Dördrəqəmli ədədin palindrom olub olmadığını yoxlayın. Əyləncəli və olimpiadanın əsas nömrələri arasında palindromlar və "tərslər"
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||
Natalia KARPUSHINA
GERİ
Rəqəmsal palindrom soldan sağa və sağdan sola eyni oxunan natural ədəddir. Başqa sözlə, qeydin simmetriyası (rəqəmlərin düzülüşü) ilə seçilir və simvolların sayı cüt və ya tək ola bilər. Palindromlara öz adları olan bəzi ədədlər dəstində rast gəlinir: Fibonaççi ədədləri arasında - 8, 55 (eyni adlı ardıcıllığın 6-cı və 10-cu üzvləri); fiqurlu rəqəmlər - 676, 1001 (müvafiq olaraq kvadrat və beşbucaqlı); Smit ədədləri (rəqəmlərinin cəmi onun əsas bölənlərinin rəqəmlərinin cəminə bərabər olan mürəkkəb ədəd) - 45454, 983389. Göstərilən xassə həmçinin hər bir təkrar rəqəmə (bütün rəqəmlərin daxil olduğu natural ədəd) malikdir. eynidir), məsələn 2222222 və xüsusilə, reunit (təbii ədəd, vahidlərdən istifadə etməklə yazılmışdır).
Palindrom başqa ədədlər üzərində aparılan əməliyyatlar nəticəsində əldə edilə bilər. Beləliklə, "Mənim bir fikrim var!" Məşhur elmi populyarlaşdıran Martin Qardner bu problemlə bağlı “palindrom fərziyyəsini” qeyd edir. İstənilən natural ədədi götürək və onu tərs ədədə əlavə edək, yəni eyni rəqəmlərlə yazılmış, lakin tərs qaydada. Yaranan cəmlə eyni hərəkəti edək və palindrom əmələ gələnə qədər təkrar edək. Bəzən yalnız bir addım kifayətdir (məsələn, 312 + 213 = 525), lakin adətən ən azı iki tələb olunur. Tutaq ki, 96 rəqəmi yalnız dördüncü addımda 4884 palindromu yaradır. Həqiqətən:
165 + 561 = 726,
726 + 627 = 1353,
1353 + 3531 = 4884.
Və fərziyyənin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, istənilən ədədi götürsək, sonlu sayda hərəkətlərdən sonra mütləq palindrom alacağıq.
Yalnız əlavə deyil, həm də köklərin eksponentasiyası və çıxarılması da daxil olmaqla digər əməliyyatları da nəzərdən keçirə bilərsiniz. Bəzi palindromlardan başqalarını yaratmaq üçün onlardan necə istifadə oluna biləcəyinə dair bəzi nümunələr:
NÖMRƏLƏR OYUNLARI
İndiyə qədər biz əsasən kompozit ədədlərə baxmışıq. İndi gəlin sadə rəqəmlərə keçək. Onların sonsuz müxtəlifliyində bir çox maraqlı nümunələr və hətta palindromların bütün ailələri var. Təkcə ilk yüz milyon natural ədədlər arasında 781 sadə palindrom var, iyirmisi birinci minə düşür, onlardan dördü birrəqəmli ədəddir - 2, 3, 5, 7 və yalnız bir ikirəqəmli ədədlər - 11. çoxları belə nömrələrlə əlaqələndirilir maraqlı faktlar və gözəl naxışlar.
Birincisi, cüt rəqəmləri olan unikal sadə palindrom var - 11. Başqa sözlə, rəqəmlərinin cüt sayı ikidən çox olan istənilən palindrom mürəkkəb ədəddir və onu 11-ə bölünmə testi əsasında sübut etmək asandır. .
İkincisi, hər hansı sadə palindromun ilk və son rəqəmləri yalnız 1, 3, 7 və ya 9 ola bilər. Bu, 2 və 5-ə bölünmənin məlum əlamətlərindən irəli gəlir. Maraqlıdır ki, sadalanan rəqəmlərdən istifadə etməklə bütün sadə ikirəqəmli ədədlər yazılır. (19 istisna olmaqla), a və b ədədlərinin fərqli olduğu formada “ters çevrilmiş” ədədlər (qarşılıqlı tərs ədədlər) cütlərinə bölünə bilər. Onların hər biri, hansı rəqəmin birinci olmasından asılı olmayaraq, soldan sağa və sağdan sola eyni oxunur:
13 və 31, 17 və 71,
37 və 73, 79 və 97.
Masaya baxaraq sadə ədədlər, biz oxşar cütlər tapacağıq, onların qeydində başqa nömrələr də var, xüsusən də üç rəqəmli nömrələr arasında on dörd oxşar cüt olacaq.
Bundan əlavə, sadə üçrəqəmli palindromlar arasında orta rəqəmi yalnız 1 ilə fərqlənən cüt ədədlər var:
181 və 191, 373 və 383,
787 və 797, 919 və 929.
Oxşar şəkil daha böyük sadə ədədlər üçün müşahidə olunur, məsələn:
94849 və 94949,
1177711 və 1178711.
Palindromik sadə ədədlər onların qeydinin xüsusiyyətlərini əks etdirən müxtəlif simmetrik düsturlarla “qoyula” bilər. Bu, beş rəqəmli rəqəmlərin nümunəsində aydın görünür:
Yeri gəlmişkən, formanın sadə çoxrəqəmli nömrələrinə, görünür, yalnız Repunitlər arasında rast gəlinir. Beş belə rəqəm məlumdur. Maraqlıdır ki, onların hər birində rəqəmlərin sayı sadə ədəd kimi ifadə olunur: 2, 19, 23, 317, 1031. Amma mərkəzi rəqəmdən başqa bütün rəqəmlərin olduğu sadə ədədlər arasında çox təsir edici uzunluqda palindrom var. kəşf edildi - onun 1749 rəqəmi var:
Ümumiyyətlə, baş palindromik ədədlər arasında heyrətamiz nümunələr var. Burada yalnız bir nümunə var - ədədi nəhəng
Və maraqlıdır ki, üç palidrom qrupa bölünə bilən 11811 rəqəmi ehtiva edir və hər qrupda rəqəmlərin sayı sadə ədəd (5903 və ya 5) kimi ifadə edilir.
DEYİL CÜFTLƏR
Maraqlı palindromik nümunələri müəyyən rəqəmləri ehtiva edən sadə ədədlər qruplarında da görmək olar. Tutaq ki, yalnız 1 və 3 rəqəmləri və hər nömrədə. Beləliklə, ikirəqəmli sadə ədədlər sıralı 13 - 31 və 31 - 13 cütlərini təşkil edir, altı üçrəqəmli sadə ədəddən beş ədəd sadədir, onların arasında iki palindrom var: 131 və 313 və daha iki ədəd cütlüklər yaradır. “ters çevrilmələr” 311 - 113 və 113 - 311 Bütün bu hallarda edilən cütlər vizual olaraq ədədi kvadratlar şəklində təqdim olunur (şək. 1).
Onların xüsusiyyətləri sehrli və Latın kvadratlarına bənzəyir. Məsələn, orta kvadratda hər bir cərgədə və hər bir sütundakı rəqəmlərin cəmi 444, diaqonallar üzrə - 262 və 626-dır. Bütün xanalardan gələn nömrələri toplasaq, 888 alırıq. Və tipik olan hər bir cəmi palindrom. Bir cədvəldən bir neçə rəqəmi boşluq qoymadan yazsaq belə, yeni palindromlar alırıq: 3113, 131313131 və s. Bu şəkildə tərtib edilə bilən ən böyük ədəd hansıdır? Palindrom olacaq?
311 - 113 və 113 - 311 cütlərinin hər birinə 131 və ya 313 əlavə etsək, dörd palindromik üçlük əmələ gəlir. Onlardan birini sütuna yazaq:
Gördüyümüz kimi, həm rəqəmlərin özləri, həm də onların arzu olunan kombinasiyası müxtəlif istiqamətlərdə oxuduqda özünü hiss etdirir. Bundan əlavə, nömrələrin düzülüşü simmetrikdir və onların hər bir cərgədə, hər bir sütunda və diaqonallardan birində cəmi sadə rəqəmlə - 5 ilə ifadə edilir.
Nəzərə alınan rəqəmlərin özlüyündə maraqlı olduğunu söyləmək lazımdır. Məsələn, palindrom 131 tsiklik sadə ədəddir: birinci rəqəmin sonuncu yerə hər hansı ardıcıl düzəldilməsi 311 və 113 sadə ədədlərini yaradır. Eyni xassələrə malik olan digər sadə palindromlar haqqında düşünə bilərsinizmi?
