmien käyttö luvun alkuluvun määrittämiseen (onko luku alkuluku?) mahdollistaa alkuluvun etsimisen luonnollisen lukusarjan määritetyissä rajoissa.

e) Vuosisadan löytö – alkulukujen laki

Jo muinaisina aikoina tiedemiehiä kiinnosti kysymys siitä, minkä lain mukaan alkuluvut järjestetään luonnollisissa sarjoissa. Venäläinen Pythagoras Vladimir Khrenov aiheutti shokin tiedemaailmassa löytäessään alkulukulain. Tämä laki ei ainoastaan ​​palauta matematiikan oikealle tielle, vaan myös selittää monia luonnonlakeja todellisen maailmantiedon näkökulmasta.Venäjän nero,Vladimir Khrenovteki tieteellisen löydön , joka kumoaa olemassa olevan käsityksen ajasta ja paikasta , Mitäalkuluvut eivät ole kaaosta.

Alkuluvut saadaan kaavalla: "6X plus tai miinus 1", jossa X on mikä tahansa luonnollinen luku.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Löytö tehtiin 30. huhtikuuta 2000. Oli Kristuksen ylösnousemuksen vuosipäivä pääsiäinen. Merkittävä päivämäärä. Tänä päivänä todellisen tilan ja ajan todellinen malli paljastettiin. 7. tammikuuta 2001 kuvattiin alkulukujen laki ja sen mukana kaikkien luonnollisten sarjojen lukujen muodostumismallit. Joten alkulukujen lain löytämisen jälkeen kävi selväksi, että eyksikkö – tilan taso,kuusi - ajan standardi ja yhdessä kaksi tilan ja ajan standardia luovat kaiken luonnon monimuotoisuuden ja ovat kaiken ikuinen perimmäinen syy. Nyt alkulukujen lain löytämisen jälkeen kävi selväksi, että ne muodostavat tieteellisen perustan numeron 7 taikuudelle.Tällä lailla ei ole ainoastaan ​​kolossaalinen maailmankuva, vaan se mahdollistaa uuden sukupolven tietoturvatekniikoiden luomisen tähän teoriaan perustuen. Uuden luomiseksi tarvitset uuden alkuluvun. Siksi sen löytäneille matemaatikoille maksetaan niin valtavia summia.

ALKULUKUTEORIAN SOVELTAMINEN

1. Esimerkkejä joistakin kuuluisien Neuvostoliiton tiedemiesten alkulukuteorian lausunnoista alkulukujen teoriasta.

Vaikka Euklideista on kulunut yli kaksi tuhatta vuotta, hänen teoriaansa ei ole lisätty mitään uutta. Alkuluvut luonnollisissa sarjoissa on järjestetty äärimmäisen omituisesti. Kuitenkin on valtava määrä alkulukuihin liittyviä arvoituksia.

Suuret saavutukset alkulukujen opiskelussa kuuluvat venäläisille ja Neuvostoliiton matemaatikoille. Olin kiinnostunut yksinkertaisista ja samalla hämmästyttävistä lausunnoista, jotka kuuluisat Neuvostoliiton tiedemiehet osoittivat tällä alalla. Tarkastin niitä ja annoin joukon esimerkkejä, jotka vahvistavat väitteiden totuuden.

P.L. Chebyshev (1821-1894) todistettu että minkä tahansa luonnollisen luvun, joka on suurempi kuin 1, ja kaksi kertaa sen suuruisen luvun välillä on aina vähintään yksi alkuluku.

Tarkastellaan seuraavia alkulukupareja, jotka täyttävät tämän ehdon.

Esimerkkejä:

ja 4 on alkuluku 3.

ja 6 on alkuluku 5.

10 ja 20 ovat alkulukuja 11; 13; 17; 19.
5 ja 10 ovat alkuluku 7.

7 ja 14 ovat alkulukuja 11; 13.

11 ja 22 ovat alkulukuja 13; 17; 19.

Johtopäätös: Itse asiassa minkä tahansa luonnollisen luvun, joka on suurempi kuin 1, ja kaksi kertaa sen suuruisen luvun välillä on ainakin yksi alkuluku.

Christian Goldback, Pietarin tiedeakatemian jäsen lähes 250 vuotta sitten ehdotti sitä Mikä tahansa pariton luku, joka on suurempi kuin 5, voidaan esittää kolmen alkuluvun summana.

Esimerkkejä:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Vinogradov IM. (1891-1983), Neuvostoliiton matemaatikko osoitti tämän ehdotuksen vasta 200 vuotta myöhemmin.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

Mutta lausunto « Mikä tahansa puhdas parillinen luku, joka on suurempi kuin 2, voidaan esittää kahden alkuluvun summana » ei vieläkään todistettu .

