Что такое натуральное число? История, область применения, свойства. Натуральные числа Как называются компоненты умножения
Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.
Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.
Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.
Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.
Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.
Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.
Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.
Классы натуральных чисел.
Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .
Сравнение натуральных чисел.
Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .
Таблица разрядов и классов чисел.
1-й класс единицы |
1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни |
2-й класс тысячи |
1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч |
3-й класс миллионы |
1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов |
4-й класс миллиарды |
1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов |
Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы. Основные свойства натуральных чисел.
Действия над натуральными числами. 4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения. Если b ∙ с = а , то Формулы для деления: а: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b (а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a Числовые выражения и числовые равенства. Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением . Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части. Порядок выполнения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени. Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо. Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени. Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках. Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Навигация по странице:
Определение. Натуральные числа - это числа, которые используются для счета: 1 , 2 , 3 , …, n , …
Множество натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis - естественный).
Натуральные числа в десятичной системе счисления записываются с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Множество натуральных чисел - является упорядоченным множеством , т.е. для любых натуральных чисел m и n справедливо одно из соотношений:
- либо m = n (m равно n ),
- либо m > n (m больше n ),
- либо m < n (m меньше n ).
- Наименьшее натурально число - единица (1 )
- Наибольшего натурального числа не существует .
- Нуль (0 ) не является натуральным числом.
Из соседних натуральных чисел, число, которое стоит левее числа n называется предыдущим числу n , а число, которое стоит правее называется следующим за n .
Операции над натуральными числами
К замкнутым операциям над натуральными числами (операциям в результате, которых получается натуральных чисел) относятся следующие арифметические операции:
- Сложение
- Умножение
- Возведение в степень a b , где a - основание степени и b - показатель степени. Если основание и показатель - натуральные числа, то и результат будет являться натуральным числом.
Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как их результат не всегда будет натуральным числом.
- Вычитание (При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого)
- Деление
Классы и разряды
Разряд
- положение (позиция) цифры в записи числа.
Низший разряд - самый правый. Старший разряд - самый левый.
Пример:
5
- единиц, 0
- десятков, 7
- сотен,
2
- тысячи, 4
- десятков тысяч, 8
- сотен тысяч,
3
- миллиона, 5
- десятков миллионов, 1
- сотня миллионов
Для удобства чтения, натуральных числа разбивают, на группы по три цифры в каждой начиная справа.
Класс - группа из трех цифр, на который разбито число, начиная справа. Последний класс может состоять из трех, двух или одной цифры.
- Первый класс - класс единиц;
- Второй класс - класс тысяч;
- Третий класс - класс миллионов;
- Четвертый класс - класс миллиардов;
- Пятый класс - класс триллионов;
- Шестой класс - класс квадрильонов (квадриллионов);
- Седьмой класс - класс квинтильонов (квинтиллионов);
- Восьмой класс - класс секстильонов;
- Девятый класс - класс септильонов;
Пример:
34 - миллиарда 456 миллионов 196 тысяч 45
Сравнение натуральных чисел
Сравнение натуральных чисел с разным количеством цифр
Среди натуральных чисел больше то, у которого больше цифрСравнение натуральных чисел с равным количеством цифр
Сравнить числа поразрядно, начиная со старшего разряда. Больше то, у которого больше единиц в наивысшем одноименном разряде
Пример:
3466 > 346 - так как число 3466 состоит из 4 цифр, а число 346 из 3 цифр.
34666 < 245784 - так как число 34666 состоит из 5 цифр, а число 245784 из 6 цифр.
Пример:
346 667 670 52 6 986
346 667 670 56 9 429
Второе из натуральных чисел с равным количеством цифр больше, так как 6 > 2.
В математике существует несколько различных множеств чисел: действительные, комплексные, целые, рациональные, иррациональные, … В нашей повседневной жизни мы чаще всего используем натуральные числа, так как мы сталкиваемся с ними при счете и при поиске, обозначении количества предметов.
Какие числа называются натуральными
Из десяти цифр можно записать абсолютно любую существующую сумму классов и разрядов. Натуральными значениями считаются те, которые используются :
- При счете каких-либо предметов (первый, второй, третий, … пятый, … десятый).
- При обозначении количества предметов (один, два, три…)
N значения всегда целые и положительные. Наибольшего N не существует, так как множество целых значений не ограничено.
Внимание! Натуральные числа получаются при счете предметов или при обозначении их количества.
Абсолютно любое число может быть разложено и представлено в виде разрядных слагаемых, например: 8.346.809=8 миллионов+346 тысяч+809 единиц.
Множество N
Множество N находится в множестве действительных, целых и положительных . На схеме множеств они бы находились друг в друге, так как множество натуральных является их частью.
Множество натуральных чисел обозначается буквой N. Это множество имеет начало, но не имеет конца.
Еще существует расширенное множество N, где включается нуль.
Наименьшее натуральное число
В большинстве математических школ наименьшим значением N считается единица , так как отсутствие предметов считается пустотой.