Amma “ters çevrilmiş” 13 – 31 və 113 – 311 cütləri kvadratla kəsildikdə “ters çevrilmiş” ədədlər də verir: 169 – 961 və 12769 – 96721. Maraqlıdır ki, hətta onların rəqəmlərinin cəmi də bir-biri ilə əlaqəlidir. hiyləgər şəkildə:
(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
Onu da əlavə edək ki, natural ədədlər arasında oxşar xassələrə malik olan digər “reversials” cütləri də var: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 və s. Müşahidə olunan nümunəni nə izah edir? Bu suala cavab vermək üçün bu nömrələrin qeydinin nə olduğunu, hansı nömrələrin və hansı miqdarda ola biləcəyini başa düşməlisiniz.
NERİKAL KONSTRUCTOR
Baş palindromik ədədlərdən, onları müəyyən bir şəkildə düzərək, məsələn, sətir-sətir, təkrarlanan nömrələrin orijinal nümunəsi ilə fərqlənən simmetrik fiqurlar yarada bilərsiniz.
Burada, məsələn, 1 və 3 ilə yazılmış sadə palindromların gözəl birləşməsidir (birincidən başqa, Şəkil 2). Bu ədəd üçbucağının özəlliyi ondan ibarətdir ki, eyni fraqment naxışın simmetriyasını pozmadan üç dəfə təkrarlanır.
Satır və sütunların ümumi sayının sadə ədəd (17) olduğunu görmək asandır. Bundan əlavə, sadə ədədlər və rəqəmlərin cəmi: qırmızı ilə vurğulanmış fraqmentlər (17); birincidən başqa hər sətir (5, 11, 17, 19, 23); üçüncü, beşinci, yeddinci və doqquzuncu sütunlar (7, 11) və üçbucağın tərəflərini təşkil edən vahidlərin “nərdivanı” (11). Nəhayət, göstərilən “tərəflərə” paralel hərəkət etsək və üçüncü və beşinci cərgələrin nömrələrini ayrıca əlavə etsək (şək. 3), daha iki sadə ədəd alırıq (17, 5).
Tikintiyə davam edərək, bu üçbucaq əsasında daha mürəkkəb fiqurlar qura bilərsiniz. Beləliklə, sondan hərəkət etməklə, yəni sonuncu nömrədən başlayaraq, hər addımda iki eyni simmetrik yerləşmiş nömrəni kəsərək və digərlərini - 3-ə 1-ə və ya əksinə dəyişdirərək və ya əvəz etməklə oxşar xüsusiyyətlərə malik başqa üçbucağı əldə etmək çətin deyil. . Bu halda, nömrələrin özləri elə seçilməlidir ki, nəticədə çıxan ədəd sadə olsun. Hər iki rəqəmi birləşdirərək, bir çox sadə ədədləri gizlədən, xarakterik rəqəm nümunəsi olan bir romb alırıq (şəkil 4). Xüsusilə, qırmızı ilə vurğulanan rəqəmlərin cəmi 37-dir.
Başqa bir misal, orijinaldan altı sadə palindrom əlavə edildikdən sonra alınan üçbucaqdır (şək. 5). Fiqur zərif kontur çərçivəsi ilə dərhal diqqəti cəlb edir. O, eyni uzunluqda iki sadə repunite ilə həmsərhəddir: 23 vahid “əsas”ı, eyni sayda isə üçbucağın “yanlarını” təşkil edir.
Daha bir neçə rəqəm
Müəyyən xüsusiyyətlərə malik olan ədədlərdən çoxbucaqlı fiqurlar da edə bilərsiniz. Tutaq ki, 1 və 3-dən istifadə edərək yazılmış sadə palindromlardan hər birinin ifrat rəqəmləri bir olan və bütün rəqəmlərin cəmi və sətirdəki birlərin ümumi sayı sadə ədədlərdir (istisna təkdir) bir rəqəm qurmaq lazımdır. -rəqəmli palindrom). Bundan əlavə, sadə nömrə qeyddə tapılan sətirlərin ümumi sayını, həmçinin 1 və ya 3 rəqəmlərini ifadə etməlidir.
Şəkildə. Şəkil 6-da problemin həlli yollarından biri - 11 müxtəlif palindromdan tikilmiş "ev" göstərilir.
Əlbəttə ki, özünüzü iki rəqəmlə məhdudlaşdırmaq və istifadə olunan hər bir nömrənin qeydində göstərilən bütün rəqəmlərin olmasını tələb etmək lazım deyil. Əksinə, əksinə: fiqurun naxışına orijinallıq verən onların qeyri-adi birləşmələridir. Bunu təsdiqləmək üçün gözəl palindromik asılılıqların bir neçə nümunəsini veririk (şək. 7 - 9).
İndi sadə ədədlər cədvəli ilə silahlanmış, siz özünüz təklif etdiyimiz rəqəmlər yarada bilərsiniz.
Və nəhayət, daha bir maraq - üçbucaq, sözün həqiqi mənasında palindromlarla uzununa və çarpaz deşilmişdir (şək. 10). Onun 11 sıra sadə ədədləri var və sütunlar təkrar rəqəmlərdən ibarətdir. Və ən əsası: rəqəmi tərəflərdən bağlayan palindrom 193111111323111111391 sadə rəqəmdir!
Əsərin mətni şəkillər və düsturlar olmadan yerləşdirilib.
Tam versiyası iş PDF formatında "İş Faylları" sekmesinde mövcuddur
Giriş
Bu mövzunun aktuallığı ondan ibarətdir ki, hesablama bacarıqlarının formalaşmasında qeyri-standart üsullardan istifadə dərsdə vaxta qənaət etməyə və həm 9-cu, həm də 11-ci siniflərdə riyaziyyatdan imtahandan uğurla keçməyə kömək edir.
Palindromik və repunit ədədlər natural ədədlər çoxluğunun ən maraqlı alt çoxluqlarından birini təşkil edir. Onların qeyri-adi tarixçəsi və heyrətamiz xüsusiyyətləri var.
7, 8, 9, 11-ci siniflər arasında araşdırma aparıldı və məlum oldu ki, bir çox uşaqlar bu nömrələr haqqında eşitmişlər, lakin yalnız bir neçəsi ətraflı məlumatı bilir. Sorğuda iştirak edən tələbələrin çoxu bu rəqəmlər haqqında daha çox bilmək istəyir.
Hazırda yeni standartlara keçidlə əsas və orta (tam) təhsilin məqsədləri dəyişir. Təhsilin müasirləşməsi şəraitində biz müəllimlərin qarşısında duran əsas vəzifələrdən biri də şagirdləri şüurlu, davamlı biliklərlə silahlandırmaq, onların müstəqil təfəkkürünü inkişaf etdirməkdir. Yeni texnologiyaların inkişafı ilə innovativ təfəkkürə, yeni problemlər qoyub həll etmək bacarığına malik insanlara tələbat artıb. Buna görə də, müasir məktəblərin praktikasında tələbələrin bilik əldə etməyin aktiv formaları ilə tanış olmasına yönəlmiş təhsil texnologiyası kimi şagird tədqiqat fəaliyyəti getdikcə genişlənir. Tədqiqat fəaliyyətləri bunlardır:
inkişaf və təkmilləşmənin ən məhsuldar yolu boyunca yeni nəsli ovsunlamağa imkan verən güclü alət;
marağın və müvafiq olaraq tədris prosesinin keyfiyyətinin artırılması üsullarından biridir.
Hədəf: palindromik və repunit ədədləri ilə tanış olmaq və müasir məktəblilərin tədrisində onlardan istifadənin səmərəliliyini müəyyən etmək. Demək olar ki, bütün riyazi anlayışlar bu və ya digər şəkildə ədəd anlayışına əsaslanır və istənilən riyazi nəzəriyyənin yekun nəticəsi, bir qayda olaraq, ədədlərin dilində ifadə olunur. Onların bir çoxu, xüsusən tam ədədlər müəyyən xüsusiyyətlərə və xassələrə görə ayrı-ayrı strukturlara (kolleksiyalara) qruplaşdırılır və öz adlarına malikdirlər.
Tapşırıqlar:
Hesabın tarixini açıqlayın;
Zehni hesablamaların bəzi üsullarını nəzərdən keçirin və konkret nümunələrdən istifadə edərək onlardan istifadənin üstünlüklərini göstərin;
Mövzu ilə bağlı ədəbiyyat;
Mülkiyyətləri və repunitləri nəzərdən keçirin;
Arasında quraşdırın və təkrarlayın;
Bizi maraqlandıran dəyişikliklərdə nömrələrin oynadığı rolu öyrənin.