Esimerkkejä:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Esimerkkejä useista alkulukuteorian ongelmista.

Alkulukujakauman mallien puuttumisen ongelma on askarruttanut ihmiskuntaa muinaisten kreikkalaisten matemaatikoiden ajoista lähtien. Eukleideen ansiosta tiedämme, että alkulukuja on äärettömän monta. Erastophenes ja Sundaram ehdottivat ensimmäiset algoritmit numeroiden testaamiseksi primaalisuuden suhteen. Euler, Fermat, Legendre ja monet muut kuuluisat matemaatikot yrittivät ja yrittävät edelleen ratkaista alkulukujen arvoitusta. Tähän mennessä on löydetty ja ehdotettu monia tyylikkäitä algoritmeja ja kaavoja, mutta ne kaikki ovat sovellettavissa vain äärelliseen alkulukusarjaan tai erikoistyypin alkulukuihin. Tieteen kärkeä äärettömyyden alkulukujen tutkimisessa pidetään todisteena. Hän tulee sisään , jonka todistamisesta tai kumoamisesta Clay Mathematical Institute on tarjonnut 1 000 000 dollarin palkintoa.

Tunnetuimmat alkulukutehtävät on lueteltu viidennellä. Nykyään tiedemiehet puhuvat 23 ongelmasta.

Pystyin tarkastelemaan niistä neljää ja antamaan useita esimerkkejä jokaisesta ongelmasta.

Landaun ensimmäinen ongelma (Goldbachin ongelma):

todistaa tai kiistää:

Jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin 2, voidaan esittää kahden alkuluvun summana, ja jokainen pariton luku, joka on suurempi kuin 5, voidaan esittää kolmen alkuluvun summana.

Esimerkkejä :

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Landaun toinen ongelma (Goldbachin ongelma):

Onko olemassa ääretön joukko "alkukaksosia" - alkulukuja, joiden ero on 2?

a) Määritti seuraavat "kaksoisluvut":

3 ja 5; 5 ja 7; 7 ja 9; 11 ja 13, 17 ja 19; 41 ja 43;

b). Kaksosparit koostuvat kaksosista, joilla on yhteinen elementti. Onnistuin löytämään seuraavat kaksosparit - "doppelgangers"

Ratkaisu:

(3, 5) ja (5, 7);

Tiedetään, että alkulukuja on ääretön määrä. Mutta kukaan ei tietenkään tiedä, tai äärettömän monta kaksosparia.

Landaun kolmas ongelma (arvaus)

Onko totta, että lomakkeen numeroiden välillän2 ja (n + 1)2Onko aina alkuluku?(n – pariton luku)

Ratkaisu:

a) milloin n =3, saamme 6 ja 8, niiden välissä on alkuluku 7.

b) klo n =5, saamme 10 ja 12, niiden välissä on alkuluku 11.

c) klo n =9, saamme 18 ja 20, joiden välissä on alkuluku 19.

4.Landaun neljäs ongelma:

Onko muodon alkulukuja olemassa ääretön joukko n2 + 1?

Ratkaisu:

klo n = 1, niin meillä on 3; kun n = 2, niin meillä on 5; kun n = 3, niin meillä on 7

klo n =5, niin meillä on 11, kun n =6, niin meillä on 13; kun n = 8, niin meillä on 17 jne.

2.3. Sovellettavat tehtävät

Tehtävä 1. Käyttämällä Eratosthenes-seulaamäärittää kuinka monta alkulukuaon 1-100.

Ratkaisu:

Tätä varten kirjoitamme kaikki numerot 1 - 100. .

Yliviivaamme luvut, jotka eivät ole alkulukuja. Yliviivataan 1, koska se ei ole alkuluku. Ensimmäinen alkuluku on 2.

Alleviivataan se ja yliviivataan kaikki luvut, jotka ovat 2:n kerrannaisia, eli luvut 4, 6, 8... 100, seuraava alkuluku on 3. Alleviivataan se ja yliviivataan luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia. joita ei ole yliviivattu, eli numerot 9? 15, 21...99 Sitten alleviivataan alkuluku 5 ja yliviivataan kaikki luvut, jotka ovat 5:n kerrannaisia. Luvut ovat 25...95. Ja niin edelleen, kunnes jäljellä on yksi alkuluku, 97.

Johtopäätös:1-100 on 25alkuluvut eli luvut 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Liite 1)

Tehtävä 2. Saadaksesi luettelon alkuluvuista, jotka ovat pienempiä kuin 1000, sinun on "karsittava pois" luvuilla 2, 3, 5, 7, 11 jaolliset luvut... Mihin lukuihin voit pysähtyä?

Ratkaisu:

Eratosthenesin menetelmää käyttäen tein samanlaisen

työskentele yhdistelmälukujen seulomiseksi pois 1000 asti.