Но в иностранных математических школах, например во французской, считается натуральным. Наличие в ряде нуля облегчает доказательство некоторых теорем .
Ряд значений N, включающий в себя нуль, называется расширенным и обозначается символом N0 (нулевой индекс).
Ряд натуральных чисел
N ряд – это последовательность всех N совокупностей цифр. Эта последовательность не имеет конца.
Особенность натурального ряда заключается в том, что последующее число будет отличаться на единицу от предыдущего, то есть возрастать. Но значения не могут быть отрицательными .
Внимание! Для удобства счета существуют классы и разряды:
- Единицы (1, 2, 3),
- Десятки (10, 20, 30),
- Сотни (100, 200, 300),
- Тысячи (1000, 2000, 3000),
- Десятки тысяч (30.000),
- Сотни тысяч (800.000),
- Миллионы (4000000) и т.д.
Все N
Все N находятся во множестве действительных, целых, неотрицательных значений. Они являются их составной частью .
Эти значения уходят в бесконечность, они могут принадлежать классам миллионов, миллиардов, квинтиллионов и т.д.
Например:
- Пять яблок, три котенка,
- Десять рублей, тридцать карандашей,
- Сто килограммов, триста книг,
- Миллион звезд, три миллиона человек и т.д.
Последовательность в N
В разных математических школах можно встретить два интервала, которым принадлежит последовательность N:
от нуля до плюс бесконечности, включая концы, и от единицы до плюс бесконечности, включая концы, то есть все положительные целые ответы .
N совокупности цифр могут быть как четными, так и не четными. Рассмотрим понятие нечетности.
Нечетные (любые нечетные оканчиваются на цифры 1, 3, 5, 7, 9.) при на два имеют остаток. Например, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
Что значит четные N
Любые четные суммы классов оканчиваются на цифры: 0, 2, 4, 6, 8. При делении четных N на 2, остатка не будет, то есть в результате получается целый ответ. Например, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
Важно! Числовой ряд из N не может состоять только из четных или нечетных значений, так как они должны чередоваться: за четным всегда идет нечетное, за ним снова четное и т.д.
Свойства N
Как и все другие множества, N обладают своими собственными, особыми свойствами. Рассмотрим свойства N ряда (не расширенного).
- Значение, которое является самым маленьким и которое не следует ни за каким другим – это единица.
- N представляют собой последовательность, то есть одно натуральное значение следует за другим (кроме единицы – оно первое).
- Когда мы производим вычислительные операции над N суммами разрядов и классов (складываем, умножаем), то в ответе всегда получается натуральное значение.
- При вычислениях можно использовать перестановку и сочетание.
- Каждое последующее значение не может быть меньше предыдущего. Также в N ряде будет действовать такой закон: если число А меньше В, то в числовом ряде всегда найдется С, для которого справедливо равенство: А+С=В.
- Если взять два натуральных выражения, например А и В, то для них будет справедливо одно из выражений: А=В, А больше В, А меньше В.
- Если А меньше В, а В меньше С, то отсюда следует, что А меньше С .
- Если А меньше В, то следует, что: если прибавить к ним одно и то же выражение (С), то А+С меньше В+С. Также справедливо, что если эти значения умножить на С, то АС меньше АВ.
- Если В больше А, но меньше С, то справедливо: В-А меньше С-А.
Внимание! Все вышеперечисленные неравенства действительны и в обратном направлении.
Как называются компоненты умножения
Во многих простых и даже сложных задачах нахождение ответа зависит от умения школьников .
Для того, чтобы быстро и правильно умножать и уметь решать обратные задачи, необходимо знать компоненты умножения.
15. 10=150. В данном выражении 15 и 10 являются множителями , а 150 – произведением.
Умножение обладает свойствами, которые необходимы при решении задач, уравнений и неравенств:
- От перестановки множителей конечное произведение не изменится.
- Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (справедливо для всех множителей).
Например: 15. Х=150. Разделим произведение на известный множитель. 150:15=10. Сделаем проверку. 15. 10=150. По такому принципу решаются даже сложные линейные уравнения (если упростить их).
Важно! Произведение может состоять не только из двух множителей. Например: 840=2. 5. 7. 3. 4
Что такое натуральные числа в математике?
Разряды и классы натуральных чисел
Вывод
Подведем итоги. N используются при счете или обозначении количества предметов. Ряд натуральных совокупностей цифр бесконечен, но он включает в себя только целые и положительные суммы разрядов и классов. Умножение тоже необходимо для того, чтобы считать предметы , а также для решения задач, уравнений и различных неравенств.
История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена. Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.
Натуральные числа – это числа которые мы используем при счете предметов.
Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
Нуль не относится к натуральным числам.
Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.
Таблица натуральных чисел.
Натуральный ряд.
Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.
Свойства натурального ряда:
- Наименьшее натуральное число – единица.
- У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
- Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.
Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5
Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.
Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.
Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.
Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.
Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.
Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4,
5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18,
19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.
Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.
Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.
Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.
В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.
1, 2, 3, 4, 5…
Наименьшее натуральное число — 1 .
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.
Важно!
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
- 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
- 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
- 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.