Hipotez: Qeyri-standart üsullardan istifadə edilərsə, hesablamaların sürəti və miqdarı azalır.
Baş ədədlər bütün natural ədədlərin yaradıldığı ədədlərin bir hissəsidir.
Baş ədədləri araşdıraraq, onların qeyri-adiləri ilə heyrətamiz dəstlər əldə edin.
Maddə- çox sadə.
Tədqiqat obyekti- palindromlar və repunitlər.
tədqiqat:
sorğu
Bütün riyazi anlayışlar bu və ya digər şəkildə konsepsiyaya əsaslanır və istənilən riyazi anlayışın sonu, bir qayda olaraq, rəqəmlərlə ifadə olunur.
Rəqəmlərin öyrənilməsi üzərində işləmək: palindromlar və onlar arasında əlaqə yaratmaq.
nəzəri
1 Palindrom
palindromlar iki minillik əvvələ gedib çıxır. Adı müəyyən edildi - quadropalin. Palindrom - fraktallar, kristallar və maddə. Bacarıq insanın dərinliyində, səviyyədədir. DNT molekulları palindromik elementlərdir. Onun özü bir nümunədir, daha doğrusu, şaquli simmetriyanın xüsusi bir nümunəsidir.
o qədər heyrətamizdir ki, soldan sağa eynidir. Konstantinoviçin “Pinocchio” kitabını oxuyurdum, sonra bunu gördüm: Və qızılgül Azora düşdü. ondan Malvina tərəfindən cahil Pinokkioya yazmağı xahiş etdi.
Onlar qarşılıqlı adlanır palindromlar,"qaçmaq, qayıtmaq" deməkdir. Palindrom - ən qədim ədəbi təcrübələrdən. Yunan şairinə Avropa palindromları (e.ə. 300).
Yunan palindromu, Konstantinopoldakı Bizans Sofiyasının şriftində: anomhmata mh oyin (bədənlə eyni şəkildə yuyun). Burada artıq bir sui-qəsd xarakteri var - yazılmış yazı müqəddəs şriftə deyil, pis qüvvələrdən gələn bir sehr olmalıdır.
Budur palindromik olanlar: Argentina çağırır. Vəfat etdi, ona salam olsun. Mən dırmaşıram. Mən palıd ağacının yanında olacağam. Mişa. Tipin gücü budur. Daha az yuyulmamış yemək yeyin! terlik? "Məni içəri buraxın!" - Maksimin şorbası. - "İçeri gir, şorba!" Mən ağlamıram - ağlayıram. Və muza ağıl və səbəb olmadan xoşbəxtdir. , soğanı saxlayın. Sən, əzizim, get: yolun yanında, bağın arxasında mina var, arxasında da şəhər var; yuyunsan get. O, cəhənnəmdədir. Vay, mən kimisə sağ görürəm. qara adamı çağırır. , və ona salam olsun. Hamama girirəm. edəcəm. Mişanın südü. Bunlar kapitalistlərin növləridir. Daha az yeyin! Qazmaq? "Məni içəri buraxın!" - bir kasa şorba. - "Get, o uçur!" Mən ağlamıram, əminəm. Mən ağılsız və səbəbsiz şadam. Pişirmə, soğan. Sən, əzizim, sürətlə get: şaxtanın yanında, yolun arxasında və onun arxasında şəhər; yuyunsan get. O, uzun müddətdir ki, cəhənnəmdədir. Vay, canlı.
Sualım var. Maraqlıdır, palindromlar varmı? Və eyni qarşılıqlı oxu fikrini riyaziyyata köçürmək mümkündürmü? (yunanca) -, yerləşdiyi yerdə eynilik. Bir cisim əvvəldən eyni nəticəni bir şəkildə əldə edərsə, simmetrik adlanır. Bir çox canlılar, bir yarpaq, bir kəpənək, olduqları ilə birləşir. Əgər onlar zehni olaraq çəkilmiş xətt boyuncadırlarsa, deməli onların yarıları. Əgər onu çəkilmiş yerə qoysanız, onda əks olunan yarı onu tamamlayacaqdır. Buna görə aynalı adlanır. , onun boyunca güzgü simmetriya oxudur. Hər birimiz özümüzü bir neçə dəfə güzgüdə görürük. Adətən biz təəccüblənmirik, sual vermirik, heç nə etmirik. Və yalnız filosoflar heyrətlənməkdən vaz keçmirlər.
Onun güzgüdəki əksində nə dəyişir? Güzgülərlə təcrübə aparırıq. onu A hərfinin tərəfinə qoyun, sonra güzgüdə eyni hərf var. Amma güzgü, əksi artıq A kimi görünmürsə, o, dibi ilə A-dır. Amma güzgü B-nin altındadırsa, əksi də var. Ancaq onu yan tərəfə qoysaq, qarşıda B alırıq.
A hərfi şaquli, B hərfi isə üfüqidir. , biz güzgü yerləri dəyişir ki, aşkar, sol - . Məlum olur ki, onların arasında palindromlar da var. rəqəmlər yox idi - palindromlar. Bu palindromlar üçün rəqəmlər uydurmağa çalışdım.
İkirəqəmli palindromlarda vahidlər onlarla üst-üstə düşür.
Rəqəmlərdə - palindromlar, yüzlərlə rəqəmlə üst-üstə düşür.
Dördrəqəmli ədədlərdə birlərin sayı birlərlə, rəqəm isə onluq sayı ilə üst-üstə düşür və s.
düsturlar daha çox səbəb oldu. Düsturlar altında - palindromlar, sağdan sola oxunmasının nəticəsi olmayan ədədlərdən ibarət və ya fərqindən ibarət ifadə.
- rəqəmlərini əlavə edin, onda cəmi deyil.
Məsələn: 22 + 66 = 66 + 22.
Ümumiyyətlə, belə yazmaq olar:
1. Bütün ikirəqəmli cütləri tapın ki, onların nəticəsi sağdakı cəm nəticəsində dəyişməsin, məsələn, 42 + 35 = 53 + 24.
bərabərlik:
Rəqəmləri rəqəmlər şəklində təqdim edək:
(10 1 + y 1) + (10x 2 + y 2) = (10 2 + x 2) + (10y 1 + x 1)
10x 1+ saat 1 + 10x 2 + y 2 = 10y 2 + x 2 +10y 1 + x 1. x ilə bərabərlikləri sola, y ilə isə sağa keçirik:
10x 1 - x 1 + 10x 2 - x 2 = 10y 1 - y 1 + 10y 2 - y 2.
paylama:
9 x 1 + 9 x 2 = 9 y 1 + 9 y 2
9(x 1 + x 2) = 9(y 1 + y 2)
x 1 + x 2 = y 1 + y 2.
Yəni məsələni həll etmək üçün rəqəmlərin cəmi ikinci rəqəmlərinə bərabər olmalıdır.
aşağıdakı məbləğləri əlavə edə bilərsiniz:
76 + 34 = 43 + 67
25 + 63 = 36 + 52 və s.
Məsələ 2. ikirəqəmli ədədlərin bütün cütləri, onların çıxılmasının nəticəsi sağdan oxunmasının nəticəsi deyil.
Bizimkini şərtlərin cəmi kimi təqdim etmək və bizimkini həll etmək üçün transformasiyalar etmək. Belə ədədlər bərabər rəqəmlərə malikdir.
(10 1 + y 1) - (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) - (10 1 + x 1)
10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 - 10y 1 - x 1
10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2
11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2
11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)
x 1 + y 1 = x 2 + y 2
fərqlər yarada bilərsiniz:
41 - 32 = 23 - 14
46 - 28 = 82 - 64
52 -16 = 61 - 25 və s.
Vurmada bizdə: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... - ilk N 1 və N 2 ədədlərinin hasili onların ikincisinə bərabər olduqda (x 1 ∙ x 2 = y) 1 ∙ y 2) .
Nəhayət, bölmə üçün aşağıdakı nümunələr:
Bu halda, N 1 rəqəminin və ikinci N 2 rəqəminin hasili onların digər rəqəmlərinin hasilinə bərabərdir, yəni. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .
Məhsul üçün sübut etməliyəm. Məndə olan budur.
N 1 = = 10x 1 + y 1N3 = = 10y 2 + x 2
N 2 = = 10x 2 + y 2 N4 = = 10y 1 + x 1
N 1 ∙ N 2 = ∙ = (10x 1 + y 1) ∙ (10 2 + y 2)
N 3 ∙ N 4 = ∙ = (10y 2 + x 2) ∙ (10y 1 + x 1)
100 1 ∙x 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + y 1 ∙y 2 = 100y 1 ∙y 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙1x ∙ + x 2
99x 1 ∙x 2 = 99y 1 ∙y 2; X 1 ∙x 2 = y 1 ∙у 2 , bunu sübut etmək lazımdır.