Johtopäätös: saadaksesi alkulukuja 1000 asti, voit lopettaa alkuluvun 31 (viivaa yli luvut, jotka ovat 31:n kerrannaisia). (Liite 2)

2.4. Alkulukujen lakien soveltamista koskevat tehtävät

Tehtävä 3. Kuinka käyttää kahta tarkistusta osoittamaan, että luku 19 on alkuluku?

Ratkaisu esitellään Liite 3.

Tehtävä 4. Kuinka käyttää kolmea tarkistusta osoittamaan, että luku 47 on alkuluku?

Ratkaisu esitellään Liite 4.

2,5 maagisia neliöitä.

Alkuluvuille on omistettu monia mielenkiintoisia matemaattisia ongelmia neliömatriisien käytössä - maagisia neliöitä, joissa minkä tahansa rivin, minkä tahansa sarakkeen ja kahden päälävistäjän elementtien summaus antaa saman luvun.

Ensimmäisen niistä keksi kuuluisa englantilainen pulma-asiantuntija Henry Ernest Dewdney.

Onko olemassa maagisia neliöitä, jotka koostuvat vain alkuluvuista? Osoittautuu kyllä.

Tutkin taikaneliöitä, joiden koko oli 3x3, 4x4, 6x6, ja määritin kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja jokaisen päädiagonaalin summan. Ratkaisu esitellään Liite 5.

jokaisella rivillä, jokaisella sarakkeella ja jokaisella päädiagonaalilla. Annan esimerkkejä neliöistä, joiden matriisi on 3x3, 4x4, 6x6.

1

67

43

37

13

61

73

31

7

3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13

3

1

3

9

9

1

9

8

3

9

2

9

1

6

4

3

1

2

5

1

7

4

7

1

7

1

5

9

7

1

9

3

7

3

3

9

Johtopäätös:

1. Taikaneliön 1, jonka koko on 3x3, summa on 111 (muuten, ei myöskään alkuluku)

2. Onko maagisella neliöllä 2, jonka koko on 4x4, summa?

3. Onko maagisella neliöllä 3, jonka koko on 6x6, summa?

3.4. Alkulukulain soveltaminen eri aloilla.

Alkuluvut eivät ole vain matemaatikoiden tarkkaavaisuuden kohde kaikkialla maailmassa, vaan niitä on pitkään käytetty menestyksekkäästi erilaisten lukusarjojen kokoamisessa, mikä on muun muassa salauksen perusta.Lakien tuntemus mahdollisti sellaisten patentoitujen teknisten ratkaisujen tarjoamisen tiedonsiirron suojaamiseksi, joita pidettiin yksinkertaisesti mahdottomina nykyisellä matemaattisella pohjalla. Alkulukuja tarvitaan salausten luomiseen. Ennemmin tai myöhemmin jokainen koodi poistetaan.

Tässä tutkijat siirtyvät yhteen tärkeimmistä osista tietojenkäsittelytiede - kryptografiaan. Jos seuraavan alkuluvun löytäminen on niin vaikeaa, niin missä ja mihin näitä lukuja voidaan käyttää käytännössä? Yleisin alkulukujen käyttö on kryptografiassa (datan salaus). Turvallisimmat ja vaikeimmin purettavat salausmenetelmät perustuvat yli kolmesataa numeroa sisältävien alkulukujen käyttöön.

Yritin havainnollistaa ongelmaa, jonka salauksen purkaja kohtaa, kun hän purkaa tietyn salasanan. Oletetaan, että salasana on yksi yhdistelmäluvun jakajista ja salauksen purkaja on henkilö. Otetaan luku kymmenen parhaan joukosta, esimerkiksi 8. Jokainen (toivottavasti) ihminen pystyy henkisesti jakamaan luvun 8 yksinkertaisiksi tekijöiksi - 8 = 2*2*2. Monimutkaistaan ​​tehtävää: otetaan luku ensimmäisestä sadasta, esimerkiksi 111. Tässä tapauksessa ihmiset, jotka tietävät luvun jaollisuuden merkit kolmella (jos luvun summa on luvun summa). luvun numerot on 3:n kerrannainen, silloin tämä luku on jaollinen 3:lla) ja todellakin - 111=3*37. Tehtävän monimutkaisemiseksi otetaan luku ensimmäisestä tuhannesta, esimerkiksi 1207. Henkilö (ilman konekäsittelyä) tarvitsee vähintään paperia ja kynän yrittääkseen jakaa luvun 1207 "kaikilla" sitä edeltävät alkuluvut. Ja vain käymällä peräkkäin läpi luvun 1207 jako kaikilla alkuluvuilla 2:sta 17:ään, saat lopulta tämän luvun toisen kokonaisluvun jakajan - 71. Kuitenkin 71 on myös tarkistettava yksinkertaisuuden vuoksi.