Palindrom olan bir ədəddən istifadə edərək, riyaziyyat olimpiadalarında tez-tez istifadə olunan bölünmə qabiliyyətini həll edə bilərsiniz. Onlardan bəzilərini təqdim edirik:
Məsələ: Sübut edin ki, eyni ədədlərdən istifadə edərək üçrəqəmli ədəddən ədədi çıxın, lakin ardıcıllıqla fərq 9-a bölünür.
Bunlar. bu iş 9.
Yeri gəlmişkən, bir nəslin bəxti gətirdi, heç bir insana ən azı bir il, daha az iki il - 1991 və 2002-ci illərdə - əvvəlki nəsil 1881-ci ildə, sonrakı nəsil isə 2112-ci ildə olub. Bu işdə biz riyazi hadisəyə - xüsusən də onun palindromlarına toxunduq.
Mən özümdə ikirəqəmli olanların həm fərqi, həm də bölünməsi üçün rəqəmlərə - düsturlara - palindromlara baxdım və onları sübut edə bildim. qanunları və gözəlliyi bilmək çətindir və biz başlanğıcdayıq.
Rəqəmlərin bölünməsini həll etmək üçün palindromik ədədlərdən və palindromik düsturlardan istifadə edərək, onlara tez-tez riyaziyyatda rast gəlinir. Onlardan birini təqdim edirik:
. Sübut edin ki, üçrəqəmli ədəddən rəqəmlərlə yazılan, əksinə isə fərq 9-a bölünəcək.
. ,olar. bu iş 9.
Rəqəm palindromları sola və sola bərabər oxunan rəqəmlərdir. Başqa sözlə, simmetriyaya görə (rəqəmlərin düzülüşü) simvolların sayı həm cüt, həm də olmalıdır.
Məsələn: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 və s.
Palindrom digər nömrələr üzərində nəticə olaraq istifadə edilə bilər. Gəlin məlum olandan istifadə edək.
Qəbul alqoritmi:
İki rəqəmli nömrə götürün
onu (rəqəmləri sola köçürün)
Nömrəni çevirin
Uğur qazanana qədər oxşarları təkrarlayın
Etdiklərim nəticəsində belə qənaətə gəldim ki, tərtib edərkən onu istənilən ikirəqəmlidən əldə etmək olar.
Əlavəni deyil, palindromlar üzərində əməliyyatları da nəzərdən keçirə bilərsiniz. (2)
Onlardan birinin necə istehsal edildiyinə dair iki nümunə verək:
a) 212² - 121² = - 14641 = 30303;
b) = 2·11² ·101² = = 1111· = 2468642.
İndi keçək sadə rəqəmlərə. Onların ailələri çoxdur. Yalnız yüz milyon natural ədəd arasında 781 sadə var və onlar birinciyə düşür, onlardan dördü ədəddir - 2; 3; 5; 7 və yalnız bir - 11. Bunlarla əlaqəli bir çox maraqlı şey var:
Cüt sayı olan yalnız bir palindrom var - 11.
və sadə palindromun son rəqəmi yalnız 1 olacaq; 3; 7 və ya 9. Bu, 2 və 5-ə məlum bölünmə qabiliyyətindəndir. Sadalanan rəqəmlərdən (19) yazılmış bütün sadə ədədlər qoşalana bilər.
Məsələn: 13 və 31; 17 və 71; 37 və 73; 79 və 97.
Sadə üçrəqəmli ədədlərdə ədədin 1 ilə fərqləndiyi cütlər var.
Məsələn: 181 və 191; 373 və 383; 787 və 797; 919 və 929.
Bənzər bir şey çoxlu sayda müşahidə olunur.
: 94849 və 94949; və 1178711.
Birmənalı olanların hamısı palindromlardır.
26 ədəddir, palindrom deyil, kvadrat palindromdur
Məsələn: 26² = 676
Ancaq rəqəmlər 13 - 31 və 113 - 311 cütləri ilə "" kvadratı ilə "ters çevrilmişdir": 169 - 961 və 12769 - 96721. Maraqlıdır ki, hətta onların nömrələri də hiyləgər şəkildə bağlıdır:
(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
Sadə olanlardan - palindromlardan, onları sətir-sətir təşkil edərək, rəqəmlərin orijinal nümunəsi ilə simmetrik fiqurlar yarada bilərsiniz.
1- Palindrom nümunələri
2 təkrar
Vahidlərdən ibarət natural ədədlər. Say sistemində onlar daha qısa təyin olunur R n: R 1 = 1, R 2 = 11, R 3 = 111 və s. və onlar üçün forma:
Repunitin ümumi görünüşü fərqli formada ola bilər:
: on bir; 111; 1111; 11111; 1111111 və s.
Maraqlı repunites tapıldı:
Repunitlər palindromik ədədlərdir, əksinə onlar dəyişməz qalırlar.
Repunitlər öz məhsulu olan palindromlara aiddir.
Məlum sadə təkrarlar: R 2 , R 19 , R 23 , R 317 və R, və ən əsası bunların indeksləri də rəqəmlərdir. Ən təkrarlanan rəqəm - 1. böyük - hələ tapılmayıb.
Bəzi təkrar birləşmələri sadə olanlara bölmək:
11111 = 41∙ 271
3∙7∙11∙13∙37
11111111 = 11∙73∙101∙137
3∙37∙333667 və s nömrələr mümkündür.
Repunitlərin çoxaldılması nəticəsində palindromlar əldə etdik:
11111∙111 = 1233321
11111∙11111 = və s.
Reunitləri çoxaltmaqla belə nəticəyə gələ bilərik ki, hər dəfə ədəd palindromdur. (3).
7 nömrə - çünki onun 2-ci bazada qeydi: 111, 6-cı bazada isə: 11 (yəni 7 10 = 11 6 = 111 2).
Başqa sözlə desək, b > 1 kökü baxımından 7 təkrar birləşir.
Xüsusiyyəti güclü olan tam ədədi təyin edək. Ola bilsin ki, 50-dən az olan 8 güclü var: (1,7,13,15,21,31,40,43). , bütün kiçiklərin cəmi 15864-ə bərabərdir.
2- Nümunəni təkrarlayın
Elm sahələrində heç bir repunite tapılmadı.
Hissə
1997-ci il üçün “Kvant” № 5-dən iki maraqlı məsələ.
Şərtlərin cəminin təkrarlanması üçün hansı rəqəmləri əvəz etmək lazımdır?
Həll yolu: +12345679+12345679=111111111 -
Cavab: 111111111
Hansı repunitelər 123455554321-in məhsuludur?
İki repuniti çarparaq, biz
11111111 11111 =
Cavab: 11111111 ·
Bunu izləmək olar: qeyddəki nömrələr əvvəlcə artan və enən olur, nömrə daha kiçik olanın uzunluğudur və ortadakı nömrənin təkrarlarının sayı vahid başına təkrarların uzunluğuna bərabərdir. Reunitləri çoxaltdıqdan sonra hər dəfə ədədin palindrom olduğu qənaətinə gəlirik. (3)
O da eksperimentaldır ki, repunitləri qaydaya görə çoxaldarkən birlərin sayı 10-dan az olmalıdır. Onda maksimum məhsul: 1(19) * 1(9 dəfə)= 1,234,567,899,999,999,999,987,654,321-dir.
əyləncəli və olimpiada
Hesablama.
Cavab: 12 345 654 321
: 12 345 554 321
ədədlərin sayı - 2-yə bölünən:
b) üçrəqəmli
c) dördrəqəmli
2-yə bölünür cüt Ədəd. ,
a) ədədlər arasında - palindromlar - 22, 44, 66 və 88. Yəni 4 ədəd.
b) ədədlər palindromdur və sonuncu eynidir və cüt olmalıdır. 4 cüt ədəd var (2, 4, 6 və 8). Ortada 0-dan 9-a kimi 10-dan hər hansı biri ola bilər. Buna görə də üçrəqəmli ədədlərin cəmi .
c) dördrəqəmli axtarış üçün eyni və sonuncu rəqəmlər cüt olmalıdır və onlardan 4-ü varsa, ikinci rəqəmlər eynidirsə, rəqəmlər onlardan hər hansı biri olmalıdır. Bu o deməkdir ki, 40 dördrəqəmli palindrom da var.
d) ədədlər üçün - birinci və sonuncu eynidir və onlardan 4-ü var. Bundan başqa, 2 və 4 də 10 ola bilər. Rəqəm də 10-dan hər hansı biri ola bilər. , ümumi ədədlər palindromlardır.
Beləliklə, hamımız əminik ki, bu, təkcə özü üçün vacib deyil. ətrafa yanaşma ondan daha yaxşı kömək edir. Və hər kəsə riyazi üslub lazımdır - dilçiyə, kimyaçıya, fizikə, rəssama, şairə və s.
Bu mövzunu öyrəndikdən sonra mən palindromların xassələrini araşdırdım və onlar ilə verilənlərin xassələrində sadə ədədlərin rolu arasında əlaqə qurdum.
Cədvəldəki nəticələr (oxşarlıqlar və fərqlər).
Cədvəl 3 - palindromun xüsusiyyətləri və.
Palindromlar |
Repunits |
|
soldan sağa və sola eynidir |
||
qeydlər (rəqəmlər) |
Həmişə deyil |
|
ədədlər üçün istifadə edilən işarələr cüt və ya ola bilər |
||
Başqaları üzərində əməliyyat kimi əldə edilə bilər: əlavə ildə tikinti çıxarılması vurma |
||
Mümkün çoxbucaqlı formalar |
||
ədədlər sinfinin nümayəndələri |
Bu mövzuda araşdırma apardım, xassələri və repunitləri araşdırdım, aralarında qurulan, ədədlərin xassələrini dəyişməkdə hansının sadə rol oynadığını öyrəndim.
tədqiqatlar (oxşarlıqlar və) cədvəl şəklində verilmişdir.
Cədvəl 4 - "Bu nömrələr haqqında məlumatınız varmı?"
Repunits |
|||||||||||
tələbələr |
Rəqəmlər haqqında daha çox istəyirsiniz? |
||||||||||
Nəticələr göstərdi ki, bütün tələbələr palindromlar haqqında daha çox bilirlər və.
Həmçinin "Bu nömrələrdən istifadə edirsinizmi?" Məlumat daxil edildi.
Cədvəl 5 - "Siz həyatda bu rəqəmlərsiniz?"
tələbələr |
həyatda bu rəqəmlər varmı? |
||||
sorğuya görə: Məktəblilər nə qədər çox olsalar, həyatda bir o qədər tez-tez palindrom və repunitlərdən istifadə edirlər.
Nəticə
Dünya o qədər füsunkardır ki, işlə məşğul olarkən araşdırılırdı ki, hər birimiz buna diqqət yetirsək, özümüz üçün çox maraqlı şeylər tapardıq.
Natural ədədlərlə tanışlıq: və təkrar birləşmələr. Onların hamısının öz xassələri var.
Bu o deməkdir ki, fərziyyə ondan ibarətdir ki, h əsası bütün ədədlərin əmələ gəldiyi hissədir.
Sadə ədədləri öyrənməklə onların xassələri ilə ədədi çoxluqlar əldə edin.
Layihələrə, konkret sosial faydalara böyük diqqət yetirməsi. Çox vaxt bu layihələr uzunmüddətli, sistem yönümlü olur: - sinifdənkənar fəaliyyətlər.
fərdi işi əməkdaşlıq, kiçik və komanda işi ilə birləşdirən layihə metodu. Müəllimin dəyişdirilməsi üçün layihələrin praktikada həyata keçirilməsi. Bilik daşıyıcısından idrak, tədqiqatçıya çevrilir. Müəllim öz işini və şagirdləri müxtəlif müstəqil fəaliyyətlərə, tədqiqat və yaradıcı fəaliyyətlərə istiqamətləndirdiyi üçün sinifdə psixoloji mühit də dəyişir. Fəaliyyətlərin təmin edilməsi və dəstəklənməsi əməkdaşlığa əsaslanır və aşağıdakıları əhatə edir:
dizayn niyyətinin müəyyən edilməsində;
konsaltinq mərhələləri: məlumat axtarışı, dizayn, praktiki birbaşa işə həvəsləndirmə;
həm yaradıcı təfəkkürün, həm də şərhin fərdi üsullarına diqqət, fəaliyyət və onun məhsulu vasitəsilə təfəkkürün başlanğıcı;
təşəbbüs və yaradıcı layihə fəaliyyəti;
layihə fəaliyyətlərinin təqdimatını və ekspertizasını təmin etmək.
Sinifdə və dərsdənkənar layihələrin aktiv metodu nəticəsində şagirdlərdə öyrənmə bacarıqları və ümumiləşdirilmiş metodlar inkişaf edir. Şagirdlər problemlərin həllindən əldə etdiklərini möhkəm mənimsəyirlər. Tələbələr ədəbi mətnlə düşüncəli məşğul olurlar və müxtəlif mənbələrdən həcmlə işləmək təcrübəsini yaşayırlar. əməkdaşlıq və ünsiyyət bacarıqları əldə edin: bir qrupda işləmək, işi planlaşdırmaq, situasiyaları öyrənmək və qəbul etmək.
Sinif və məktəbdənkənar fəaliyyətlərdə layihə işi mənəviyyat və mədəniyyətin formalaşmasına, müstəqilliyə, uğurlu sosiallaşmaya və işə aktiv uyğunlaşmaya kömək edir.
Təhsildə dəyişikliklərlə əlaqədar fəaliyyət metodu. Kompüterlər təhsilin ayrılmaz hissəsinə çevrilib. İşimdə ondan müasir dərs üçün zəruri şərt kimi istifadə edirəm. fəaliyyətin nəticələrinin aydın şəkildə təqdim edilməsi, sistemin seçilməsi, mövzu ilə bağlı məsələlərin illüstrasiyalaşdırılması texnikası.
İKT vasitələrindən istifadə etməklə layihə üzərində işləyərkən nəinki modeli izləyə, həm də lazım olanı mümkün qədər çox mənbələrdən ala, təhlil edib, həyata keçirə bilən şəxs formalaşır. Məktəb layihəsi metodu, çünki öyrənmək üçün yüksək motivasiya nümayiş etdirir, həddindən artıq yüklənir və tələbələrin potensialını artırır.
Əməliyyatlar
Fəaliyyət |
Nəticə sayı |
||
Palindrom |
|||
Palindrom |
|||
12345678987654321 |
|||
Palindrom Yenidən birləşmək |
|||
Yenidən birləşmək |
|||
Palindrom |
Palindromlar üzərində əməliyyatlar aparmaqla nəticə həm palindrom, həm də repunit ola bilər.
Əlavə 2
Repunitlərin məhsulu palindrom verir.
1 çarpan |
2 çarpan |
iş |
1234567887654321 |
||
12345678887654321 |
||
12333333333333321 |
Çoxlu reunitləri çoxaltdıqdan sonra hər dəfə bir palindrom nömrəsi aldığımız qənaətinə gəlirik.
Əlavə 3
Əlavə 4
Təcrübənin fotoşəkili
İstifadə olunan məlumat mənbələrinin siyahısı
Depman İ.Ya. Riyaziyyat dərsliyinin səhifələri arxasında //orta məktəbin 5-6-cı sinif şagirdləri üçün dərs vəsaiti. - M.: Təhsil, 1989.
Yates S. Repunitlar və onluq dövrlər // Mir nəşriyyatı. - 1992.
Kordemsky B.A. Rəqəmlərin ecazkar dünyası // tələbələr üçün kitab. - M.: Təhsil, 1995.
Kordemsky B.A. Reunite ailəsi ilə bir saat // Kvant. -1997. - № 5. - s. 28-29.
Perelman Ya.İ. Əyləncəli riyaziyyat // Tezis nəşriyyatı. - 1994
http://arbuz.uz/t_numbers.html.
Lopovok L.M. Riyaziyyatdan min problem problemi: Kitab. tələbələr üçün. - M.: Təhsil, 1995. - 239 s.
Karpuşina N.M. Repunitlər və palindromlar // Məktəbdə riyaziyyat. - 2009, № 6. - S.55 - 58.
Strogov I.S. Soyuq ədədlərin istiliyi. Esselər. - L.: Uşaq ədəbiyyatı, 1974.
Perelman Ya.İ. Canlı riyaziyyat. - M.: “Elm”, 1978.
İş mənbəyi: Həll 4954. Vahid Dövlət İmtahanı 2016 Riyaziyyat, I.V. Yaşçenko. 36 seçim. Cavab verin.