On selvää, että kun numeroiden bittisyvyys kasvaa, esimerkiksi viisinumeroinen luku - 10001, hajottaminen (esimerkissämme salasanan purku) ilman konekäsittelyä vie paljon aikaa. Tietotekniikan nykyinen kehitysaste (keskivertokäyttäjän käytettävissä) mahdollistaa kuudenkymmenen numeron lukujen laskemisen sekunneissa.

Ajattele kuinka monta elämää ihmisen täytyy elää voidakseen laskea tietyn luvun alkutekijöiksi ilman koneiden apua!

Vain tänään ! Heidän avullaan tiedemiehet löytävät yhä enemmän uutta,, alkuluvut.

Opin, että avointen lakien tuntemus antaa minulle mahdollisuuden luoda laadullisesti uusia ratkaisuja seuraavilla osa-alueilla:

Erittäin turvallinen käyttöjärjestelmä pankeille ja yrityksille.

Järjestelmä väärennettyjen tuotteiden ja väärennettyjen seteleiden torjuntaan.

Järjestelmä etätunnistukseen ja ajoneuvovarkauksien torjuntaan.

Järjestelmä tietokonevirusten leviämisen torjuntaan.

Uuden sukupolven tietokoneet, jotka perustuvat luonnon epälineaariseen lukujärjestelmään.

Havaintoharmonian teorian matemaattinen ja biologinen perustelu.

Matemaattiset laitteet nanoteknologiaa varten.

PÄÄTELMÄ.

Työskennellessään tämän aiheen parissa pystyin laajentamaan käsitystäni alkuluvuista seuraavilla aloilla:

Tutkin mielenkiintoisia näkökohtia alkulukuteorian kehityksestä, tutustuin tutkijoiden uusiin saavutuksiin, jotka ovat minun ymmärrykseni tällä alalla ja sen käytännön soveltamisessa,

muodosti yleiskäsityksen alkulukujen löytämisestä, hallitsi periaatteen alkulukujen eristämisestä luonnollisista sarjoista "Eratosthenesin seula" -menetelmällä 100 asti; 1000,

opiskeli alkulukuteorian soveltamista ongelmiin,

tutustui alkulukuteorian soveltamiseen eri aloilla.

Työtä kirjoittaessani onnistuin hallitsemaan kaksi tapaa saada alkulukusarja:

käytännön menetelmä - seulonta (Eratosthenes-seula),

analyyttinen menetelmä - työskentely kaavan kanssa (alkulukulaki).

Osana tutkimusta:

todennut itsenäisesti joukon matemaattisia väitteitä korvaamalla arvot ja hankkimalla oikeat matemaattiset lausekkeet,

tunnisti numerosarjan "Doubles" ja "Gemini",

koonnut joukon Landaun tehtävissä osoitettuja numeerisia lausekkeita,

Tarkistin, että neliöt, joiden matriisi on 3x3, 4x4, 6x6, ovat taikuutta,

ratkaisi kaksi tehtävää kahdella tavalla käyttäen alkulukujen ja lauseiden lakia.

Aihetta työstäessäni tulin vakuuttuneeksi siitä, että alkuluvut ovat olentoja, jotka ovat aina valmiita väistämään tutkijaa. Alkuluvut ovat "raaka-aine", josta aritmetiikka muodostetaan, ja tätä materiaalia on rajattomasti.

Kiinnostuin kryptografian asiantuntijoista, joilla on viime aikoina ollut suuri kysyntä salaisissa organisaatioissa. He löytävät yhä enemmän suuria alkulukuja päivittääkseen jatkuvasti mahdollisten avaimien luetteloa ja yrittääkseen tunnistaa yhä uusia malleja alkulukujakaumassa. Alkuluvut ja kryptografia ovat lisäaiheeni alkulukuteorian tutkimisessa.

Minusta se on työtä voidaan käyttää oppitunnin ulkopuolisessa toiminnassa, 6-7-luokkien opiskelijoiden vapaa-ajan toiminnassa, lisämateriaalina 6-luokan matematiikan tunneille valmisteltaessa raportteja aiheesta. Tutkimusaihe on erittäin mielenkiintoinen, relevantti, sillä ei ole opiskelurajoja ja sen pitäisi herättää laajaa kiinnostusta opiskelijoiden keskuudessa.

Bibliografia

//. - 1975. - nro 5. - s. 5-13.

N. Karpushina. //. - 2010. - Nro 5.

Enrique Gracian - "Alkuluvut. Pitkä tie äärettömyyteen" -sarja "Matematiikan maailma", osa 3 De Agostini 148p, 2014