Tapşırıq 19. Təbii ədədi palindrom adlandıraq, əgər onun onluq qeydində bütün rəqəmlər simmetrik düzülübsə (birinci və sonuncu rəqəmlər eynidir, ikinci və sondan əvvəlki rəqəmlər və s.). Məsələn, 121 və 953359 rəqəmləri palindromdur, lakin 10 və 953953 rəqəmləri palindrom deyil.
a) 45-ə bölünən palindromik ədədə misal göstərin.
b) 45-ə bölünən neçə beşrəqəmli palindromik ədəd var?
c) 45-ə bölünən onuncu ən böyük palindrom ədədini tapın.
Həll.
a) Ən sadə variant 45-ə bölünən 5445 palindromik rəqəm olardı.
Cavab: 5445.
b) 45 ədədini sadə amillərə bölək, alırıq
yəni ədəd həm 5-ə, həm də 9-a bölünməlidir. Ədədin 5-ə bölünməsinin əlaməti ədədin sonunda 5 rəqəminin olmasıdır (biz 0 rəqəmini nəzərə almırıq, çünki o, 5-ə bölünür. uyğun deyil). 5aba5 şəklində palindromik ədəd alırıq, burada a, b ədədin rəqəmləridir. Ədədin 9-a bölünməsinin əlaməti rəqəmlərin cəminin olmasıdır
9-a bölünməlidir. Bu şərtdən əldə edirik:
b=0 üçün: ;
b=1 üçün: ;
b=2 üçün: ;
b=3 üçün: ;
b=5 üçün: ;
b=6 üçün: ;
b=7 üçün: ;
Təqdimatın fərdi slaydlarla təsviri:
1 slayd
Slayd təsviri:
Palindrom nədir? İş riyaziyyat müəllimi Qalina Vladimirovna Prixodko tərəfindən aparılmışdır
2 slayd
Slayd təsviri:
Problem Bir motorist avtomobilinin sayğacına baxdı və simmetrik rəqəm (palindrom) 15951 km gördü (eynini soldan sağa və ya əksinə oxuyun). Fikirləşdi ki, çox güman ki, başqa bir simmetrik rəqəm tezliklə görünməyəcək. Lakin 2 saatdan sonra o, yeni simmetrik ədəd kəşf etdi. Bu iki saat ərzində sürücü hansı sabit sürətlə getdi? Həlli: Növbəti simmetrik ədəd 16061. Fərq 16061 - 15951 = 110 km-dir. 110 km-i 2 saata bölsəniz, 55 km/saat sürət alırsınız. Cavab: 55 km/saat
3 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı a) 15-ə bölünən palindrom ədədinə misal göstərin. b) 15-ə bölünən neçə beşrəqəmli palindrom ədədi var? c) 15-ə bölünən 37-ci ən böyük palindromik ədədi tapın.Cavablar: a) 5115; b) 33; c) 59295
4 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Palindrom nə deməkdir? Palindrom sözü yunanca palindromos sözündəndir və "yenidən geriyə qaçmaq" deməkdir. Palindromlar təkcə rəqəmlər deyil, həm də sözlər, cümlələr və hətta mətnlər ola bilər.
5 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Riyaziyyatda rəqəmlər - palindromlar həm soldan sağa, həm də sağdan sola eyni oxunur. Buna misal olaraq bütün birrəqəmli ədədləri, αα formalı ikirəqəmli ədədləri, məsələn, 11 və 99, αβα formasının üçrəqəmli ədədlərini, məsələn, 535 və s. Bundan əlavə, bütün ikirəqəmli ədədlər palindrom yaradır ( ən böyük rəqəm addımlar - 24 - 89 və 98 rəqəmləri tələb olunur) Amma 196 rəqəminin palindrom verib-verməməsi hələ məlum deyil. Rəqəmsal palindromlar 676 (qeyri-palindromun kvadratı olan ən kiçik palindrom nömrəsi 26-dır). 121 (palindromun kvadratı olan ən kiçik palindrom nömrəsi 11-dir).
6 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Superpalindrom Bəzi palindromik ifadələr və ifadələr bizə qədim zamanlardan məlumdur. Sonra onlara tez-tez sehrli bir məna verildi. Sehrli palindromlara sehrli kvadratlar da daxildir, məsələn, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (“Arepo əkinçisi təkərlərini çətinliklə saxlaya bilir” kimi tərcümə olunur).
Slayd 7
Slayd təsviri:
Hal-hazırda palindrom hamısından məhrumdur sehrli güclər və beyninizi bir az istifadə etməyə imkan verən sadə söz oyunudur. Palindromların əksəriyyəti nisbətən əlaqəli sözlər toplusudur, lakin maraqlı inteqral və başa düşülən ifadələr də var, məsələn, "Ancaq görünməz Archangel məbədin üstünə uzandı və o, heyrətamiz idi". Palindromik sözlərdən danışsaq, dünyada ən uzun söz “SAIPPUAKIVIKAUPPIAS” hesab olunur ki, bu da fin dilindən tərcümədə “sabun satıcısı” deməkdir.
8 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Tapşırıq: sadə ədədlər arasında simmetrik ədədlərin nə qədər tez-tez baş verdiyini tapın. 1000-dən kiçik ədədlər üçün bunu sadə ədədlər cədvəlindən tapmaq asandır. Sadə ikirəqəmli ədədlər arasında yalnız bir simmetrik ədəd var - 11. Sonra tapdıq: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.
Slayd 9
Slayd təsviri:
Sübut Dördrəqəmli ədədlər arasında simmetrik sadə ədədlər yoxdur. Gəlin bunu sübut edək. Dördrəqəmli simmetrik ədəd abba formasına malikdir. 11-ə bölünmə meyarına əsasən tək yerlərdə olan ədədlərin cəmi ilə tək yerlərdə olan ədədlərin cəmi arasındakı fərq: (a+b)-(b+a)=0. Bu o deməkdir ki, bütün dörd rəqəmli simmetrik ədədlər 11-ə bölünür, yəni mürəkkəbdir. Eynilə, bütün 2n-lik simmetrik ədədlər arasında sadə ədədlərin olmayacağını sübut etmək olar.
10 slayd
Slayd təsviri:
100-ə qədər 25 sadə ədəd var, onlardan biri simmetrikdir ki, bu da 4% təşkil edir. 1000-ə qədər sadə ədəd 168 olur. Simmetrik ədədlər - 16. Bu təxminən 9,5% təşkil edir. 10000-ə qədər simmetrik ədədlərin sayı dəyişmir. 1.000.000-ə qədər - 78.498 sadə ədədlər. İndi 109 simmetrik ədəd var, bu, təxminən 0,13% təşkil edir. Aydındır ki, simmetrik ədədlərin faizi getdikcə azalır, lakin çox böyük ədədlər arasında sadə ədədlərin simmetrik olduğunu söyləmək heç də mümkün olmayacaq.
11 slayd
Slayd təsviri:
Rəqəmsal palindromların digər simvollar üzərindəki əməliyyatların nəticəsi ola biləcəyi fikrim var. “İdeya var!” kitabının müəllifi Martin Qardner elmin kifayət qədər tanınmış populyarlaşdırıcısı olmaqla müəyyən bir fərziyyə irəli sürür. Əgər natural ədədi (hər hansı) götürsəniz və ona tərsini əlavə etsəniz (eyni ədədlərdən ibarətdir, lakin tərs qaydada), sonra hərəkəti təkrarlayın, lakin nəticədə əldə edilən cəmlə, addımlardan birində palindrom alacaqsınız. . Bəzi hallarda əlavəni bir dəfə yerinə yetirmək kifayətdir: 213 + 312 = 525. Amma adətən ən azı iki əməliyyat lazımdır. Beləliklə, məsələn, 96 rəqəmini götürsək, ardıcıl əlavə etməklə, yalnız dördüncü səviyyədə palindrom əldə edilə bilər: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 fərziyyənin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər hansı bir nömrə götürsəniz, müəyyən sayda hərəkətlərdən sonra mütləq palindrom alacaqsınız. Nümunələr təkcə əlavə deyil, həm də eksponentasiya, köklərin çıxarılması və digər əməliyyatlarda tapıla bilər.
12 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Nümunə1 619 rəqəmini götürək 1 addım sağdan sola oxuyaq 916 İki ədədi əlavə edək 1535 “onu çevir” 5351 2-ci addım 6886 əlavə edək 6886 rəqəmi palindromdur. Üstəlik, yalnız 2 addımda əldə edildi. Onu sağdan sola və ya soldan sağa oxuyaraq eyni rəqəmi alırıq.
Slayd 13
Slayd təsviri:
Misal 2 Gəlin 95 rəqəmini 1 addım alaq. Addım 1 “Gəlin onu çevirək” 59 Əlavə edin 154 Addım 2. “Gəlin onu çevirək” 451 2-ci addım 605-i əlavə edək 3-cü addım “Gəlin onu çevirək” 506 3-cü addım 1111-i əlavə edək 1111 rəqəmi palindromdur.
14 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Pinocchio Yəqin ki, hamınız Pinokkionun sərgüzəştlərindən bəhs edən kitabı xatırlayırsınız. Malvinanın ona yazmağı necə öyrətdiyini xatırlayırsınızmı? O, ona bu cümləni yazmağı tapşırdı: VƏ GÜL AZORUN Pəncəsinə DÜŞÜB - bu başqa palindromdur.
15 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Ədəbiyyatda palindromlar QANAN BADIMANI BASDI, SƏN, SAŞA, DOL, ALINDA, BOOM ARGENTİNA NƏQRA OLUR, AMMA SƏN TON, ADA OVÇULARI VƏ ÇÖRÜŞÜN QEYDLƏRİ KİMİ İNİKSƏN
16 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Palindrom sözləri ŞALAŞ, NAQAN, KAZAK, KOK, TOPOT, ROTOR, KABAC, PULP, DƏDƏ, RADAR
Slayd 17
Slayd təsviri:
Palindromik ifadələr TƏKKƏR DAYANDI, MƏN QOŞI QARDAŞ SENYA DEYİL MƏN İLAN YEYİRƏM VƏ İT BOSA ARGENTİNA TAKSİ AXTARMAQ ÜÇÜN ZƏNCİ BƏK EDİR ZENCİYİ QEYD EDİR ARGENTİNALI LYOSHA FOUND ALEQUELSHU BO
18 sürüşdürmə
Slayd təsviri:
Xarici dillərdə palindromlar "Madam, I'm Adəm" - kişinin bir xanımla tanışlığı (Madam, I'm Adam). Xanım buna təvazökarlıqla “dəyişdirici” ilə cavab verə bilər: “Həvva” (Həvva). Simmetrik olan təkcə cümlələr və ya hərflər dəsti deyil. Sürətli yarış, təhlükəsiz avtomobil (Yarış sürətli, təhlükəsiz avtomobil) Allahı görürsənmi? (Qazlar Allahı görürmü?) Heç vaxt tək və ya cüt deyil (Heç vaxt tək və ya cüt deyil) Başını tərpətməyin (Başını tərpətməyin) Doqma: Mən Allaham (Dogma: Mən Allaham) Xanım, Edendə Mən Adamam (Madam, cənnətdə) Mən Adəm) Ah, Şeytan Nataşanı görür (Ah, Şeytan Nataşanı görür) Tanrı mənim it olduğumu gördü (Allah gördü ki, mən it idim) Piyə üstünlük verirəm (π-ə üstünlük verirəm) Uğurmaq üçün çox isti (Uğurlamaq üçün çox isti) )
Slayd 19
Slayd təsviri:
Palindromlar-şeirlər Nadir hallarda əlimlə siqaret kötükünü tuturam... Otururam ciddi-cəhdlə, Sükut içində hirslə yaradıram, Bir gülürəm, qismətim olur, bir dəfə gülürəm - Hə, sevinirəm. ! Onu əvvəldən və ya axırdan oxuya bilərsiniz.
20 slayd
Slayd təsviri:
Musiqidə Palindromik musiqi parçaları qaydalara uyğun olaraq “adi hal kimi” ifa olunur. Parça tamamlandıqdan sonra qeydlər tərsinə çevrilir. Sonra parça yenidən çalınır, lakin melodiya dəyişməyəcək. İstənilən sayda iterasiya ola bilər, amma alt və yuxarı nə olduğu bilinmir. Bu musiqi parçaları eyni vaxtda hər iki tərəfdəki notları oxuyarkən iki nəfər tərəfindən ifa edilə bilər. Bu cür palindromik əsərlərə misal olaraq Moşeles tərəfindən yazılmış “Dünyanın yolu” və Motsartın bəstələnmiş “İki üçün cədvəl tənzimləməsi”ni göstərmək olar.
Yakovlev Danil
Demək olar ki, bütün riyazi anlayışlar bu və ya digər şəkildə ədəd anlayışına əsaslanır və istənilən riyazi nəzəriyyənin yekun nəticəsi, bir qayda olaraq, ədədlərin dilində ifadə olunur. Onların bir çoxu, xüsusən də natural ədədlər müəyyən xüsusiyyətlərə və xassələrə görə ayrı-ayrı strukturlarda (toplamalarda) qruplaşdırılır və öz adlarına malikdir. Beləliklə, tədqiqatın məqsədi palindromik ədədlərlə tanış olmaqdır
Yüklə:
Önizləmə:
RUSİYA FEDERASİYASI
Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi
“7 nömrəli tam orta məktəb”
Nijnevartovsk şəhəri
Tədqiqat işi
gənc tədqiqatçıların məktəb elmi-praktik konfransına
Riyaziyyatda palindromlar
2016
GİRİŞ 4
ƏSAS HİSSƏ................................................ ................................................................ ......................................5
NƏTİCƏ 9
ƏDƏBİYYAT 11
Hipoteza
Sadə ədədlər bütün natural ədədləri təşkil edən ədədlərin bir hissəsidir.
Sadə ədədlər çoxluğunu tədqiq etməklə onların qeyri-adi xassələri ilə heyrətamiz ədədi çoxluqlar əldə etmək olar.
Tədqiqatın məqsədi
Demək olar ki, bütün riyazi anlayışlar bu və ya digər şəkildə ədəd anlayışına əsaslanır və istənilən riyazi nəzəriyyənin yekun nəticəsi, bir qayda olaraq, ədədlərin dilində ifadə olunur. Onların bir çoxu, xüsusən də natural ədədlər müəyyən xüsusiyyətlərə və xassələrə görə ayrı-ayrı strukturlarda (toplamalarda) qruplaşdırılır və öz adlarına malikdir. Beləliklə,tədqiqatın məqsədipalindromik ədədlərə girişdir.
Tədqiqat məqsədləri
1. Tədqiqat mövzusu üzrə ədəbiyyatı öyrənin.
2. Palindromların xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin.
3. Bizi maraqlandıran ədədlərin xassələrinin dəyişməsində sadə ədədlərin hansı rol oynadığını öyrənin.
Tədqiqat mövzusu- sadə ədədlər toplusu.
Tədqiqat obyekti- ədədlər palindromlardır..
Tədqiqat üsulları:
- nəzəri
- sorğu
- təhlil
GİRİŞ
Bir gün boulinqlə məşğul olarkən diqqətimi çəkdim qeyri-adi rəqəmlər: 44, 77, 99, 101 və görəsən bu rəqəmlər nədi? İnternetə baxanda bildim ki, bu rəqəmlər palindromdur.
Palindrom (yunan dilindən πάλιν - "geri, yenidən" və yunanca δρóμος - "qaç"), bəzən palindromon da olur, gr. palindromos geri qaçır).
Palindromun nə olduğu haqqında danışarkən qeyd etmək lazımdır ki, "dəyişənlər" qədim zamanlardan bəri məlumdur. Çox vaxt onlara sehr verilirdi müqəddəs məna. Palindromlar meydana çıxdı, onların nümunələrinə ən çox rast gəlmək olar müxtəlif dillər, ehtimal ki, orta əsrlərdə.
Palindrom başqa ədədlər üzərində aparılan əməliyyatlar nəticəsində əldə edilə bilər. Beləliklə, "Mənim bir fikrim var!" Məşhur elmi populyarlaşdıran Martin Qardner bu problemlə bağlı “palindrom fərziyyəsini” qeyd edir.Əgər natural ədədi (hər hansı) götürsəniz və ona tərsini əlavə etsəniz (eyni ədədlərdən ibarətdir, lakin tərs qaydada), sonra hərəkəti təkrarlayın, lakin nəticədə əldə edilən cəmlə, addımlardan birində palindrom alacaqsınız. . Bəzi hallarda əlavəni bir dəfə yerinə yetirmək kifayətdir: 213 + 312 = 525. Amma adətən ən azı iki əməliyyat lazımdır. Beləliklə, məsələn, 96 rəqəmini götürsək, ardıcıl əlavə etməklə, yalnız dördüncü səviyyədə palindrom əldə edilə bilər: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 fərziyyənin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər hansı bir nömrə götürsəniz, müəyyən sayda hərəkətlərdən sonra mütləq palindrom alacaqsınız.
ƏSAS HİSSƏ
Rəqəmlər palindromlardır
Riyaziyyatda rəqəmləri - palindromları tapmaq çətin deyildi. Bu ədədlər üçün bir ədəd yazmağa çalışdım - palindromlar.
İkirəqəmli ədədlərdə - palindromlarda vahidlərin sayı onlarla ədədin sayı ilə üst-üstə düşür.
– üçrəqəmli ədədlərdə – palindromlar, yüzlərin sayı həmişə vahidlərin sayı ilə üst-üstə düşür.
Dördrəqəmli ədədlərdə - palindromlarda vahidlərin sayı ilə minlərin, yüzlərin sayı isə onluqların sayı ilə üst-üstə düşür və s.
Düsturlar palindromlardır
Palindromik düsturlar mənim marağımı çəkdi. Düsturlar - palindromlar dedikdə, ifadənin sağdan sola oxunması nəticəsində nəticəsi dəyişməyən ifadəni (ədədlərin cəmi və ya fərqindən ibarət) nəzərdə tuturam.
Palindrom olan ədədləri əlavə etsəniz, cəmi dəyişmir. İkirəqəmli ədədlərin əlavə edilməsi olduqca sadədir, mən üçrəqəmli ədədlərin cəmini yazmaq qərarına gəldim.
Məsələn: 121+343=464
IN ümumi görünüş belə yazmaq olar:
+ = +
(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)
100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x
111x + 111y = 111y + 111x
111(x + y) = 111(y + x)
x + y = y + x
Şərtlərin yenidən təşkili məbləği dəyişmir(əlavənin kommutativ xassəsi).
4, 5 və n-rəqəmli ədədlər üçün də tam eyni şəkildə sübut edilə bilər.
Belə ikirəqəmli ədədlərin bütün cütlərini nəzərdən keçirək ki, fərqin sağdan sola oxunması nəticəsində onların çıxılmasının nəticəsi dəyişməsin.
İstənilən ikirəqəmli ədədi rəqəm şərtlərinin cəmi kimi təqdim etmək olar:
10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2
- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)
- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)
(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)
10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1
10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2
11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2
11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)
x 1 + y 1 = x 2 + y 2
Belə ədədlər rəqəmlərin bərabər cəminə malikdir.
İndi aşağıdakı fərqləri edə bilərsiniz:
41 – 32 = 23 – 14
46 – 28 = 82 – 64
52 –16 = 61 – 25 və s.
Nominal palindromlar
Palindromlara öz adları olan bəzi ədədlər dəstində rast gəlinir: Fibonaççi nömrəsi, Smit nömrəsi, Repdigit, Repunit.
Fibonacci nömrələriədəd ardıcıllığının elementlərini adlandırın. Onda bir sıradakı hər növbəti nömrə əvvəlki iki ədədin cəmlənməsi ilə əldə edilir.
Misal: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
Smit nömrəsi - rəqəmlərinin cəmi onun sadə bölənlərinin rəqəmlərinin cəminə bərabər olan mürəkkəb ədəd.
Misal: 202=2+0+2=4
Repdigit - bütün rəqəmlərinin eyni olduğu natural ədəd.
Yenidən birləşmək - yalnız vahidlərdən istifadə etməklə yazılmış natural ədəd
Rəqəm konstruktoru
Baş palindromik ədədlərdən, onları müəyyən bir şəkildə düzərək, məsələn, sətir-sətir, təkrarlanan nömrələrin orijinal nümunəsi ilə fərqlənən simmetrik fiqurlar yarada bilərsiniz.
Burada, məsələn, 1 və 3 ilə yazılmış sadə palindromların gözəl birləşməsidir (şək. 1). Bu ədəd üçbucağının özəlliyi ondan ibarətdir ki, eyni fraqment naxışın simmetriyasını pozmadan üç dəfə təkrarlanır.
düyü. 1
Satır və sütunların ümumi sayının sadə ədəd (17) olduğunu görmək asandır. Bundan əlavə, sadə ədədlər və rəqəmlərin cəmi: qırmızı ilə vurğulanmış fraqmentlər (17); birincidən başqa hər sətir (5, 11, 17, 19, 23); üçüncü, beşinci, yeddinci və doqquzuncu sütunlar (7, 11) və üçbucağın tərəflərini təşkil edən vahidlərin “nərdivanı” (11). Nəhayət, göstərilən “yanlara” paralel hərəkət etsək və üçüncü və beşinci cərgələrin nömrələrini ayrı-ayrılıqda əlavə etsək (şək. 2), daha iki sadə ədəd (17, 5) alırıq.
düyü. 2
Tikintiyə davam edərək, bu üçbucaq əsasında daha mürəkkəb fiqurlar qura bilərsiniz. Beləliklə, sondan hərəkət etməklə, yəni sonuncu nömrədən başlayaraq, hər addımda iki eyni simmetrik yerləşən nömrəni kəsərək və digərlərini - 3-ə 1-ə və ya əksinə dəyişdirərək və ya əvəz etməklə oxşar xüsusiyyətlərə malik başqa üçbucağı əldə etmək çətin deyil. . Bu halda, nömrələrin özləri elə seçilməlidir ki, nəticədə çıxan ədəd sadə olsun. Hər iki rəqəmi birləşdirərək, bir çox sadə ədədləri gizlədən, xarakterik rəqəm nümunəsi olan bir romb alırıq (şəkil 3). Xüsusilə, qırmızı ilə vurğulanan rəqəmlərin cəmi 37-dir.
düyü. 3
Müəyyən xüsusiyyətlərə malik olan ədədlərdən çoxbucaqlı fiqurlar da edə bilərsiniz. Tutaq ki, 1 və 3-dən istifadə edərək yazılmış sadə palindromlardan hər birinin ifrat rəqəmləri bir olan və bütün rəqəmlərin cəmi və sətirdəki birlərin ümumi sayı sadə ədədlərdir (istisna təkdir) bir rəqəm qurmaq lazımdır. -rəqəmli palindrom). Bundan əlavə, sadə nömrə qeyddə tapılan sətirlərin ümumi sayını, həmçinin 1 və ya 3 rəqəmlərini ifadə etməlidir.
Şəkildə. Şəkil 4-də problemin həlli yollarından biri – 11 müxtəlif palindromdan tikilmiş “ev” göstərilir.
düyü. 4
Əlbəttə ki, özünüzü iki rəqəmlə məhdudlaşdırmaq və istifadə olunan hər bir nömrənin qeydində göstərilən bütün rəqəmlərin olmasını tələb etmək lazım deyil. Əksinə, əksinə: fiqurun naxışına orijinallıq verən onların qeyri-adi birləşmələridir. Bunu təsdiq etmək üçün gözəl palindromik asılılıqlara bir neçə nümunə veririk (şək. 5−7).
düyü. 5
düyü. 6
düyü. 7
NƏTİCƏ
İşimdə üçrəqəmli ədədlərin cəmi və ikirəqəmli ədədlərin fərqi üçün ədədlərə - palindromlara, düsturlara - palindromlara baxdım və onları sübut edə bildim. Mən heyrətamiz təbii ədədlərlə tanış oldum: palindromlar və repunitlər. Hamısı öz xassələrini sadə ədədlərə borcludurlar.
İntuitiv olaraq n-rəqəmli ədədlərin cəmi və fərqi, ikirəqəmli ədədlərin hasili və bölünməsi üçün düsturlar tərtib etdim.
Çoxalma vəziyyətində bizdə:
63 ∙ 48 = 84 ∙ 36
82 ∙ 14 = 41 ∙ 28
26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 və s.
Birinci rəqəmlərin hasili onların ikinci rəqəmlərinin hasilinə bərabərdir x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2
Bölmə üçün aşağıdakı nümunələri alırıq:
62: 31 = 26: 13
96:32 = 69:23 və s.
Mən hələ bu ifadələri sübut edə bilməmişəm, amma düşünürəm ki, gələcəkdə bunu bacaracağam.
Ədəbiyyatda çoxrəqəmli ədədləri vurmaq üçün düsturlar - palindromlar tapa bildim
20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302
726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312
İşimin məqsədinə çatdım. Rəqəmlərə - palindromlara baxdım və ümumi formada yazdım. O, misallar verdi və düsturları - ikirəqəmli ədədləri toplamaq və çıxmaq üçün palindromları sübut etdi. Hələ üzərində işləməli və formulları - palindromları araşdırmalı olduğum bir sıra məsələləri müəyyən etdim. Bu o deməkdir ki, mən sadə ədədlərin bütün natural ədədləri təşkil edən ədədlərin bir hissəsi olduğu fərziyyəsini təsdiqlədim. Sadə ədədlər çoxluğunu tədqiq etməklə onların qeyri-adi xassələri ilə heyrətamiz ədədi çoxluqlar əldə etmək olar.
Önizləmə:
Təqdimat önizləmələrindən istifadə etmək üçün Google hesabı yaradın və daxil olun: